安徽省2023中考数学 第5章 四边形 第2节 矩形、菱形、正方形试题.docx

1、第五章 四边形第二节矩形、菱形、正方形考 点 帮易错自纠易错点1判断一个四边形的形状时,忽略前提条件1.请判断下列说法的正误,正确的画“”,错误的画“”.(1)四条边都相等的四边形是正方形.()(2)对角线相等且互相平分的四边形是正方形.()(3)对角线互相垂直的平行四边形是正方形.()(4)两条对角线分别平分一组对角的平行四边形是正方形.()2.下列说法中正确的有(C)对角线互相平分的四边形是平行四边形;对角线互相垂直的四边形是菱形;对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;对角线相等的平行四边形是矩形.A.1个B.2个C.3个D.4个易错点2混淆三角形与菱形的面积公式3.已知某菱形的周长为

2、8cm,高为1cm,则该菱形的面积为(A)A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm24.如图,菱形ABCD的边长为5cm,对角线BD与AC交于点O,若BD=6cm,则菱形ABCD的面积为(D)A.48cm2B.40cm2C.30cm2D.24cm2方 法 帮提分特训1.2020广东广州如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OEAC,交AD于点E,过点E作EFBD,垂足为F,则OE+EF的值为(C)A.485B.325C.245D.1252.2020山东青岛如图,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O,若AE=5,BF=3,

3、 则AO的长为(C)A.5B.325C.25D.453.2019宁夏如图,已知矩形ABCD,点E,F分别是AD,AB上的点,EFEC,且AE=CD.(1)求证:AF=DE;(2)若DE=25AD,求tanAFE.(1)证明:四边形ABCD是矩形,A=D=90,AFE+AEF=90.EFCE,AEF+DEC=90,AFE=DEC.在AEF与DCE中,A=D,AFE=DEC,AE=CD,AEFDCE,AF=DE.(2)解:DE=25AD,AE=32DE.AF=DE,tanAFE=AEAF=AEDE=32.4.2019宁夏如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判

4、定四边形ABCD为菱形的是(C)A.ACBDB.AB=ADC.AC=BDD.ABD=CBD5.2020四川乐山如图,在菱形ABCD中,AB=4,BAD=120,O是对角线BD的中点,过点O作OECD于点E,连接OA.则四边形AOED的周长为(B)A.9+23B.9+3C.7+23D.86.2020上海已知,如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,BE=FD,CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.(1)求证:BECBCH;(2)如果BE2=ABAE,求证:AG=DF.(1)证明:四边形ABCD是菱形,DCAB,CD=CB,D=B.又BE=DF,CDFC

5、BE,DCF=BCE.又DCAB,H=DCF=BCE.又B=B,BECBCH.(2)证明:BE2=ABAE,BEAE=ABBE.BCAD,BECAEG,BEAE=BCAG,ABBE=BCAG.又AB=BC,BE=AG.又BE=DF,AG=DF.7.2020山东枣庄如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是85.8.2020内蒙古呼和浩特如图,在正方形ABCD中,G是BC边上任意一点(不与点B,C重合),DEAG于点E,BFDE,交AG于点F.(1)求证:AF-BF=EF.(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形?如果可能,请指出此时点G

6、的位置,如果不可能,请说明理由.(1)证明:四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAF+DAE=90.DEAG,DAE+ADE=90,ADE=BAF.BFDE,BFA=90=AED,ABFDAE,AE=BF,AF-BF=AF-AE=EF.(2)解:不可能.理由:若四边形BFDE是平行四边形,则DE=BF.由(1)知AE=BF,AE=DE,此时DAG=45,即点G与点C重合,与已知矛盾,故四边形BFDE不可能是平行四边形.真 题 帮考法1与矩形有关的证明与计算(10年8考)考法2与菱形有关的证明与计算(10年2考)考法3与正方形有关的证明与计算(10年6考)考法1与矩形有关的证明与计算1.201

7、7安徽,10如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P满足SPAB=13S矩形ABCD,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为(D)A.29B.34C.52D.412.2018安徽,14矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为3或65.3.2016安徽,14如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点C恰好落在边AD上的点F处;点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰好落在线段BF上的点H处.有下列结论:EBG=45;DEFABG;SABG=32S

