安徽省2023中考数学 题型4 规律探索题习题.docx

1、题型四规律探索题高 分 帮 类型1数与式的规律探索1.2020云南按一定规律排列的单项式:a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,第n个单项式是(A)A.(-2)n-1aB.(-2)naC.2n-1aD.2na2.2020湖南娄底下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,x的值为(C)A.135B.153C.170D.1893.2020山东滨州观察下列各式:a1=23,a2=35,a3=107,a4=159,a5=2611,根据其中的规律可得an=n2+(-1)n+12n+1(用含n的式子表示).4.2014安徽观察下列关于自然数的等式:32-412=5;52-422=9;72

2、-432=13;根据上述规律解决下列问题:(1)完成第个等式:92-4(4)2=(17);(2)写出你猜想的第个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.解:(2)第个等式为(2n+1)2-4n2=4n+1.因为左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边,所以第个等式成立.5.2020合肥包河区二模观察以下等式:第1个等式:23-22=13+12+1;第2个等式:33-32=23+23+22;第3个等式:43-42=33+34+32;按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第4个等式:53-52=43+45+42;(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明.(2)第n个等式为(

3、n+1)3-(n+1)2=n3+n(n+1)+n2.证明:左边=(n+1)2(n+1)-1=n(n+1)2,右边=n3+n(n+1)+n2=nn2+(n+1)+n=n(n2+2n+1)=n(n+1)2,左边=右边,等式成立.6.2020安庆一模有下列等式:第1个等式:34=1-14;第2个等式:37=12-114;第3个等式:310=13-130;第4个等式:313=14-152;请你按照上面的规律解答下列问题:(1)第5个等式是316=15-180;(2)写出你猜想的第n个等式:33n+1=1n-1(3n+1)n(用含n的等式表示),并证明其正确性.(2)33n+1=1n-1(3n+1)n证

4、明:等式右边=3n+1(3n+1)n-1(3n+1)n=3n(3n+1)n=33n+1=左边.故猜想正确.7.2019合肥50中三模观察以下等式:第1个等式:(1-12)16=3;第2个等式:(1-13)412=2;第3个等式:(1-14)920=53;第4个等式:(1-15)1630=32;第5个等式:(1-16)2542=75;按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第7个等式:(1-18)4972=97;(2)写出你猜想的第n个等式(n为正整数),并证明.(2)(1-1n+1)n2(n+1)(n+2)=n+2n.证明:左边=(1-1n+1)n2(n+1)(n+2)=nn+1(n+1)(n+

5、2)n2=n+2n=右边.8.2020合肥瑶海区二模31222+42323+53424+20212019202022020.为了找到复杂计算问题的结果,可以将问题分解,寻找算式中每个式子存在的规律,然后借助这个规律将问题转化为可以解决的简单问题,下面我们尝试着用这个思路来解决上面的问题.请你按照这个思路继续进行下去,并填空.分解问题第1个加数31222=112-1222;第2个加数42323=1222-1323;第3个加数53424=1323-1424;第4个加数64525=1424-1525.总结规律第n个加数n+2n(n+1)2n+1=1n2n-1(n+1)2n+1.解决问题请你利用上面找

6、到的规律,化简题目给出的算式.(结果只需简化,不需求出最后得数)解:解决问题原式=(112-1222)+(1222-1323)+(1323-1424)+(1201922019-1202022020)=112+(-1222+1222)+(-1323+1323)+(-1424+1424)+(-1201922019+1201922019)-1202022020=112-1202022020=12-1202022020.9.2020芜湖一模改编观察下列数据:第1列第2列第3列第4列第n列第1行1234n第2行24682n第3行369123n第4行4812164n第n行n2n3n4nn2请回答:(1)第

7、1行所有数字之和为n(n+1)2(用含字母n的式子表示);(2)表格中第n行所有数字之和为n2(n+1)2,表格中所有数字之和为n2(n+1)24,表格由(n-1)行(n-1)列变为n行n列时,所有数字之和增加了n3(用含字母n的式子表示,n5);(3)根据以上信息,计算13+23+33+1003.解:(2)n2(n+1)2n2(n+1)24n3解法提示:第1行所有数字之和为1+2+3+n=n(n+1)2,第2行所有数字之和为2+4+6+2n=2(1+2+3+n)=2n(n+1)2,第3行所有数字之和为3+6+9+12+3n=3n(n+1)2,第4行所有数字之和为4+8+12+16+4n=4n

8、(n+1)2第n行所有数字之和为n+2n+3n+4n+n2=n2(n+1)2,则表格中所有数字之和为n(n+1)2+2n(n+1)2+n2(n+1)2=n(n+1)(1+2+n)2=n(n+1)2n(n+1)2=n2(n+1)24.易得第n列所有数字之和为n+2n+3n+4n+n2=n2(n+1)2,故表格由(n-1)行(n-1)列变为n行n列时,所有数字之和增加了n2(n+1)2+n2(n+1)2-n2=n3.(3)由(2)可知13+23+33+1003表示表格有100行100列时,表中的所有数字之和,13+23+33+43+1003=1002(100+1)24=25502500. 类型2图

9、形中的规律探索10.2020重庆A卷把黑色三角形按如图所示的规律拼图案,其中第个图案中有1个黑色三角形,第个图案中有3个黑色三角形,第个图案中有6个黑色三角形按此规律排列下去,则第个图案中黑色三角形的个数为(B)A.10B.15C.18D.2111.2020山东聊城人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成,如图中的每一个小正方形表示一块地砖,如果按图中所示规律铺设地砖,那么第个图形中的白色小正方形地砖的块数是(C)A.150B.200C.355D.50512.2020黑龙江大庆如图,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第20个图需要黑色棋子的个数

