安徽省2023中考数学 题型5 二次函数图象与性质的应用习题.docx

1、题型五二次函数图象与性质的应用高 分 帮 类型1与线段有关1.2019合肥50中三模如图,二次函数 y=ax2+bx-3 的图象与 x 轴相交于 A(-1,0),B(3,0)两点,与 y 轴相交于点 C.(1)求这个二次函数的解析式;(2)若 P是第四象限内这个二次函数图象上的任意一点,PHx 轴于点 H,与 BC 交于点 M, 请问:当点 P 的坐标为多少时,线段 PM 的长最大?并求出这个最大值.解:(1)由题意得a-b-3=0,9a+3b-3=0, 解得 a=1,b=-2.故这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3.(2)当x=0时,y=-3,故C(0,-3).设直线BC的函数解析式为y

2、=kx-3,将(3,0)代入,得k=1,直线BC的函数解析式为y=x-3.设点P的坐标为(t,t2-2t-3)(0t3),则点M的坐标为(t,t-3),PM=t-3-(t2-2t-3)=-t2+3t=-(t-32)2+94.-10且0t3,当t=32,即点P的坐标为(32,-154)时,PM的长取得最大值,最大值为94.2.2020合肥瑶海区一模如图,抛物线y=-x2+(n-1)x+3与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B(-2,0),点P为抛物线上一点.(1)求二次函数的表达式;(2)若点P在第二象限内,连接AB,过点P作y轴的垂线,与线段AB交于点C,求线段PC长度的最大值.解:(1)将B

3、(-2,0)代入y=-x2+(n-1)x+3,得-(-2)2-2(n-1)+3=0,解得n=12,二次函数的表达式为y=-x2-12x+3.(2)易得点A的坐标为(0,3).设直线AB的表达式为y=kx+3,将(-2,0)代入,得-2k+3=0,解得k=32,直线AB的表达式为y=32x+3.设点P的坐标为(a,-a2-12a+3)(-2a0),则点C的坐标为(-23a2-13a,-a2-12a+3).易知点C在点P的右边,PC=-23a2-13a-a=-23a2-43a=-23(a+1)2+23.-230,-2a0,当a=-1时,线段PC的长度有最大值,最大值为23.3.2020湖北荆门如图

4、,抛物线L:y=12x2-54x-3与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)如图(1),点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点,过点P作PCx轴,垂足为C,PC交AB于点D,求PD+BD的最大值,并求出此时点P的坐标;(3)如图(2),将抛物线L:y=12x2-54x-3向右平移得到抛物线L,直线AB与抛物线L交于M,N两点,若点A是线段MN的中点,求抛物线L的解析式.图(1)图(2)解:(1)对于y=12x2-54x-3,令y=0,则12x2-54x-3=0,解得x1=-32,x2=4,A(4,0);令x=0,则y=-3,B(0,-3).设

5、直线AB的解析式为y=kx+b,则4k+b=0,b=-3,解得k=34,b=-3,直线AB的解析式为y=34x-3.y=12x2-54x-3=12(x-54)2-12132,抛物线顶点坐标为(54,-12132).(2)如图,过点D作DEy轴于点E,则DEOA.OA=4,OB=3,AB=OA2+OB2=42+32=5.设点P的坐标为(p,12p2-54p-3)(54p4),则点D的坐标为(p,34p-3),ED=p.DEOA,BDEBAO,BDBA=EDOA,BD5=p4,BD=54p.又PD=34p-3-(12p2-54p-3)=-12p2+2p,PD+BD=-12p2+2p+54p=-12

6、p2+134p=-12(p-134)2+16932.-120,54p4,当x=134时,PD+BD的值最大,最大值为16932,此时12x2-54x-3=12(134)2-54134-3=-5732,此时点P的坐标为(134,-5732).(3)设平移后抛物线L的解析式为y=12(x-m)2-12132,联立y=34x-3,y=12(x-m)2-12132,34x-3=12(x-m)2-12132,整理,得x2-2(m+34)x+m2-2516=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1,x2是方程x2-2(m+34)x+m2-2516=0的两根,x1+x2=2(m+34).A为MN的中

7、点,x1+x2=8,2(m+34)=8,解得m=134,抛物线L的解析式为y=12(x-134)2-12132=12x2-134x+32. 类型2与面积有关4.2020湖北襄阳中考节选如图,直线y=-12x+2交y轴于点A,交x轴于点C,抛物线y=-14x2+bx+c经过点A,C,且交x轴于另一点B.(1)直接写出点A,B,C的坐标及抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标.解:(1)A(0,2),B(-2,0),C(4,0),y=-14x2+12x+2.解法提示:对于y=-12x+2,当x=0时,y=2;当y=0时,x=4,A(0,

