安徽省2023中考数学 第6章 圆 第1节 与圆有关的概念及性质试题.docx

1、第六章圆第一节与圆有关的概念及性质考 点 帮易错自纠易错点1未能结合圆中“铁三角”构造出直角三角形1.2020湖北十堰如图,点A,B,C,D在O上,OABC,垂足为点E.若ADC=30,AE=1,则BC=(D)A.2B.4C.3D.23(第1题)(第2题)易错点2未能灵活应用圆内接四边形对角互补的性质2.如图,四边形ABCD内接于O,AC平分BAD.若BDC=40,则BCD的度数为100.易错点3“以弦换弧”常出错3.如图,四边形ACBD内接于O,且O的半径为R.若AB=R,则弦AB所对的圆周角的度数为30或150.方 法 帮提分特训1.2020湖北宜昌下列选项中,点E,F,G为圆上的三点,F

2、EG=50,点P可能是圆心的是(C)ABCD2.2020海南如图,已知AB是O的直径,CD是弦,若BCD=36,则ABD等于(A)A.54B.56C.64D.663.2020合肥蜀山区模拟如图,O是ABC的外接圆,O的半径r=2,tanA=43,则弦BC的长为(B)A.2.4B.3.2C.3D.5(第3题)(第4题)4.如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,以OC为直径作圆分别交AC,BC于点D,E,连接OD,OE,DE,则下列命题为假命题的是(D)A.若ACO=50,则B=40B.若AB=4,则DE=2C.若OCAB,则四边形ODCE是正方形D.若点C是半圆AB的中点,则CEO的长和BC

3、的长不相等5.2020广东广州往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB=48cm,则水的最大深度为(C)A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm6.2019山东菏泽如图,AB是O的直径,C,D是O上的两点,且BC平分ABD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论不一定成立的是(C)A.OCBDB.ADOCC.CEFBEDD.AF=FD7.2020黑龙江牡丹江AB是O的弦,OMAB,垂足为点M,连接OA.若AOM中有一个角是30,OM=23,则弦AB的长为4或12.8.2020湖南张家界如图,四边形ABCD为O的内接四边形,已知BCD为120,则BO

4、D的度数为(C)A.100B.110C.120D.130(第8题)(第9题)9.2020湖北黄石如图,点A,B,C在O上,CDOA,CEOB,垂足分别为D,E.若DCE=40,则ACB的度数为(C)A.140B.70C.110D.8010.2020四川雅安如图,四边形ABCD内接于圆,ABC=60,对角线BD平分ADC.(1)求证:ABC是等边三角形;(2)过点B作BECD交DA的延长线于点E,若AD=2,DC=3,求BDE的面积.(1)证明:DB平分ADC,ADB=CDB,AB=BC.又ABC=60,ABC是等边三角形.(2)ABC是等边三角形,BAC=60,BDC=60.又BECD,EBD

5、=CDB=60.又ABC=60,ABE=CBD.又BCD=BAE,AB=CB,ABECBD,AE=CD=3,BD=BE,BDE是等边三角形,DE=AD+AE=5,BDE的面积为125232=2534.真 题 帮考法1圆的基本性质(10年1考)考法2圆周角定理及其推论(10年6考)考法3圆内接四边形的性质(10年1考)考法4垂径分弦(10年4考)考法1圆的基本性质1.2014安徽,10如图,正方形ABCD的对角线BD长为22,若直线l满足:点D到直线l的距离为3;A,C两点到直线l的距离相等,则符合题意的直线l的条数为(B)A.1B.2C.3D.4考法2圆周角定理及其推论2.2013安徽,10如

6、图,点P是等边三角形ABC外接圆O上的点,在以下判断中,不正确的是(C)A.当弦PB最长时,APC是等腰三角形B.当APC是等腰三角形时,POACC.当POAC时,ACP=30D.当ACP=30时,BPC是直角三角形(第2题)(第3题)3.2019安徽,13如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB于点D.若O的半径为2,则CD的长为2.4.2014安徽,19如图,在O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF延长线与O的交点.若OE=4,OF=6,求O的半径和CD的长.解:OC为小圆的直径,OFC=90,CF=DF.OEAB,OEF=