8、FGH;AG+DF=FG.其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)4.2012安徽,14如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA,PB,PC,PD,得到PAB,PBC,PCD,PDA,设它们的面积分别是S1,S2,S3,S4.给出如下结论:S1+S4=S2+S3;S2+S4=S1+S3;若S3=2S1,则S4=2S2;若S1=S2,则P点在矩形的对角线上.其中正确结论的序号是(把所有正确结论的序号都填在横线上).考法2与菱形有关的证明与计算5.2015安徽,9如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长

9、是(C)A.25B.35C.5D.6考法3与正方形有关的证明与计算6.2012安徽,7为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域.设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为(A)A.2a2B.3a2C.4a2D.5a2作 业 帮基础分点练(建议用时:90分钟)考点1与矩形有关的证明与计算1.2020湖北十堰已知平行四边形ABCD,下列条件:AB=BC;AC=BD;ACBD;AC平分BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是(B)A.B.C.D.2.2020江苏连云港如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线

10、BD上的A处,若DBC=24,则AEB等于(C)A.66B.60C.57D.48(第2题)(第3题)3.2020黑龙江牡丹江如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=10,点E在BC边上,DFAE,垂足为点F.若DF=6,则线段EF的长为(B)A.2B.3C.4D.54.2020山东烟台如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿直线AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tanDAE的值为(D)A.12B.920C.25D.13(第4题)(第5题)5.2020山东菏泽如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延

11、长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为317.6.2020浙江杭州如图是一张矩形纸片,点E在AB边上,把BCE沿直线CE对折,使点B落在对角线AC上的点F处,连接DF.若点E,F,D在同一条直线上,AE=2,则DF=2,BE=5-1.7.2020云南已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=210,则DE的长是83或2343.8.2020四川乐山如图,E是矩形ABCD的边CB上的一点,AFDE于点F,AB=3,AD=2,CE=1.求DF的长度.解:四边形ABCD是矩形,AB=3,DC=AB=3,ADC=C=90.CE=1,DE=DC2+CE2=32+1

12、2=10.AFDE,ADC=90,ADF+DAF=90,ADF+EDC=90,EDC=DAF,又DCE=DFA=90,EDCDAF,DEAD=ECDF,即102=1DF,DF=105.9.2020山东聊城如图,在ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC.若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,BAE=CFE,ABE=FCE.E为BC的中点,EB=EC,ABEFCE,AB=CF.又ABCF,四边形ABFC是平行四边形.AD=BC,AD=AF,BC=AF,四边形ABFC是矩形.10.2020贵州贵阳如图,四边形AB

13、CD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CF=BE,连接AE,DF.(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;(2)连接ED,若AED=90,AB=4,BE=2,求四边形AEFD的面积.(1)证明:四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC.CF=BE,CF+EC=BE+EC,即EF=BC,EF=AD,四边形AEFD是平行四边形.(2)解:四边形ABCD是矩形,B=90.在RtABE中,AB=4,BE=2,EA=42+22=25.ADBC,DAE=AEB.又B=AED=90,ABEDEA,BEEA=EAAD,即225=25AD,AD=10.由(1)知四边形AEFD是平行四边形,EF

14、=AD=10,SAEFD=EFAB=104=40.考点2与菱形有关的证明与计算11.2020贵州贵阳菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是(B)A.5B.20C.24D.3212.2020湖北黄冈若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为(B)A.41B.51C.61D.7113.2020黑龙江龙东地区如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DHAB于点H,连接OH,若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为(A)A.4B.8C.13D.6(第13题)(第14题)14.2020四川南充如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中

15、点,过点E分别作EFBD于点F,EGAC于点G,则四边形EFOG的面积为(B)A.14SB.18SC.112SD.116S15.2020辽宁抚顺如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,点E是CD上一点,连接OE,若OE=CE,则OE的长是(B)A.2B.52C.3D.4(第15题)(第16题)16.2020宁夏如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E,F分别是边CD,BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=(B)A.13B.10C.12D.517.如图,在ABC中,ABC=90,BD为AC边上的中线,过点C作CEBD于点E,

16、过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AG=13,BG=5,则CF的长为6.18.2020江苏连云港如图,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点M,N,连接BM,DN.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.(1)证明:ADBC,CBD=ADB,BNO=DMO.直线MN是线段BD的垂直平分线,OB=OD.BONDOM,OM=ON,四边形BNDM为菱形.(2)解:四边形BNDM为菱形,BD=24,MN=10,OB=12BD=12,OM=12MN=5.在R

