2013版高中全程复习方略配套课件：选修4-1.1全等与相似（北师大版·数学理）.ppt

1、第一节全等与相似三年7考高考指数:1.了解平行线分线段成比例定理与三角形内角平分线定理.2.会证明、应用直角三角形射影定理.1.利用平行线分线段成比例定理及直角三角形的射影定理进行有关的证明和计算是高考重点.2.本部分主要以填空题和解答题为主，其中以相似三角形为背景的综合题是热点题型，同时相似三角形与圆、方程、三角、函数等知识的结合多以探索性、阅读性命题类型出现.1.图形变化的不变性与平移、旋转、反射(1)图形变化的不变性图形在变化过程中，有些性质改变了，有些性质仍然保持_.常见的图形变化，如平移、_、_、相似(包括位似).不变旋转轴对称(2)平移、旋转、反射平移变换：图形的_过程称为平移变换

2、.旋转变换：图形的_过程称为旋转变换.反射变换：一个图形F绕一条直线l翻转_得到另外一个图形F，则F与F关于l _，这种图形的变化过程称为反射变换，直线l称为反射轴.平移旋转180对称平移变换、旋转变换、反射变换的性质一个图形通过平移变换、旋转变换、反射变换变为另外一个图形，其对应线段的长度_，对应角的大小_.因此，变换前后两个图形是_的，但图形的位置可能发生改变.不变不变全等【即时应用】(1)如图，ABC的内部有一点P，点D、E、F是点P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点.已知BAC=70,ABC=60,ACB=50,则ADB、BEC、CFA的和等于_度.(2)如图，已知ABC与DEF是

3、两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10 cm，较小锐角为30,将这两个三角形摆成如图所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图中的ABC绕点C顺时针方向旋转到图的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为_cm(保留根号).【解析】(1)分别连接PA、PB、PC.点D与点P关于AB对称，AD=AP,BD=BP,ADP=APD,BDP=BPD，ADB=APB;同理BEC=BPC,CFA=CPA.APB+BPC+CPA=360,ADB+BEC+CFA=360.(2)在RtABC中，AB=10 cm,A=30,AC=在图中，BC=CE,B=60，BCE是

4、等边三角形，ECA=30,FGD=90.在RtFGD中，D=30,答案：(1)360 (2)2.相似与位似(1)相似变换：两个图形的形状相同，但大小不同，这两个图形是_.把一个图形按一定比例_或_，这种图形的变化过程称为相似变换.(2)位似变换：把一个图形变为它的_图形，这种图形的变化过程称为位似变换.相似图形放大缩小位似(3)相似与位似变换的性质一个图形通过相似变换(或位似变换)变为另外一个图形,其形状_，对应角的大小_，但图形的_发生了改变.位似变换是一种特殊的_变换.不变不变位置相似【即时应用】(1)如图，已知点D、E分别是ABC的AB、AC边上的点，DEBC,且ADDB=23，若SAD

5、E=4,则S四边形BCED=_.(2)如图，在直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点O为位似中心，将ABC缩小，使变换后得到的DEF与ABC对应边的比为12，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为_.【解析】(1)DEBC,ADEABC.ADDB=23,ADAB=25,SADE=4,S四边形BCED=21.(2)DEF与ABC对应边的比为12,在第一象限内，DEF各个顶点的坐标分别是D(1,1),E(2,1),F(3,2),线段DF中点的坐标为同理，在第三象限内，线段DF的中点的坐标为线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为(2,)或答案：(1

6、)21 (2)3.平行线分线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段_.(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段_.(3)三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边_.成比例成比例对应成比例【即时应用】(1)如图，在ABC中，DEBC,BD=AD,则AEAC=_.(2)在ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=4，BC=7，则BD=_.【解析】(1)DEBC,又 (2)设BD=x,则DC=7-x.AD是ABC的角平分线，答案：(1)34 (2)4.直角三角形的射影定理直角三角形的每一条

7、直角边是它在斜边上的射影与斜边的_，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的_.比例中项比例中项【即时应用】(1)在RtABC中，ACB=90，CDAB于点D，AC=3,BC=4，则AD=_.(2)一直角三角形两条直角边之比是12，则它们在斜边上射影的比是_.【解析】(1)先由勾股定理，得AB=5.再由射影定理，得AC2=ADAB,(2)如图,令ACAB=12,AC、AB在斜边BC上的射影分别为DC、DB，由射影定理，得AC2=CDBC,AB2=BDBC,CDBD=AC2AB2=14.答案：(1)(2)14平行线分线段成比例定理【方法点睛】1.利用平行线分线段成比例定理的注意事项利用平行线分线段成