7、OFC=90.又FOE=COF,OEFOFC,OEOF=OFOC,OC=OF2OE=624=9.又CF=OC2-OF2=92-62=35,CD=2CF=65.故O的半径为9,CD的长为65.考法3圆内接四边形的性质5.2012安徽,13如图,点A,B,C,D在O上,O点在D的内部,四边形OABC为平行四边形,则OAD+OCD=60.考法4垂径分弦6.2020安徽,9已知点A,B,C在O上,则下列命题为真命题的是(B)A.若半径OB平分弦AC,则四边形OABC是平行四边形B.若四边形OABC是平行四边形,则ABC=120C.若ABC=120,则弦AC平分半径OBD.若弦AC平分半径OB,则半径O

8、B平分弦AC7.2011安徽,13如图,O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则O的半径是5.8.2019安徽,19筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图(1),明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理.如图(2),筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,OAB=41.3,若点C为运行轨迹的最高点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.30.66,cos41.30.75,tan41.30.88)图(1) 图(2)解:如图,连接CO并延长,交

9、AB于点D,则CDAB,点D为AB的中点,线段CD的长即为点C到弦AB所在直线的距离.在RtAOD中,AD=12AB=3,OAD=41.3,OD=ADtan41.330.88=2.64,OA=ADcos41.330.75=4,CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64.答:点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.作 业 帮基础分点练(建议用时:30分钟)考点1圆周角定理及其推论1.2020江苏扬州如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则sinADC的值为(A)A.21313B.31313C.23D.32(第1题)(第2题)2.

10、2020四川内江如图,点A,B,C,D在O上,AOC=120,点B是AC的中点,则D的度数是(A)A.30B.40C.50D.603.2020黑龙江牡丹江如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的2倍,则ASB的度数是(C)A.22.5B.30C.45D.60(第3题)(第4题)4.2020山东青岛如图,BD是O的直径,点A,C在O上,AB=AD,连接AB,AD,AC交BD于点G.若COD=126,则AGB的度数为(B)A.99B.108C.110D.1175.2020湖北随州如图,点A,B,C在O上,AD是BAC的平分线,若BOC=120,则CAD的度数为30.6.2020合肥庐阳

11、区模拟如图,四边形ABCD内接于O,若BAC=35,CBD=70,则BCD的度数为75.(第6题)(第7题)7.2020黑龙江龙东地区如图,AD是ABC的外接圆O的直径,若BAD=40,则ACB=50.考点2垂径分弦8.2020山东滨州在O中,直径AB=15,弦DEAB于点C,若OCOB=35,则DE的长为(C)A.6B.9C.12D.159.2020湖北荆门如图,O中,OCAB,APC=28,则BOC的度数为(D)A.14B.28C.42D.56(第9题)(第10题)10.2020陕西如图,ABC内接于O,A=50.E是边BC的中点,连接OE并延长,交O于点D,连接BD,则D的大小为(B)A

12、.55B.65C.60D.7511.2019四川凉山州如图所示,AB是O的直径,弦CDAB于点H,A=30,CD=23,则O的半径是2.12.2020黑龙江牡丹江在半径为5的O中,弦AB垂直于弦CD,垂足为P,AB=CD=4,则SACP=12,32或92.考点3圆内接四边形的性质13.2020吉林如图,四边形ABCD内接于O,若B=108,则D的大小为(C)A.54B.62C.72D.82(第13题)(第14题)(第15题)14.2020四川眉山如图,四边形ABCD的外接圆为O,BC=CD,DAC=35,ACD=45,则ADB的度数为(C)A.55B.60C.65D.7015.2019江苏盐城