17、tBOM中,BM=OM2+BO2=52+122=13,菱形BNDM的周长为4BM=413=52.19.2020蚌埠高新区模拟如图,AMBN,C是BN上一点,BD平分ABN且过AC的中点O,交AM于点D,DEBD,交BN于点E.(1)求证:ADOCBO.(2)求证:四边形ABCD是菱形.(3)若DE=AB=2,求菱形ABCD的面积.(1)证明:点O是AC的中点,AMBN,AO=CO,DAC=ACB.在AOD和COB中,DAO=BCO,AO=CO,AOD=COB,ADOCBO.(2)证明:由(1)得ADOCBO,AD=CB,又AMBN,四边形ABCD是平行四边形.AMBN,ADB=CBD.BD平分

18、ABN,ABD=CBD,ABD=ADB,AD=AB,四边形ABCD是菱形.(3)解:四边形ABCD是菱形,ACBD,AD=CB=AB=2,又DEBD,ACDE.又AMBN,四边形ACED是平行四边形,AC=DE=2,EC=AD=2,EB=4.在RtDEB中,由勾股定理得BD=BE2-DE2=42-22=23,S菱形ABCD=12ACBD=12223=23.考点3与正方形有关的证明与计算20.2020山东滨州下列命题是假命题的是(D)A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形21.2020芜湖模

19、拟如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB边的中点,点F在BC边上,点B关于直线EF的对称点记为B,连接BD,BE,BF.当点F在BC边上移动使得四边形BEBF成为正方形时,BD的长为(A)A.2B.3C.22D.3(第21题)(第22题)22.2020湖北恩施州如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则BFE周长的最小值为(B)A.5B.6C.7D.823.2020河南如图,在边长为22的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为1.(第23题)(第24题)24.2020

20、山东青岛如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点E在CD的延长线上,连接AE,点F是AE的中点,连接OF交AD于点G,连接DF.若DE=2,OF=3,则点A到DF的距离为455.25.2020内蒙古呼伦贝尔已知:如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边BC,CD上的点,且EOF=90.求证:CE=DF.证明:四边形ABCD为正方形,OD=OC,ODF=OCE=45,COD=90,DOF+COF=90.EOF=90,COE+COF=90,COE=DOF,COEDOF,CE=DF.26.2020淮南模拟如图,已知四边形ABCD是矩形,点E在对角线AC上,

21、点F在边CD上(点F与点C,D不重合),BEEF,且ABE+CEF=45.(1)求证:四边形ABCD是正方形;(2)连接BD,交EF于点Q,求证:DQBC=CEDF.证明:(1)如图,过点E作EMBC于点M.四边形ABCD是矩形,ABBC,EMAB,ABE=BEM,BAC=CEM.ABE+CEF=45,BEM+CEF=45.又BEEF,BAC=CEM=45,ACB=45=BAC,AB=BC,四边形ABCD是正方形.(2)BEF+BCF+EFC+EBC=360,EBC+EFC=180.又EFC+QFD=180,DFQ=EBC.四边形ABCD是正方形,ACB=QDF=45,BCEFDQ,BCDF=

22、CEDQ,DQBC=CEDF.综合提升练(建议用时:50分钟)1.2020蚌埠新城区模拟如图,在平行四边形ABCD中,B=60.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF,下列说法不正确的是(D)A.四边形CEDF是平行四边形B.当CEAD时,四边形CEDF是矩形C.当AEC=120时,四边形CEDF是菱形D.当AE=ED时,四边形CEDF是菱形2.2020内蒙古呼和浩特如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A,D点的对称点为D,若FPG=90,SAEP

23、=8,SDPH=2,则矩形ABCD的长为(D)A.65+10B.610+52C.35+10D.310+523.2019北京在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(均不与端点重合).对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;存在无数个四边形MNPQ是矩形;存在无数个四边形MNPQ是菱形;至少存在一个四边形MNPQ是正方形.所有正确结论的序号是.4.2020合肥模拟如图,在RtABC中,BAC=90,AB=5,AC=12,P为边BC上一动点(不与点B,C重合),过点P分别作PEAB于点E,PFAC于点F,连接EF,点M为EF的中点,连