8、比例定理解决问题时要特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果.2.三角形内角平分线定理的应用三角形内角平分线定理反映了三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.凡涉及与三角形内角平分线有关的比例线段及相关计算问题时，都可以考虑应用这个定理.【例1】(2012佛山模拟)如图，在ABC中，DEBC,EFCD.若BC=3，DE=2,DF=1，求AB的长.【解题指南】这是一道利用平行线分线段成比例定理的计算题，由已知条件分析知，需要中间比例式进行转换可以得到最终结果，即由等可以得出AB的长.【规范解答】DEBC，又

9、EFCD,AF=2FD=2,AD=3.又DEBC,【反思感悟】本题灵活运用了平行线分线段成比例定理，先利用DEBC，EFCD得到比例式后，再进行巧妙地转化比例式，从而解决问题，这是在比例式的证明和计算中常见的一种方法.相似三角形的判定与性质【方法点睛】1.相似三角形的判定思路已知条件判定思路一对等角找一对等角或找夹边成比例两边成比例找两边的夹角相等含有等腰三角形找顶角相等或找一对底角相等或找腰和底对应成比例2.相似三角形性质应用(1)运用相似三角形的性质解决问题，主要考虑相似三角形的对应边、对应角、周长、面积之间的关系.(2)相似三角形的性质多用于求某条线段的长度，求证比例式的存在、求证等积式

10、的成立等.【提醒】在做题时应注意认真观察图形特点，确定好对应边、对应角等.【例2】已知：如图，在ABC中，AB=AC，AD是边BC的中线，P为AD上一点，CFAB，BP的延长线分别交AC，CF于点E，F，求证：BP2=PEPF.【解题指南】要证明BP2=PEPF可以考虑将这三条线段(或与之相等的线段)转化到两个相似三角形中，这两个相似三角形应分别有一条边等于BP，考虑求证中涉及线段的位置关系，可取与BP相等的线段PC.【规范解答】连接PC.AB=AC,中线AD所在的直线是此等腰三角形的对称轴.ABP=ACP,PB=PC,又CFAB,CFP=ABP=PCE.又CPF=EPC,CPEFPC.PC2

11、=PEPF,即BP2=PEPF.ABCDPEF【反思感悟】在几何证明中，如果题目给出的条件较为分散，可以通过添加辅助线，使分散的条件适当集中.熟练掌握几个基本图形，把所要证明的图形转化为基本图形，可使证明思路更明确.直角三角形的射影定理的应用【方法点睛】直角三角形的射影定理的理解及解题思路(1)直角三角形的射影定理建立了直角三角形中边与射影之间的关系，揭示了直角三角形的内在关系.(2)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意直角三角形的射影定理的其他变式.【例3】如图，在Rt

12、ABC中，ACB=90,CDAB于点D，DEAC于点E，DFBC于点F，求证：【解题指南】由三角形ABC为直角三角形，因此可以利用射影定理，寻找边AC与AD、AB之间的关系，同理可以得到边BC与BD、AB之间的关系，再根据ADEDBF，ADEABC，得到有关比例式，最终得到所求证的结果.【规范解答】由直角三角形射影定理，得AC2=ADAB，BC2=BDAB，由ADEDBF，得由ADEABC，得即【反思感悟】本题是射影定理与相似三角形的综合应用题，熟练运用射影定理及转化比例式是解决问题的关键.平移、旋转与反射变换【方法点睛】平移、旋转与反射变换的作用平移变换、旋转变换和反射变换尽管变换前后两个图

13、形的位置发生变化，但是这两个图形是全等的，由此可以得到对应线段相等，对应角相等.【例】在ABC中，AC=BC,ACB=90,D是AC边上一点，且AEBD于点E,又求证：BD平分ABC.【解题指南】分别延长BC、AE相交于点F，可推出ACFBCD进而推出AE=EF,利用等腰三角形的“三线合一”得所求证的结论.【规范解答】延长BC交AE的延长线于点F,ACBC,BEAE,F=BDC.又AC=BC,RtACFRtBCD，BD=AF.又 AE=EF.又AEBE,BE平分ABC,即BD平分ABC.ABDEFC【反思感悟】运用几何变换，要注意挖掘条件的内在联系，充分运用基本图形的特点和性质.如：轴对称图形常用到等腰三角形三线合一、中垂线和角平分线的性质；中心对称图形常用到平行四边形对角线互相平分；平移及旋转常用到全等三角形、正三角形、正方形等的性质.有时需用到两种以上的变换才能使条件相对集中和发现解题途径.