2013版高中全程复习方略配套课件：10.3复合函数的导数、数学归纳法的原理及简单应用（苏教版.ppt

1、第三节复合函数的导数、数学归纳法的原理及简单应用三年1考高考指数:内容要求ABC简单的复合函数的导数数学归纳法的原理数学归纳法的简单应用1.复合函数的导数(1)复合函数的概念对于函数y=f(x),令u=(x)，若y=f(u)是中间变量u的函数,u=(x)是自变量x的函数，则函数y=f(x)是自变量x的_.(2)形如f(ax+b)的复合函数的求导公式一般地，若y=f(u)，u=ax+b,则yx=_,即yx=_.复合函数yuuxyua【即时应用】(1)y=cos(x+)(0),则y=_.(2)y=,则y=_.(3)y=则y=_.【解析】(1)设u=x+,则yx=yuux=-sinu=-sin(x+

2、)(2)设u=x2,则yx=yuux=(eu)2x=2x(3)设u=2x-1,则yx=yuux=答案：(1)-sin(x+)(2)2x (3)2.数学归纳法证明有关自然数命题的流程图验证当n取_(例如n0=1,2等)时结论正确第一个值n0假设_，证明当n=k+1时，结论也正确命题对于从n0开始的所有正整数n都成立n=k(kN*,且kn0)时结论正确【即时应用】(1)已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=_时等式成立.(2)凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+_.(3)用数学归纳法证明：(

3、nN*),则从k到k+1时，左边添加的项是_.【解析】(1)因为假设n=k(k2且k为偶数)，故下一个偶数为k+2.(2)从k边形到k+1边形，实际是多了一个三角形，故内角和比k时多,即f(k+1)=f(k)+.(3)当n=k+1时，左边=左边添加的项是答案：(1)k+2 (2)(3)复合函数的导数及应用【方法点睛】复合函数求导的步骤求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是对谁求导，其一般步骤是：(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系(简称分解复合关系)；(2)分层求导，弄清每一步中对哪个变量求导数(简称分层求导).即：分解求导.【例1】(2012南京模拟)已

4、知函数f(x)=aln(x+1)+x2-ax+1(a0)(1)求函数y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数y=f(x)的单调区间和极值.【解题指南】(1)利用导数可求出切线斜率，然后求切线方程.(2)求导数，列表判断单调性及极值.【规范解答】(1)f(0)=1,f(x)=+x-af(0)=0，所以函数y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)函数的定义域为(-1,+)，令f(x)=0,得=0.解得:x=0或x=a-1.当a1时,列表:x(-1,0)0(0,a-1)a-1(a-1,+)f(x)+0-0+f(x)极大极小可知f(x)的单调减区间是(0,a-1),增

5、区间是(-1,0)和(a-1,+);极大值为f(0)=1，极小值为f(a-1)=当0a1时,列表:可知f(x)的单调减区间是(a-1,0)，增区间是(-1,a-1)和(0,+);极大值为f(a-1)=极小值为f(0)=1;当a=1时,f(x)0可知函数f(x)在(-1,+)上单调递增，无极值.x(-1,a-1)a-1(a-1,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大极小【反思感悟】1.导数为零的点未必是极值点,因此求解时务必检验f(x)=0的零点左右两侧的符号是否相反.2.对于由f(x)=0求得的根不能比较大小时常采用分类讨论的思想,注意分类标准应统一,且不重不漏.用数学归纳法证明等式【

6、方法点睛】用数学归纳法证明等式的规则(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据.(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法.【提醒】用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.【例2】(2012烟台模拟)是否存在常数a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a

7、,b,c的值；若不存在，说明理由.【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得a、b、c的值，而后用数学归纳法证明.【规范解答】假设存在a、b、c使得所给等式成立.令n=1,2,3代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=n4-n2对一切正整数n都成立.(1)当n=1时，由以上可知等式成立;(2)假设当n=k时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)=k4-k2,则当n=k+1时，(k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2=(k2-12)+

8、2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)由(1)(2)知，等式对一切正整数n都成立.【反思感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用n的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明.2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“n=k+1时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.用数学归纳法证明不等式问题【方法点睛】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)对于与正整数n有

9、关的不等式，应用其他办法不容易证时，可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.【例3】由下列不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.【解题指南】由已知条件不难猜想到一般不等式，关键是证明，证明时由n=k到n=k+1时可采用放缩法.【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：(nN*).用数学归纳法证明如下：(1)当n=1时，猜想成立；(2)假设当n=k时，猜想成立，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也正确，所以由(1)(

10、2)可知对任意的nN*，不等式都成立.【反思感悟】(1)本例在由n=k到n=k+1这一步变化中，不等式左边增加了即增加了2k项.(2)当n=k+1时的证明中采用了放缩法，即将已知式子分母变大，从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证明，此种方法是证明不等式的常用方法，应用时要注意是放大还是缩小.归纳猜想证明类问题【方法点睛】归纳猜想证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式.(2)“归纳猜想证明”的基本步

11、骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.【例4】(2012南京模拟)已知数列an满足Sn+an=2n+1.(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.【解题指南】(1)利用Sn=a1+a2+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3，从而猜想an.(2)应用数学归纳法证明时，要利用n=k的假设去推证n=k+1时成立.【规范解答】(1)将n=1,2,3分别代入可得(2)由(1)得n=1时，命题成立；假设n=k(kN*，且k1)时，命题成立，即那么当n=k+1时，a1+a2+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,且a1+a2+ak=2k+1-ak,2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,即当n=k+1时，命题也成立.根据、得,对一切nN*,都成立.【反思感悟】“归纳猜想证明”是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求an,Sn时更是应用频繁.