13、如图,点A,B,C,D,E在O上,且AB为50,则E+C=155.综合提升练(建议用时:35分钟)1.2020浙江杭州如图,已知BC是O的直径,半径OABC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E.设AED=,AOD=,则(D)A.3+=180B.2+=180C.3-=90D.2-=90(第1题)(第2题)2.2020湖北武汉如图,在半径为3的O中,AB是直径,AC是弦,点D是AC的中点,AC与BD交于点E.若点E是BD的中点,则AC的长是(D)A.523B.33C.32D.423.阿基米德是历史上伟大的数学家之一,他的折弦定理闻名古今,定理叙述为:如图(1),AB和BC是

14、O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BCAB,点M是ABC的中点,则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.图(1)图(2)小明为证明该定理,作了以下辅助线:如图(2),在CD上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.小明得到如下结论,其中不一定正确的是(D)A.MA=MCB.MCGMABC.BD=DGD.ABC=BMA4.2020合肥瑶海区二模寿春路桥(如图(1)横跨合肥市母亲河南淝河,它位于合肥市东西向交通主要干道寿春路上,建成于1987年年底,为中承式钢筋砼(tn)拱桥.桥的上部结构为2个钢筋混凝土半月形拱肋,如图(2)是该桥拱肋的简化示意图,其中拱

15、宽(弦AB)约100米.图(1)图(2)(1)在图(2)中,请你用尺规作图的方法首先找出弧AB所在圆的圆心O,然后确定弧AB、弦AB的中点C,D.(不要求写作法,但要保留作图痕迹)(2)在图(2)中,连接OA,OB,若AOB=80,求该桥拱高CD约为多少米.(结果精确到0.1米.参考数据:sin500.77,cos500.64,tan501.19)解:(1)如图所示.(作法不唯一)(2)如图,由题可知OC垂直平分AB,AD=12AB=50米.在OAB中,AOB=80,OA=OB,OAD=50.在RtOAD中,tanOAD=ODAD,cosOAD=ADOA,OD=ADtanOAD=ADtan50

16、501.19=59.5(米),OA=ADcosOAD=ADcos50500.6478.13(米),CD=OC-OD=78.13-59.518.6(米).答:该桥拱高CD约为18.6米.5.2020安庆模拟如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC,以AB为直径作O,连接OC,过点B作BDOC交O于点D,连接AD交OC于点E.(1)求证:BD=AE;(2)若O的半径为4,求OE的长.(1)证明:AB是O的直径,ADB=90,ABD+BAD=90.BAC=90,BAD+CAE=90,ABD=CAE.BDOC,OCAD,CEA=ADB=90.又AB=CA,ABDCAE,BD=AE.(2)解:O的半径

17、为4,OA=4,AC=AB=8,OC=42+82=45.SOAC=12AOAC=12OCAE,AE=AOACOC=855,OE=AO2-AE2=42-(855)2=455.6.2020合肥庐阳区模拟如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC于点E,连接AE并延长至点F,使EF=AE,连接FB,FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形;(2)若AD=72,BE=1,求半圆的面积.(1)证明:AB是半圆的直径,AEB=90,即AEBC.又AB=AC,BE=CE.又AE=EF,四边形ABFC是平行四边形.又AC=AB,四边形ABFC是菱形.(2)解:连接BD.BE=1,BC=

18、2.设AB=AC=x,则CD=x-72,x2-(72)2=22-(x-72)2,解得x1=-12(舍去),x2=4,AB=4,即半圆的半径为2,半圆的面积是1222=2.7.2020合肥包河区二模已知OA是O的半径,OA=1,点P是OA上一动点,过P作弦BCOA交O于点B,C,连接AB,AC,OB,OC.(1)如图(1),若点P为OA的中点,则AC=1,ACB=30;(2)如图(2),若移动点P,使AB,CO的延长线交于点D,记AOC的面积为S1,BOD的面积为S2,AOD的面积为S3,且它们之间满足S1S2=S2S3,求OPAP的值.图(1)图(2)(1)130解法提示:BC为O的弦,BCO

