2013版高中全程复习方略配套课件：10.1圆锥曲线的统一定义、抛物线（苏教版.ppt

1、第一节圆锥曲线的统一定义、抛物线内容要求ABC顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质三年1考高考指数:1.圆锥曲线的统一定义及其分类统 一 定 义分类一个定点F一条定直线l(F不在l上)离心率焦点准线椭圆抛物线双曲线平面内到_和到_的距离的比等于常数e的点的轨迹.其中e是圆锥曲线的_，定点F是圆锥曲线的_，定直线l是圆锥曲线的_.0e1【即时应用】(1)思考:在统一定义中定点和定直线有什么限制条件?提示:在统一定义中，定点不能在定直线上，且定点与定直线是圆锥曲线的相应的焦点和准线，尤其是在应用统一定义解题时，务必做到左准线对应左焦点，右准线对应右焦点.(2)思考：动点P到F的距离与它到定直

2、线l的距离之比为则动点P的轨迹是什么？提示：结合圆锥曲线的统一定义可知，动点P的轨迹是椭圆.2.圆锥曲线的标准方程及准线方程标 准 方 程准 线 方 程椭圆双曲线抛物线y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)【即时应用】(1)椭圆25x2+16y2=400的焦点坐标为_,准线方程为_.(2)双曲线的两准线间的距离等于_.(3)抛物线y=4x2的焦点坐标为_.【解析】(1)25x2+16y2=400可化为c2=25-16=9.焦点坐标为(0,3).准线方程为y=(2)a2=4,b2=3,c2=7,两准线间的距离(3)抛物线y=4x2的标准方程为x2=y

3、，所以2p=，再由抛物线的焦点在y轴的非负半轴上，所以抛物线的焦点坐标为(0,).答案:(1)(0,3)y=【方法点睛】圆锥曲线统一定义的应用当遇到与焦点距离有关的问题时，首先应考虑用定义解题，若圆锥曲线上的点到焦点的距离直接处理较困难，且问题中有一个与离心率相关的系数时，应用统一定义转化为点到相应准线的距离，否则应用各自的定义求解.【例1】如图,F为双曲线C:(a0,b0)的右焦点,P为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,M为左准线上一点,O为坐标原点,已知四边形OFPM为菱形.(1)求双曲线C的离心率e;(2)若经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A,B两点,且|AB|=12,求此时的双

4、曲线方程.【解题指南】(1)由双曲线的第二定义得到关于离心率e的方程,解出即可.(2)设出双曲线方程和直线方程,联立,然后利用弦长公式求解.【规范解答】(1)由于四边形OFPM是菱形,故|OF|=|PF|=c,作出双曲线的右准线交PM于点H,则|PM|=|PH|+所以离心率e整理得e2-e-2=0,解得e=2或e=-1(舍去),故所求双曲线的离心率为2.(2)由e=2得c=2a,又c2=a2+b2,故b2=3a2,双曲线方程为设P的横坐标为x0,由于四边形OFPM是菱形,即|PF|=|PM|=c=2a，得将其代入双曲线方程得解得y=a,即P().故直线AB的方程为y=(x-2a).将直线AB的

5、方程代入到双曲线方程中得4x2+20ax-29a2=0.由|AB|=12,得解得a=1，则b2=3.故所求双曲线的方程为【反思感悟】1.本题(1)在求解过程中用了双曲线的第二定义.2.用待定系数法求双曲线的方程是最常用的方法.3.灵活掌握双曲线方程的设法可以大大减少运算量.抛物线的定义及其应用【方法点睛】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用.【提醒】注意一定要验证定点是否在定直线上.【例2】(2012淮安模拟)设点

6、P(x,y)(y0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M(0,)的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程;(2)若直线l:y=x+1与点P的轨迹相交于A、B两点，求线段AB的长;(3)设点P的轨迹是曲线C,点Q(1，y0)是曲线C上一点，求过点Q的曲线C的切线方程.【解题指南】(1)用直接法或定义法求得点P的轨迹方程.(2)联立y=x+1与点P的轨迹方程，整理后把根与系数的关系代入弦长公式求出结果.(3)可利用导数求得切线的斜率，点斜式求得切线的方程.【规范解答】(1)由题意知,点P到定点M(0，)的距离与点P到y=-的距离相等.p=1.由抛物线的定义

7、可得点P的轨迹方程为x2=2y.(2)联立y=x+1与x2=2y化简得x2-2x-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=-2,(3)曲线C即函数的图象,y=x,y|x=1=1,又Q(1,),故所求切线方程为y-=1(x-1)，即x-y-=0.【反思感悟】1.本题(1)是利用抛物线的定义来求解.在求轨迹或轨迹方程时一定要注意圆锥曲线的定义，这样能起到事半功倍的效果.2.求线段长度，可用弦长公式来求.3.求曲线切线方程可利用导数的方法求解.直线与抛物线的位置关系【方法点睛】1.直线与抛物线的位置关系的判定设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p0

8、)联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+l=0.方程特征交点个数位置关系直线与抛物线直线与抛物线的对称轴平行或重合，两者相交1m=0m0,02 相交m0,=0 1 相切m0,0 0 相离2.直线与抛物线相交的几个结论已知抛物线y2=2px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有以下结论：(1)AB|=x1+x2+p或|AB|=(为AB所在直线的倾斜角)；(2)(3)y1y2-p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.【提醒】直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合

9、)时，直线与抛物线也只有一个交点.【例3】(2011湖南高考)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值.【解题指南】(1)利用已知的距离关系求动点P的轨迹方程.(2)设出l1的方程，联立l1和轨迹C的方程，利用根与系数的关系求解.【规范解答】(1)设动点P的坐标为(x,y)，由题意有化简得y2=2x+2|x|,当x0时，y2=4x;当x0时,y=0.所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x0)和y=0(x0).(2

10、)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y=k(x-1)由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=2+x1x2=1因为l1l2，所以l2的斜率为设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1,故当且仅当，即k=1时，取最小值16【反思感悟】1.定义法是求曲线轨迹方程的首要方法之一，其方便快捷，可大大减少运算量.2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立直线与曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.