24、接AM,则AM的长度的取值范围是3013AM6.(第4题)(第5题)5.2020陕西如图,在菱形ABCD中,AB=6,B=60,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为27.6.2020黑龙江龙东地区如图,在边长为4的正方形ABCD中,连接BD,将ABD沿射线BD平移,得到EGF,连接EC,GC.则EC+GC的最小值为45.(第6题)(第7题)7.2020山东滨州如图,点P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为23,2,4,则正方形ABCD的面积为14+43.8.2020北京如图,菱形ABCD的对角线AC,B

25、D相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EFAB,OGEF.(1)求证:四边形OEFG是矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.(1)证明:四边形ABCD为菱形,点O为BD的中点.又点E为AD的中点,OE为ABD的中位线,OEFG.又OGEF,四边形OEFG为平行四边形.又EFAB,四边形OEFG为矩形.(2)解:点E为AD的中点,AD=10,AE=12AD=5.又EFA=90,EF=4,AF=AE2-EF2=52-42=3.四边形ABCD为菱形,AB=AD=10,OE=12AB=5.四边形OEFG为矩形,FG=OE=5,BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.9.20

26、20合肥庐阳区模拟如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别是边CD,AD上的动点,AE和BF交于点G.(1)如图(1),若点E为CD的中点,AF=2FD,求AG的长;(2)如图(2),若点F在AD上从点A向点D运动,点E在DC上从点D向点C运动,两点同时出发匀速运动,同时到达各自终点,求在运动过程中,点G运动的路径长;(3)如图(3),若点E,F分别是CD,AD的中点,连接BD,与AE交于点H,求FBD的正切值.图(1)图(2)图(3)解:(1)如图(1),延长BF,CD交于点H.图(1)点E为CD的中点,DE=12DC=3.在RtADE中,由勾股定理得,AE=AD2+DE2=62+32=

27、35.四边形ABCD为正方形,ABCD,AFBDFH,ABDH=AFDF=2,即6DH=2,DH=3,EH=3+3=6.ABCD,AGBEGH,AGGE=ABEH=1,AG=12AE=352.(2)如图(2),取AB的中点O,连接OG.图(2)由题意得,AF=DE.在BAF和ADE中,BA=AD,BAF=ADE,AF=DE,BAFADE,ABF=DAE.又BAG+DAE=90,BAG+ABG=90,即AGB=90.点O是AB的中点,OG=12AB=3.连接AC,BD交于点P,连接OP.当点E与点C重合、点F与点D重合时,点G与点P重合,点G在以点O为圆心、OA长为半径的AP上运动.易得AOP=

28、90,点G运动的路径长为901803=32.(3)如图(3),过点F作FQBD于点Q.图(3)点F是AD的中点,AF=DF=3.四边形ABCD为正方形,BD=2AB=62,ADB=45,QF=QD=322,BQ=BD-DQ=922,tanFBD=QFBQ=322922=13.10.2020蚌埠六中模拟如图(1),在平行四边形ABCD中,BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,以EC,CF为邻边作平行四边形ECFG.图(1)图(2)图(3)(1)求证:四边形ECFG是菱形.(2)若ABC=120,连接BD,BG,CG,DG,如图(2).求证:DGCBGE.求BDG的度数.(3)若ABC

29、=90,AB=8,AD=14,M是EF的中点,如图(3)所示,求DM的长.(1)证明:AF平分BAD,BAF=DAF.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ABCD,DAF=CEF,BAF=CFE,CEF=CFE,CE=CF,又四边形ECFG是平行四边形,四边形ECFG是菱形.(2)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD.又ABC=120,BCD=60,BCF=120.由(1)知,四边形CEGF是菱形,CE=GE,BCG=12BCF=60,CGE是等边三角形,DCG=120,CG=GE.EGDF,BEG=BCF=120=DCG.ADBC,DAE=AEB,BAE=AEB,AB=BE,BE=C

30、D,DGCBGE.由可知DGCBGE,CGE是等边三角形,BG=DG,BGE=DGC,CGE=60,BGE+EGD=CGD+EGD=CGE=60,BDG是等边三角形,BDG=60.(3)方法一:易知当ABC=90时,四边形ABCD是矩形,CD=AB=8,BC=AD=14.由(1)中结论可知当ABC=90时,四边形ECFG为正方形.由(2)可知BE=AB=8,EC=BC-BE=14-8=6,即正方形ECFG的边长为6.如图,过点M作MHDF于点H,则CH=12CF=3,MH是ECF的中位线,MH=12EC=3,DH=DC+CH=11,DM=112+32=130.方法二:由(1)中结论可知当ABC