19、A,PC=PB.又点P为OA的中点,四边形ABOC为菱形,AC=OC=1.AC=OC=OA,AOC为等边三角形,ACO=60,ACB=12ACO=30.(2)方法一:设OD交O于点E,连接BE,如图.BCOA,BC为O的弦,PB=PC,AB=AC.又AO=AO,OB=OC,ABOACO,SABO=SACO=S1,S1+S2=S3.S1S2=S2S3,S1S2=S2S1+S2,S12+S1S2-S22=0,(S1S2)2+S1S2-1=0,解得S1S2=5-12(负值已舍),ABBD=5-12,ADBD=5+12.CE为O的直径,CBE=90=OPC,AOBE,AODBED,AOBE=ADBD=

20、5+12.OE=OC,OP为BEC的中位线,BE=2OP,AO2OP=5+12,AOOP=5+1,OPAP=55.方法二:易得SABO=SACO=S1.设OD交O于点E,连接BE.由S1S2=S2S3,得ABBD=BDAD,点B是AD的黄金分割点,BDAD=5-12.CE为O的直径,CBE=90=OPC,AOBE,AODBED,BEAO=BDAD=5-12.OE=OC,OP为BEC的中位线,BE=2OP,BEAO=2OPAO=5-12,AOOP=5+1,OPAP=55.全国视野创新练新角度2020河北有一题目:“已知:点O为ABC的外心,BOC=130,求A.”嘉嘉的解答为:画ABC以及它的外

21、接圆O,连接OB,OC,如图,由BOC=2A=130,得A=65.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全,A还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是(A)A.淇淇说的对,且A的另一个值是115B.淇淇说的不对,A就得65C.嘉嘉求的结果不对,A应得50D.两人都不对,A应有3个不同值参考答案第六章圆第一节与圆有关的概念及性质【易错自纠】1.D连接OC.ADC=30,AOC=60.在RtCOE中,OEOC=cos60=12,OE=12OC=12OA,AE=OE.AE=1,OC=OA=2,CE=3.OABC,BC=2CE=23.故选D.2.100BDC=40,BAC=40.AC平分BAD,BAD=2BAC=

22、80.四边形ABCD内接于O,BCD+BAD=180,BCD=100.3.30或150连接OA,OB.OA=OB=AB=R,OAB为等边三角形,AOB=60,ACB=12AOB=30,ADB=180-ACB=150,弦AB所对的圆周角的度数为30或150.提分特训1.C由FEG=50且FEG为劣弧FG所对的圆周角,可得FPG=100.故选C.2.AAB是O的直径,ADB=90.DAB=BCD=36,ABD=90-DAB=90-36=54.故选A.3.B如图,连接BO并延长,交O于点D,连接CD,则D=A,tanD=tanA=43.BD是O的直径,BCD=90,BD=4.设BC=4x,则CD=3

23、x,在RtBCD中,由勾股定理得CD2+BC2=BD2,即(3x)2+(4x)2=42,x=45(负值已舍),BC=4x=165=3.2.4.DAB是O的直径,ACB=90.若ACO=50,则BCO=40.又OC=OB,B=BCO=40,故选项A中的命题为真命题.易知ODC=OEC=90.又AOC和BOC是等腰三角形,点D,E分别是AC,BC的中点,DE是ABC的中位线,若AB=4,则DE=12AB=2,故选项B中的命题是真命题.易知四边形ODCE是矩形.当OCAB时,ABC是等腰直角三角形,AC=BC.又点D,E分别是AC,BC的中点,CD=CE,四边形ODCE是正方形,故选项C中的命题是真