10、为440.第1个图 第2个图 第3个图第4个图13.2020海南海南黎锦有着悠久的历史,已被列入世界非物质文化遗产名录.如图是黎锦上的图案,每个图案都是由相同的菱形构成的,若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案,则第5个图中有41个菱形,第n个图中有(2n2-2n+1)个菱形(用含n的代数式表示).14.2013安徽我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2),图(3)图(1)图(2)图(3)(1)观察以上图形并完成下表:图形的名称基本图的个数特征点的个数图(1)17

11、图(2)212图(3)317图(4)422猜想:在图(n)中,特征点的个数为5n+2(用n表示);(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1=3;图(2013)的对称中心的横坐标为20133.图(n)15.用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片,按下图方式拼正方形.图(1)中有1个正方形;图(2)中有1+3=4(个)小正方形;图(3)中有1+3+5=9(个)小正方形;图(4)中有1+3+5+7=16(个)小正方形;(1)根据上面的规律,我们可以猜想:1+3+5+7+(2n-1)=n2(用含n的代数式表示),并证明.(2)请根据你的发现计算

12、:1+3+5+7+99;101+103+105+199.(1)n2证明:1+3+5+7+(2n-1)=n(1+2n-1)2=n2.(2)1+3+5+7+99=1+3+5+7+(250-1)=502=2500.易知1+3+5+7+199=1002=10000,101+103+105+199=10000-(1+3+5+7+99)=10000-2500=7500.16.2019宣城二模如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽,会徽的主体图案是由如图(2)所示的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=A7A8=1,所以OA2=12+12=2,OA3=12+2=3

13、,OA4=12+3=4=2,把OA1A2的面积记为S1,则S1=1211=12,把OA2A3的面积记为S2,则S2=1221=22,把OA3A4的面积记为S3,则S3=1231=32如果按照此规律继续作直角三角形,请解答下列问题.(1)填空:OAn=n,Sn=n2;(2)求出S12+S22+S32+S882的值.图(1)图(2)解:(2)S12+S22+S32+S882=(12)2+(22)2+(32)2+(882)2=14+24+34+884=1+2+3+884=979.17.2020合肥45中三模下列每个图形都是由大小相同的“”组成的.(1)第5个图形有50枚“”,第n个图形有2n2枚“”

14、.(2)是否存在整数n,使第n个图形有2020枚“”?若存在,求出n,若不存在,请说明理由.解:(1)502n2解法提示:观察题图,第1个图形有2枚“”;第2个图形有8枚“”,8=222;第3个图形有18枚“”,18=232;第4个图形有32枚“”,32=242.所以第5个图形“”的个数为252=50(枚),第n个图形有2n2枚“”.(2)不存在.理由:令2n2=2020,解得n=1010(负值已舍去),所以不存在整数n使第n个图形有2020枚“”.18.2016安徽(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中“”的个数,用含有n的代数式填空:1+3+5+

15、(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+5+3+1=2n2+2n+1.参考答案题型四规律探索题1.A易知第1个单项式a=(-2)1-1a,第2个单项式-2a=(-2)2-1a,第3个单项式4a=(-2)3-1a,第4个单项式-8a=(-2)4-1a,第5个单项式16a=(-2)5-1a由此规律可知,第n个单项式为(-2)n-1a.2.C观察正方形内左下和右上数的规律,22=4,23=6,24=8,2b=18,b=9.观察正方形内左上和左下数的规律,2-1=1,3-2=1,4-3=1,b-a=1,a=8.观察正方形内右下同其他三格数的规律,24+1=9,36+2=20,48+3=35,18b+

16、a=x,x=189+8=170.3.n2+(-1)n+12n+1a1=23=12+121+1,a2=35=22-122+1,a3=107=32+123+1,a4=159=42-124+1,a5=2611=52+125+1,an=n2+(-1)n+12n+1.49.略10.B第个图案中黑色三角形的个数为1;第个图案中黑色三角形的个数为1+2=3;第个图案中黑色三角形的个数为1+2+3=6;第个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4=10;第个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5=15.故选B.11.C根据图形规律可知,第个图形中的白色小正方形地砖的块数为12=53-31;第个图形中的白色小

17、正方形地砖的块数为19=55-32;第个图形中的白色小正方形地砖的块数为26=57-33则第个图形中白色小正方形地砖的块数是5(2n+1)-3n=7n+5,故第个图形中的白色小正方形地砖的块数是750+5=355.12.440观察题图,可知第1个图中黑色棋子的个数为3=13;第2个图中黑色棋子的个数为8=24;第3个图中黑色棋子的个数为15=35;第4个图中黑色棋子的个数为24=46依此类推,第n个图中黑色棋子的个数为n(n+2).故第20个图需要黑色棋子的个数为20(20+2)=440.13.412n2-2n+1观察题图,可知第1个图中菱形的个数为1=12+02,第2个图中菱形的个数为5=22+12,第3个图中菱形的个数为13=32+22,第4个图中菱形的个数为25=42+32,第5个图中菱形的个数为52+42=41,第n个图中菱形的个数为n2+(n-1)2=n2+n2-2n+1=2n2-2n+1.1418.略