31、=90时,四边形ECFG为正方形.由(2)可知BE=AB.连接BM,CM,BD.M为EF的中点,四边形ECFG为正方形,CEM=ECM=45,EM=CM,BEM=DCM=135.在BME和DMC中,BE=CD,BEM=DCM,EM=CM,BMEDMC,MB=MD,DMC=BME,BMD=BME+EMD=DMC+EMD=90,BMD是等腰直角三角形.AB=8,AD=14,BAD=90,BD=265,DM=22BD=130.全国视野创新练1.数学文化2020湖北孝感如图(1),四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为“赵

32、爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图(2)所示的图形,记阴影部分的面积为S1,空白部分的面积为S2,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若S1=S2,则nm的值为3-12.图(1)图(2)2.新角度2020江西如图,矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=4cm,折叠纸片使折痕经过点B,交AD边于点E,点A落在点A处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA,EA,不再添加其他线段.当图中存在30角时,AE的长为433,43或(8-43)cm.参考答案第二节矩形、菱形、正方形【易错自纠】1.四条边都相等的四边形是菱形,故(1)错误.对角线相等且互相平分的四边形是矩形,故(2)错误.对角线互

33、相垂直的平行四边形是菱形,故(3)错误.两条对角线分别平分一组对角的平行四边形是菱形,故(4)错误.2.C对角线互相平分的四边形是平行四边形,故正确;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故错误;对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,故正确;对角线相等的平行四边形是矩形,故正确.故选C.3.A该菱形的边长为84=2(cm),故其面积为21=2(cm2).4.D四边形ABCD是菱形,ACBD,OD=OB=12BD=3cm.又AD=5cm,OA=4cm,AC=8cm,S菱形ABCD=12ACBD=1286=24(cm2).提分特训1.C由矩形的性质得,BAD=90,OA=OD,BD=AB2+AD2

34、=10,EAO=ADB,sinADB=610=35.OEAO,在RtAOE中,OE=AEsinEAO.EFBD,在RtEFD中,EF=DEsinADB.OE+EF=AEsinEAO+DEsinADB=(AE+DE)sinADB=ADsinADB=835=245.2.C由折叠的性质可知OA=OC,AF=CF,ACEF.在矩形ABCD中,ADBC,OAE=OCF,OEA=OFC,AOECOF,CF=AE=5,BC=BF+CF=8,AF=CF=5.B=90,AB=AF2-BF2=4.在RtABC中,AC=AB2+BC2=42+82=45,AO=12AC=25.3.略4.C四边形ABCD的两条对角线互

35、相平分,四边形ABCD是平行四边形.添加ACBD时,可判定ABCD是菱形;添加AB=AD时,可判定ABCD是菱形;添加AC=BD,可判定ABCD是矩形,不能判定它为菱形;添加ABD=CBD时,结合平行四边形的性质,可得ABD=ADB,从而可得AB=AD,可判定ABCD是菱形.故选C.5.B四边形ABCD是菱形,O是对角线BD的中点,AOBD,AD=AB=4,ABDC.又BAD=120,CDB=ABD=ADB=30,AO=12AD=2,DO=AD2-AO2=23.又OECD,OE=12OD=3,DE=32OD=3,四边形AOED的周长为AO+OE+DE+AD=2+3+3+4=9+3.6.略7.8

36、5如图,连接BD交AC于点O.四边形ABCD为正方形,BDAC,OD=OB=OA=OC=4.AE=CF=2,OA-AE=OC-CF=2,即OE=OF=2,四边形BEDF为平行四边形,又BDEF,四边形BEDF为菱形.在RtDOE中,由勾股定理得DE=OD2+OE2=42+22=25,四边形BEDF的周长为4DE=425=85.8.略1.D过点P作EFAB,分别交AD,BC于点E,F.以EF所在直线为对称轴,作点A关于EF的对称点A,连接AB交EF于点P,当点P与点P重合时,PA+PB的值最小.SPAB=13S矩形ABCD,12ABAE=13ABAD,即125AE=1353,解得AE=2,AE=