24、命题.设O的半径为r,则OC=OB=r,CEO的长为r2.易知当点C是半圆AB的中点时,BOC=90,BC的长为90r180=r2,CEO的长和BC的长相等,故选项D中的命题是假命题.5.C如图,过点O作OCAB,垂足为H,交O于点C,连接OB.O的直径为52cm,OC=OB=26cm.AB=48cm,OHAB,AH=BH=24cm.在RtOHB中,OH=OB2-HB2=262-242=10(cm),CH=OC-OH=26-10=16(cm),水的最大深度为16cm.6.CAB是O的直径,ADB=90,即ADBD.BC平分ABD,OBC=DBC.OB=OC,OCB=OBC,DBC=OCB,OC

25、BD,ADOC,故选项A,B中的结论成立.AO=BO,OCBD,OF是ABD的中位线,AF=FD,OF=12BD,故选项D中结论成立.当OF=12CF时,CF=BD,此时可得CEFBED,当OF12CF时,CEFBED不成立,故选项C中的结论不一定成立.故选C.7.4或12OMAB,AM=BM.如图(1),OAM=30,则tanOAM=OMAM=23AM=33,AM=6,AB=2AM=12.如图(2),AOM=30,则tanAOM=AMOM=AM23=33,AM=2,AB=2AM=4.图(1)图(2)8.C四边形ABCD是O的内接四边形,A=180-BCD=60.由圆周角定理得,BOD=2A=

26、120,故选C.9.C如图,在优弧AB上取一点F,连接AF,BF.CDOA,CEOB,CDO=CEO=90.DCE=40,DOE=140,F=70,ACB=180-70=110.故选C.10.略1.B如图,以点D为圆心、3为半径作圆,圆的切线即为满足条件的直线l,又A,C两点到直线l的距离相等,所以直线l为D的切线且与直线AC平行,由图可知有2条直线满足条件.2.C当弦PB最长时,PB是直径,且PBAC.根据垂径定理,可得AP=CP,即APC是等腰三角形,选项A中的判断正确;当APC是等腰三角形时,点P的位置有两种情况,一种情况是点P与点B重合,另一种情况是点P是劣弧AC的中点,两种情况均满足

27、POAC,选项B中的判断正确;当POAC时,有两种情况,当点P为劣弧AC的中点时,ACP=30;当点P与点B重合时,ACP=60,选项C中的判断错误;当ACP=30时,有两种情况,当点P为劣弧AC的中点时,BCP=BCA+ACP=60+30=90;当点P为劣弧AB的中点时,PC为O的直径,PBC=90,两种情况得到的BPC均为直角三角形,选项D中的判断正确.3.2如图,连接OB,OC,则BOC=2A=60.又OB=OC,BOC是等边三角形,BC=OB=2.又CDB=90,CBD=45,CD=BCsin45=222=2.4.略5.60连接OB,由OA=OC=OB可知平行四边形ABCO是菱形且OA

28、B=OCB=60,所以OAD+OCD=180-OAB-OCB=180-120=60.6.B逐项分析如下:选项图示分析真假命题AOB平分AC,则直线OB是AC的垂直平分线,无法推理得出四边形OABC是平行四边形.假B若四边形OABC是平行四边形,则AB=OC=OB=OA=BC,OAB和OBC是等边三角形,ABO=OBC=60,ABC=ABO+OBC=120.真C若ABC=120,无法推理出AC平分OB.假D若AC平分OB,无法推理出OB平分AC.假7.5如图,过O点作OFCD,OGAB,垂足分别是点F,G,连接OD.根据“在同圆或等圆中,相等的弦对应的弦心距相等”,可知OF=OG,四边形OGEF

29、为正方形.根据题意易知CE=EF=OF=1,CF=DF=12CD=2,在RtODF中,OD=OF2+DF2=12+22=5,即O的半径为5.8.略基础分点练1.A由题意可知ABC=ADC.在RtABC中,AC=2,BC=3,AB=AC2+BC2=13,sinADC=sinABC=ACAB=21313.2.A如图,连接OB,点B是AC的中点,AOB=12AOC=12120=60,D=12AOB=30.故选A.3.C设圆心为O,连接OA,OB,如图.弦AB的长度等于圆半径的2倍,即AB=2OA=2OB,OA2+OB2=AB2,O=90,ASB=12AOB=45.故选C.4.BBD是O的直径,BAD

