2013版高中全程复习方略配套课件：选修4-1.2圆与直线、圆与四边形（北师大版.ppt

1、第二节圆与直线、圆与四边形三年15考高考指数:1.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.2.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.1.圆的切线的判定和性质是本讲的重点内容，也是考试的热点内容.2.考查圆的切线的判定方法，主要出现在证明题中；考查圆的切线的性质，主要是判定定理及其他知识的综合应用.3.切割线定理通常与三角形相似、弦切角、公切线长等知识综合命题.1.圆周角定理及其推论(1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_.圆周角的度数等于它所对的弧的度数的_.(2)推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角_；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的

2、弧也_.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弧是_.一半一半相等相等直角半圆【即时应用】(1)如图，已知ABC内接于O，AC是O的直径，ACB=50,点D是上一点，则D=_.(2)如图，在O中，则弦AC、BD所夹的锐角=_.【解析】(1)AC是O的直径，ABC=90.ACB=50,A=40.由圆周角定理，得D=A=40.(2)所对的圆心角的度数为90.同理所对的圆心角的度数为60.连接AD，则=1+2=30+45=75.答案：(1)40 (2)75ADCBO122.圆的切线的判定和性质及弦切角定理(1)切线的判定定理:经过半径的_并且_这条半径的直线是圆的切线.(2)切线

3、的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的_.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过_.推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过_.外端垂直于半径切点圆心(3)切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长_.(4)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的_；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的_.相等圆周角一半【即时应用】(1)如图，PA切O于点A，PO=4，OPA=30,则O的半径等于_.(2)如图，AB是O的直径，AC是弦，直线EC和O切于点C，ADEC于点D.若ABC=27,则CAD=_.【解析】(1)连接OA，由题意知，OAPA.在RtPAO中，PO=4，OPA=30,即O的半径等于2.(2)由

4、题意知，ACD=CBA=27,又ADDE,在RtACD中，CAD=90-27=63.答案：(1)2 (2)633.与圆有关的比例线段(1)切割线定理及推论定理：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的_.如图，PT是O的切线，T是切点,PAB是O的割线，则PT2=_.比例中项PAPB推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的_，等于另一条割线上对应线段长的_.如图，PAB和PCD是O的两条割线,则PAPB=_.积积PCPD(2)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积_.如图，圆的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，

5、则PAPB=_.相等PCPD【即时应用】(1)如图，弦AB与CD相交于点P，PA=4，PB=2，则PCPD=_.(2)如图：O的切线PA、PB，PA=4，APB=40,则PB=_,APO=_.【解析】(1)由相交弦定理,得PCPD=PAPB=42=8.(2)PA、PB是O的切线，PB=PA=4.连接OA、OB,则OAPA，OBPB.在APO与BPO中，PA=PB，OAP=OBP=90,PO=PO,RtAPORtBPO,APO=BPO=答案：(1)8 (2)4 204.圆内接四边形(1)圆内接四边形的性质定理及推论定理：圆内接四边形的对角_.推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的_.互补内对

6、角(2)四点共圆的判定定理及推论定理：如果一个四边形的_，那么这个四边形四个顶点共圆.推论：如果四边形的一个外角等于其_，那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)托勒密定理圆内接四边形的两对边乘积之和等于两条对角线的_.内对角互补内对角乘积【即时应用】(1)思考：圆外切四边形的四条边之间有怎样的关系？你能证明吗？提示:圆外切四边形两组对边的和相等.如图，四边形ABCD是O的外切四边形,切点分别为E、F、G、H四点.由切线长定理,得AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH.则AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=BC+AD.(2)如图，四边形ABCD内接于O，A=70,则

7、C=_.【解析】由圆内接四边形的性质定理，得A+C=180,C=110.答案：110(3)如图，在O中，CBE是圆内接四边形ABCD的一个外角，ADC=120,则CBE=_.【解析】由圆内接四边形的性质定理的推论，得CBE=ADC=120.答案：120圆周角定理【方法点睛】1.圆周角定理的应用涉及圆周角的题目，经常利用圆周角与它所对的弧相互转化，即圆周角的度数可以转化成它所对弧的度数，而弧的度数又可以转化为圆周角的度数.2.圆周角定理的两个推论的理解这两个推论为证明角相等，弧相等以及线段相等提供了新思路，应用这两个推论时，要根据具体条件灵活运用.【例1】如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=