37、2,AA=4.在RtABA中,由勾股定理,得AB=42+52=41,即PA+PB的最小值为41.2.3或65PBEDBC,PBE=DBC,PEB=C=90,点P在BD上.分两种情况讨论:如图(1),当AD为等腰三角形APD的底边时,直线PE是边AD的垂直平分线,易知PE是DBC的中位线,PE=12CD=12AB=3.如图(2),当AD为等腰三角形APD的腰时,PD=AD=8.由勾股定理,得BD=62+82=10,则BP=BD-DP=10-8=2.PBEDBC,PECD=BPBD,即PE6=210,解得PE=65.综上所述,PE的长为3或65.3.由折叠的性质可知,ABG=FBG,CBE=EBF

38、,则EBG=12ABC=45,故结论正确;根据题中条件,无法推出RtDEF和RtABG中的两个锐角分别相等,故结论错误;由折叠的性质可知,BH=AB=6,BF=BC=10,则HF=BF-BH=10-6=4,SBHGSFGH=64=32,SABG=SBHG=32SFGH,故结论正确;设AG=HG=x,由AF=BF2-AB2=102-62=8,可得FD=2,FG=8-x.在RtGHF中,根据勾股定理可得FG2=GH2+FH2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3,则FG=8-3=5,AG+DF=FG,故结论正确.综上所述,结论正确.4.如图(1),过P点作矩形ABCD四边的垂线.因为S1+S3=

39、12PEAB+12PFCD=12AB(PE+PF)=12ABBC,S2+S4=12PGBC+12PHAD=12BC(PG+PH)=12BCAB,所以S1+S3=S2+S4,即正确,而S1+S4与 S2+S3不一定相等,即错误.由S3=2S1可以得出PF=2PE,但是PH与PG的数量关系无法得出,故无法判断S4与S2的关系,即错误.如图(2),分别过点A,C作AMBP,CNBP,交BP的延长线于M,N,连接DN.若S1=S2,则12BPAM=12BPCN,即AM=CN.1+2=90=2+3,所以1=3,3+4=90=4+5,所以3=5,所以5=1,又AB=CD,所以ABMCDN,所以AMB=CN

40、D=90,即BNC+CND=180,点B,P,N,D共线,所以点P在矩形的对角线上,故正确.图(1)图(2)5.C如图,连接EF,与AC交于点O.根据菱形的性质,可知EF与GH相互垂直平分.又CFAE,AOECOF,AO=CO.在RtABC中,AC=AB2+BC2=82+42=45,AO=25.OAE=BAC,AOE=ABC=90,RtAOERtABC,AOAB=AEAC,即258=AE45,AE=5.6.A由题意可知,正八边形的边长为a,即原来正方形的每一角上的等腰直角三角形的斜边长均为a,直角边长为22a,阴影部分的面积为中间小正方形面积与四个等腰直角三角形的面积之和,即S阴影=a2+12

41、(22a)24=2a2.基础分点练1.BAB=BC,邻边相等的平行四边形是菱形;AC=BD,对角线相等的平行四边形是矩形;ACBD,对角线互相垂直的平行四边形是菱形;由AC平分BAD,可推得平行四边形ABCD是菱形.故选B.2.C由折叠可得ABE=ABE,BAE=A=90.DBC=24,ABA=90-24=66,ABE=33,AEB=90-33=57.3.B四边形ABCD为矩形,AD=BC=10,ADBC,AEB=DAF,又ABE=DFA,AFDEBA,ADAE=DFAB.DF=6,AF=102-62=8,10AE=63,AE=5,EF=AF-AE=8-5=3.4.D四边形ABCD为矩形,AD

42、=BC=5,CD=AB=3.由折叠可知AF=AD=5,EF=DE.在RtABF中,BF=AF2-AB2=52-32=4,CF=BC-BF=5-4=1.设CE=x,则EF=DE=3-x.在RtECF中,CE2+FC2=EF2,x2+12=(3-x)2,解得x=43,DE=3-x=53,tanDAE=DEAD=535=13.5.317在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,BAD=90,根据勾股定理,可得BD=13.BP=BA=5,PD=BD-BP=8,BAP=BPA=DPQ.ABCD,BAP=DQP,DPQ=DQP,DQ=DP=8,CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3.在RtBCQ中,BC=