30、=90.AB=AD,AB=AD,ABG=45.CAD=12COD=63,BAG=90-CAD=27,AGB=180-ABG-BAG=108.5.30BOC=120,BAC=60.又AD是BAC的平分线,BAD=CAD=12BAC=30.6.75方法一:由圆周角定理的推论得BDC=BAC=35,BCD=180-CBD-BDC=180-70-35=75.方法二:由圆周角定理的推论得CAD=CBD=70,BAD=BAC+CAD=35+70=105,BCD=180-BAD=75.7.50如图,连接BD,AD为ABC的外接圆O的直径,ABD=90,D=90-BAD=50,ACB=D=50.8.C画出示意

31、图如图所示(不妨设点C在点O,B之间),连接DO.直径AB=15,BO=DO=7.5.又OCOB=35,CO=4.5,DC=DO2-CO2=6.DEAB,DC=CE,DE=2DC=12.故选C.9.DOCAB,AC=BC,APC=12BOC.APC=28,BOC=56.故选D.10.B连接OB,OC,如图,则OB=OC.E是边BC的中点,OD平分BOC,BOD=12BOC=A=50.OB=OD,D=12(180-BOD)=65.11.2连接OC,A=30,OA=OC,COH=60.OBCD,CD=23,CH=3,OC=3sin60=2.12.12,32或92过点O作OEAB于点E,OFCD于点

32、F,则AE=BE=12AB=2,DF=CF=12CD=2.易得OE=OF=1.ABCD,四边形OEPF为正方形,PE=PF=1.如图(1),当点P在AE,CF上时,PA=PC=1,SAPC=1211=12.如图(2),当点P在BE,DF上时,PA=3,PC=3,SAPC=1233=92.如图(3),当点P在AE,DF上时,PA=1,PC=3,SAPC=1213=32.同理,当点P在BE,CF上时,SAPC=1213=32.故SACP为12,32或92.图(1)图(2)图(3)13.C四边形ABCD内接于O,B=108,D=180-B=180-108=72,故选C.14.CBC=CD,BC=DC

33、,BAC=DAC=35,又ABD=ACD=45,ADB=180-BAD-ABD=180-70-45=65.故选C.15.155如图,连接OA,OB,AE.AB为50,AOB=50,BEA=1250=25.四边形AEDC为O的内接四边形,C+DEA=180,DEB+C=180-BEA=180-25=155.综合提升练1.DOABC,AOC=AOB=90,COD=90-,CBD=90-BEO=90-AED=90-.由圆周角定理,得COD=2CBD,90-=2(90-),整理,得2-=90.2.D连接OD,OD交AC于点H,连接BC,则ACB=90.点D是AC的中点,OD垂直平分AC.又OA=OB,

34、OH=12BC.点E是BD的中点,DE=BE.又HED=CEB,DHE=ECB,HDECBE,HD=CB.OD=OH+HD=3,12BC+BC=3,BC=2.在RtABC中,根据勾股定理,得AC=AB2-BC2=62-22=42.故选D.3.D点M是ABC的中点,MA=MC,故A中结论正确;由圆周角定理的推论,可得C=A.又CG=AB,MCGMAB,故B中结论正确;由MCGMAB,可得MB=MG.又MDBC,BD=DG,故C中结论正确;由MCGMAB,可得BMA=GMC,BMG=AMC.又AMC=ABC,ABC=BMG,由于点M,G,A不一定共线,故D中结论不一定正确.故选D.47.略全国视野创新练A如图,当外心O在ABC的外部,即点A在劣弧BC上时,A=180-12BOC=115.故选A.