8、4，ACB=30,求圆O的面积.【解题指南】可通过作辅助线，把圆周角问题转化为圆心角问题加以解决.【规范解答】如图,连接AO，OB.ACB=30,AOB=60,AOB为等边三角形，圆O的半径r=OA=AB=4，圆O的面积S=r2=16.CBOA图3060【反思感悟】作适当辅助线，把问题进行合理的转化是解决这类题的关键所在.利用圆周角定理常见两种转化方式：圆周角与圆心角之间互相转化(如本题解法)；圆周角与圆周角之间互相转化(如本题还可以作直径，利用推论转化为圆周角为30的直角三角形加以解决).圆的切线的性质与判定和弦切角定理【方法点睛】1.圆的切线的性质与判定方法利用圆的切线的性质与判定来证明或

9、进行有关的计算,有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等.2.弦切角定理的解题思路在解此类题过程中，首先观察分析图形的特点，认准图形中圆的切线所形成的弦切角，再利用弦切角定理，寻找相等的角，往往与相似三角形的相关知识联系在一起得到最终的结论.【例2】如图,已知AB是O的直径,直线CD与O相切于点C,AC平分DAB,ADCD.(1)求证:OCAD;(2)若AD=2,求AB的长.【解题指南】(1)由于ADCD,只要证明OCCD即可得所证结论.(2)先证明ADCACB,再利用相似三角形的性质

10、，计算出结果.【规范解答】(1)CD为O的切线，OCCD.又ADCD,OCAD.(2)如图,连接BC.AC平分DAB,DAC=CAB.AB为O的直径,ACB=90.又ADCD,ADC=90,ADCACB,AC2=ADAB.AD=2,AC=AB=【反思感悟】遇直径，添辅助线构造直径所对的圆周角，这是解决此类题的关键.切线的性质以及相似三角形等相关知识是解决问题的重要依据.与圆有关的比例线段【方法点睛】与圆有关的比例线段的应用及注意事项(1)本考点包括相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理，这些定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的

11、切线等相关知识的综合应用.(2)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容，如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.【例3】如图，O的割线PAB交O于A、B两点，割线PCD经过圆心O,PE是O的切线.已知PA=6,PO=12，求PE及O的半径r.【解题指南】由切割线定理，可求出PE的长，再利用割线定理或切割线定理求出O的半径.【规范解答】由切割线定理，得PE2=PAPB=PA(PA+AB)=由割线定理，得PCPD=PAPB，即(12-r)(12+r)=144-r2=80,r2=64,r=8.【反思感悟】在涉及与圆有关的比例线段的计算时，一般涉及两条相交弦应首先考虑

12、相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要考虑应用切割线定理.四点共圆的判定及应用【方法点睛】四点共圆的判定方法利用以下几点证明:(1)圆内接四边形的对角互补.(2)圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.(3)圆内接四边形同一边的圆周角相等.【例4】已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点.(1)证明:A，P，O，M四点共圆；(2)求OAM+APM的大小.【解题指南】(1)可连接OP,OM,由条件知AP为圆的切线，点P为切点，因此OPAP；又知点M是弦BC的中点，因此OMBC，进而可以说明A、P、O、M四点共圆；(2)根据圆内接四边形的性质及切线的性质可以得到计算结果.【规范解答】(1)连接OP，OM.AP与圆O相切于点P，OPAP.M是圆O的弦BC的中点，OMBC，OPA+OMA=180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，A，P，O，M四点共圆.(2)由(1)得A，P，O，M四点共圆，OAM=OPM.由(1)得OPAP，由圆心O在PAC的内部，OPM+APM=90，OAM+APM=90.【反思感悟】在证明四点共圆时，要抓住角度相等或互补，利用判定条件说明四点共圆，另一方面，利用四点共圆，可以得到相关的角相等.