43、AD=12,CQ=3,根据勾股定理,得BQ=317.6.25-1设BE=x,BC=y,则EF=x,CD=AB=AE+BE=2+x,AD=BC=y.由折叠可知CFE=B=90,BAC+AED=90=BAC+ACB,AED=ACB.又DAE=ABC,ABCDAE,ADAB=AEBC,即y2+x=2y,则y2=2(x+2).AECD,AEFCDF,AECD=AFFC,即2x+2=AFy,则AF=2yx+2.在RtAEF中,由勾股定理,得AE2=EF2+AF2,则4=x2+(2yx+2)2,将代入,得4=x2+8(x+2)(x+2)2,整理,得x2+2x-4=0,解得x=5-1(负值已舍去),即EF=

44、BE=5-1,CD=AB=5+1.由AEFCDF,得EFDF=AECD,即5-1DF=25+1,DF=2.7.83或2343如图,四边形ABCD是矩形,CD=AB=6,AD=BC,ABC=ADC=90,BC=AC2-AB2=(210)2-62=2,AD=2.易知点E在边CD或边AB上.当点E在CD上时,AE2=DE2+AD2=EC2,(6-DE)2=DE2+4,DE=83.当点E在AB上时(点E处),EC2=EB2+BC2=EA2,EA2=(6-AE)2+4,AE=103,DE=AD2+EA2=22+(103)2=2343.综上所述,DE=83或2343.810.略11.B由菱形的对角线互相垂

45、直平分,易得菱形的边长为32+42=5,菱形的周长为54=20,故选B.12.B如图,菱形ABCD的周长为16,高为2,AB=4,AH=2.在RtABH中,sinB=AHAB=24=12,B=30.ABCD,C=150,CB=51.13.A四边形ABCD是菱形,OA=6,AC=2OA=12,OB=OD.又DHAB,OH=12BD.S菱形ABCD=48,12ACBD=48,BD=8,OH=4.14.B方法一:如图(1),连接OE.四边形ABCD是菱形,ACBD,AO=OC,BO=DO,SBOC=SAOB=SAOD=SDOC=14S.由点E是BC的中点,EFBD,EGAC,BOC=90,易知点F是

46、BO的中点,点G是CO的中点,SBOE=SCOE=12SBOC,SOEF=12SBOE,SOEG=12SCOE,S四边形EFOG=SOEF+SOEG=12SBOE+12SCOE=12SBOC=18S,故选B.图(1)图(2)方法二:如图(2),连接FG.四边形ABCD是菱形,ACBD,AO=OC,BO=DO,SBOC=SAOB=SAOD=SDOC=14S.由点E是BC的中点,EFBD,EGAC,BOC=90,易知点F是BO的中点,点G是CO的中点,FG是OBC的中位线,FGBC,FG=12BC,OFGOBC,SOFG=14SOBC=116S.易知SOFG=SEFG=12S四边形EFOG,S四边

47、形EFOG=2SOFG=18S.故选B.15.B四边形ABCD是菱形,OC=12AC=4,OD=12BD=3,COD=90.在RtOCD中,根据勾股定理可知,CD=OD2+OC2=5.EOC=ECO,EOC+EOD=90,ECO+EDO=90,EOD=EDO,DE=OE.又OE=CE,DE=OE=CE,OE=12CD=52.16.B连接BD交AC于点O,如图.四边形ABCD为菱形,点E,F分别是边CD,BC的中点,ABCD,AB=BC=CD=DA=13,EF是BCD的中位线,EFBD,四边形BDEG是平行四边形,EG=BD.在COD中,OCOD,CD=13,CO=12AC=12,OD=132-

48、122=5,BD=2OD=10,EG=BD=10.17.6AGBD,BD=FG,四边形BGFD是平行四边形.CFBD,CFAG.由题意可知点D是边AC的中点,BD=DF=12AC,四边形BGFD是菱形,DF=GF=BG=5,AF=13-5=8,AC=2DF=10.在RtACF中,AF2+CF2=AC2,即82+CF2=102,CF=6.18.略19.略20.D对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,不是正方形.故选D.21.A如图,当四边形BEBF成为正方形时,连接BB,BD.四边形ABCD是正方形,BD=2AB=22,BD平分ABC.E为AB边的中点,AE=BE=1.四边形BEBF是正方形,BB

