2013版高中全程复习方略配套课件：6.4基本不等式的应用（苏教版.ppt

1、第四节基本不等式的应用内容要求ABC基本不等式三年2考高考指数:1.基本不等式的常见应用基本不等式 (a0,b0)常用于证明不等式以及求某些函数的_或_.最大值最小值【即时应用】判断下列各不等式是否正确(正确的打“”,错误的打“”)(1)x2+1(x0)()(2)2 ()(3)x+4 ()(4)(a,b是正实数)()【解析】(1)正确.x2+=x2+1+-12-1=1,但等号成立时x=0,又x0,故等号不成立.(2)正确.=+2,但等号不成立,故2;(3)错误.x0,y0,2 =2 =等号成立的条件是x=y=10.答案：(3)若x+2y=4,则2x+4y的最小值是_.【解析】2x+4y=2x+

2、22y2 =2=2 =8.当且仅当2x=22y，x=2y=2时取“=”.答案：8(4)已知扇形面积为定值S，则半径为_时，扇形周长取得最小值_.【解析】设扇形半径为r,弧长为l,则lr=S,lr=2S,周长C=l+2r2 =2 =4 ,当且仅当l=2r时，周长取最小值4 ，此时由2r2=2S,得r=.答案：4 与基本不等式相关的范围问题【方法点睛】常见的求参数取值范围的关注点利用 ()2ab(a,bR)求最值时，要注意和a+b为定值时，平方和a2+b2有最小值,平方和a2+b2为定值时，和a+b有最大值.【例1】已知a、bR，a+b+a2+b2=24，则a+b的取值范围是_.【解题指南】利用

3、()2ab(a,bR)求解.【规范解答】a2+b22ab,当且仅当a=b时取“=”,2(a2+b2)(a+b)2,即a2+b2(a+b)2，当且仅当a=b时取“=”.24-(a+b)=a2+b2(a+b)2，当且仅当a=b时取“=”，即(a+b)2+2(a+b)-480,解关于a+b的二次不等式，得-8a+b6.a+b的取值范围是-8,6.答案：-8，6【反思感悟】利用基本不等式求范围问题的关键是配凑出基本不等式的常见形式,注意在一次求解过程中可能多次应用基本不等式的情况,此时要注意条件的一致性.基本不等式的实际应用【方法点睛】基本不等式实际应用题的解法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题

4、，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量的值不满足定义域时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围应用函数的单调性求解【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超

5、过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.【解题指南】(1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求得最值，得出结论；(2)先由限制条件确定自变量的范围，然后判断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论.【规范解答】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米.则总造价f(x)=400(2x+)+2482x+80162=1 296x+12 960=1 296(x+)+12 9601 2962 +12 960=38 880(元)，当且仅当x=(x0),即x=10时取等号.当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.(2)由限制条

6、件知10 x16.设g(x)=x+(10 x16),由函数性质易知g(x)在10 ，16上是增函数，当x=10 时(此时=16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296(10 +)+12 960=38 882(元).当长为16米，宽为10 米时，总造价最低，为38 882元.【反思感悟】1.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围，它可直接决定最值能否取到.2.本例(2)中由于条件限制应用基本不等式结果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解.基本不等式与其他知识的综合应用【方法点睛】1.函数中应用基本不等式求最值的类型(1)以指数、对数函数为

7、载体构建条件,应用基本不等式求最值.(2)以二次函数为载体,结合根的分布、定义域、值域构建条件,应用基本不等式求最值.(3)以高次函数为载体,结合导数构建条件,应用基本不等式求最值.2.基本不等式在其他数学知识中的应用以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值，是本部分中常见题型，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件.【例3】(1)设x,yR，a1,b1，若ax=by=4且a+b=2 ,则的最大值为_.(2)已知函数f(x)=log2k(x+4)+2+1恒过一定点P，且点P在直线=2(a0,b0)上，则3a+2b

8、的最小值为_.【解题指南】(1)用a,b表示x,y代入后,再利用基本不等式可求.(2)求得P点坐标代入直线方程，再用“1”的代换转化为基本不等式求解.【规范解答】(1)由ax=by=4得x=loga4,y=logb4,故=log4a+log4b=log4(ab).又a1,b1,a+b=2 ,故log4(ab)log4()2=log42=,等号当且仅当a=b=,x=y=4时取得.(2)由函数f(x)=log2k(x+4)+2+1可知，当x=-4时，f(x)=2,即P点坐标为(-4，2)，又P在直线=2(a0,b0)上，故=2，即=1,3a+2b=(3a+2b)()=8+8+2 =8+4 ,等号当

9、且仅当3a2=4b2，即a=2+,b=+1时取得.答案：(1)(2)8+4【反思感悟】与其他章节知识结合的基本不等式题目，其难点在于如何从已知条件中寻找基本关系，本例(1)中其关键是构建x,y与a,b的关系得到x=loga4，y=logb4，从而将成功转化为a,b的关系，再利用基本不等式求解，而对本例(2)中其关键点是确定图象过的定点，确定了这一定点后问题便会迎刃而解.【易错误区】忽视题目的基本含义致误【典例】(2011江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_.【解题指南】由题目已知条件可知两交点必关于原点对称，从而

10、设出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式可解.【规范解答】由题意可知f(x)=的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P(x,)与Q(-x,-)，由两点间距离公式可得等号当且仅当x2=2时取得.答案：4【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时主要有两点误区:(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成解题无思路.(2)有些同学设出直线方程与之联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解时出现运算繁琐情况，导致错解.备考建议解决此类问题时还有以下几点在备考时要高度关注:(

11、1)理解函数的图象性质，明确其表达的含义.(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式.(3)思考要周密，运算要准确、快速.另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法.1.(2011北京高考改编)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数是_.【解析】平均每件产品的费用为，当且仅当,即x=80时取等号.所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.答案：802.(2011 浙江

12、高考)设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是_.【解析】4x2+y2+xy=1,(2x+y)2=3xy+1=2xy+1 ()2+1,(2x+y)2 ,(2x+y)max=.答案：3.(2012扬州模拟)如图,互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ,要求P在射线AM上,Q在射线AN上,且PQ过点C,其中AB=30米,AD=20米,记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时,S最小?并求S的最小值.(2)要使S不小于1 600平方米,则DQ的长应在什么范围内?【解析】(1)设DQ=x米(x0),则AQ=x+20,AP=,则S=APAQ=15(x+40)1 200,当且仅当x=20时取等号.(2)由S1 600,得3x2-200 x+1 2000,解得0 x 或x60.答:(1)当DQ的长度是20米时,S最小,且S的最小值为1 200平方米;(2)要使S不小于1 600平方米,则DQ的取值范围是0DQ 或DQ60.