49、=2BE=2,BB平分ABC,B,B,D三点共线,BD=BD-BB=2.22.B四边形ABCD是正方形,点B与点D关于直线AC对称,如图,连接DE交AC于点F,BF=DF,此时BFE的周长有最小值,最小值为DF+EF+BE,即DE+BE.AB=4,BE=1,AE=3.根据勾股定理,得DE=AD2+AE2=42+32=5,DE+BE=6,BFE周长的最小值为6.故选B.23.1如图,连接FG并延长,交AD于点M,设点O为FM的中点,易知FG是BCE的中位线,直线FMAD,FM=22.连接OH,则OHMD,OH=12MD=22,OGOH.OF=12FM=2,GF=12BE=22,OG=2-22=2

50、2,GH=(22)2+(22)2=1.24.455四边形ABCD是正方形,点O是AC的中点.又点F是AE的中点,OF是ACE的中位线.易知GF是ADE的中位线,GF=DE2=1,OG=OF-GF=2,易知AD=2OG=4,AE=AD2+DE2=25,DF=12AE=5.易知SADF=12SADE=121242=2.易求得点A到DF的距离为225=455.25.略26.略综合提升练1.D四边形ABCD是平行四边形,CFED,FCG=EDG.G是CD的中点,CG=DG.又CGF=DGE,FCGEDG,CF=ED,四边形CEDF是平行四边形,故选项A中说法正确.四边形CEDF是平行四边形,当CEAD

51、时,平行四边形CEDF是矩形,故选项B中的说法正确.当AEC=120时,CED=60.四边形ABCD是平行四边形,CDE=B=60,CDE是等边三角形,CE=DE,平行四边形CEDF是菱形,故选项C中的说法正确.当AE=ED时,不能得出四边形CEDF是菱形,即选项D中的说法错误.2.D四边形ABCD是矩形,AB=CD,AD=BC.设AB=CD=x,由折叠的性质可知,PA=AB=x,PD=CD=x.易证AEPDPH,AP2DH2=82,APDH=21,DH=12x.SDPH=12DPDH=12x12x=2,x=22(负值已舍去),DP=AP=22,DH=DH=2,AE=2DP=42,PE=(42

52、)2+(22)2=210,PH=(22)2+(2)2=10,AD=42+210+10+2=310+52.3.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,连接PM,QN,若PM与QN均经过点O,则四边形MNPQ为平行四边形,此时若PM=QN,则四边形MNPQ为矩形;若PMQN,则四边形MNPQ为菱形.有的矩形不存在以点M,N,P,Q为顶点的正方形.故正确的结论是.4.3013AM6连接AP.PEAB,PFAC,AEP=AFP=90.又BAC=90,四边形AEPF是矩形,AP=EF.BAC=90,M为EF的中点,AM=12EF=12AP.在RtABC中,BAC=90,AB=5,AC=12,BC=

53、13.易知当APBC时,AP的长度最小,易知此时AP=51213=6013.由题意易知AP12,AP的长度的取值范围是6013AP12,AM的长度的取值范围是3013AM0),则S1=4SABD+n2=412an+n2=2an+n2,S2=4SACD=412a2=2a2.S1=S2,2an+n2=2a2.S1+S2=m2,S2=m22,即m22=2a2,解得a=m2(负值不合题意,已舍去),将a=m2代入2an+n2=2a2,得mn+n2=m22,两边同除以m22,得2nm+2(nm)2=1,令p=nm,则2p+2p2=1,解得p=3-12(负值不合题意,已舍去),即nm的值为3-12.2.4

54、33,43或(8-43)如图(1),当ABE=30时,在RtABE中,AB=4,tanABE=AEAB,AE=ABtanABE=4tan30=433.如图(2),当AEB=30时,在RtABE中,tanAEB=ABAE,33=4AE,AE=43.如图(3),当ABA=30时,DEA=30,由折叠的性质可知,AE=AE,AB=AB=4,过点A作FGBC于点G,交AD于点F,则FG=AB=4.ABFG,BAG=ABA=30,BG=12AB=2.tanBAG=BGAG=33,AG=23,AF=FG-AG=4-23.在RtAEF中,sinFEA=AFAE=12,AE=AE=8-43.综上所述,AE的长为433,43或(8-43)cm.图(1)图(2)图(3)