8、2),C(4,0).将A(0,2),C(4,0)分别代入y=-14x2+bx+c,得c=2,-4+4b+c=0,解得b=12,c=2,抛物线的解析式为y=-14x2+12x+2.令-14x2+12x+2=0,解得x1=4,x2=-2,B(-2,0).(2)如图,过点M作MNy轴,交AC于点N.设M(n,-14n2+12n+2),则N(n,-12n+2),MN=-14n2+12n+2-(-12n+2)=-14n2+n,S四边形ABCM=SABC+SACM=12BCAO+12MNOC=1262+12(-14n2+n)4=-12n2+2n+6=-12(n-2)2+8.-120,当n=2时,S四边形A

9、BCM最大,最大值为8,此时M(2,2).5.2020蚌埠淮上区二模如图,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和B(0,3).(1)求抛物线和直线AB的函数表达式;(2)点P是直线AB上方抛物线上一动点,过点P作x轴,AB的垂线,垂足分别为点F,D,PF交直线AB于点E.动点P在什么位置时,PDE的面积最大?求出面积的最大值及此时点P的坐标.解:(1)将点A(-3,0),B(0,3)分别代入y=-x2+bx+c,得-9-3b+c=0,c=3,解得b=-2,c=3,故抛物线的表达式为y=-x2-2x+3.设直线AB的函数表达式为y=kx+a.则-3k+a=0,a=3,k=1,直线AB的

10、函数表达式为y=x+3.(2)易得PED=45,即PED为等腰直角三角形.设点P的坐标为(m,-m2-2m+3),则点E的坐标为(m,m+3),PE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m=-(m+32)2+94.-10,-3-320,当m=-32时,PE的长最大,为94,此时PED的面积最大,为12(2294)2=8164,点P的坐标为(-32,154). 类型3与新定义有关6.2020四川遂宁阅读以下材料,并解决相应问题.小明在课外学习时遇到这样一个问题:定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a10,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a20,a2,b2,c2

11、是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数互为旋转函数.求函数y=2x-3x+1的旋转函数.小明是这样思考的,由函数y=2x2-3x+1可知,a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的旋转函数.请思考小明的方法解决下面问题:(1)写出函数y=x2-4x+3的旋转函数.(2)若函数y=5x2+(m-1)x+n与y=-5x2-nx-3互为旋转函数,求(m+n)2020的值.(3)已知函数y=2(x-1)(x+3)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A,B,C关于原点的对称点分别是A1,B

12、1,C1,试求证:图象经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=2(x-1)(x+3)互为旋转函数.解:(1)对于y=x2-4x+3,a1=1,b1=-4,c1=3,由旋转函数的定义可知a2=-1,b2=-4,c2=-3,函数y=x2-4x+3的旋转函数为y=-x2-4x-3.(2)y=5x2+(m-1)x+n与y=-5x2-nx-3互为旋转函数,m-1=-n,m+n=1,(m+n)2020=1.(3)证明:当x=0时,y=2(x-1)(x+3)=-6,点C的坐标为(0,-6).当y=0时,2(x-1)(x+3)=0,解得x1=1,x2=-3,设点A的坐标为(1,0),则点B的坐标为(-3,0

13、).点A,B,C关于原点的对称点分别是A1,B1,C1,A1(-1,0),B1(3,0),C1(0,6).设图象过点A1,B1,C1的二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3),将C1(0,6)代入y=a(x+1)(x-3),得6=-3a,解得a=-2,图象过点A1,B1,C1的二次函数的解析式为y=-2(x+1)(x-3),即y=-2x2+4x+6.又y=2(x-1)(x+3)=2x2+4x-6,图象经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=2(x-1)(x+3)互为旋转函数.7.2019广西北部湾经济区节选如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上,抛物线C2的顶点也在抛物线C1上,那么我们称抛

14、物线C1与C2为“互为关联”的抛物线.如图(1),已知抛物线C1:y1=14x2+x与C2:y2=ax2+x+c是“互为关联”的抛物线,点A,B分别是抛物线C1,C2的顶点,抛物线C2经过点D(6,-1).(1)直接写出A,B的坐标和抛物线C2的解析式;(2)如图(2),点F(-6,3)在抛物线C1上,点M,N分别是抛物线C1,C2上的动点,且点M,N的横坐标相同,记AFM的面积为S1(当点M与点A或F重合时,S1=0),ABN的面积为S2(当点N与点A或B重合时,S2=0),令S=S1+S2,观察图象,当y1y2时,写出x的取值范围,并求出在此范围内S的最大值.解:(1)A(-2,-1),B

15、(2,3),y2=-14x2+x+2.解法提示:易得抛物线C1的顶点为A(-2,-1).由抛物线C2:y2=ax2+x+c过点A,D,得4a-2+c=-1,36a+6+c=-1,解得a=-14,c=2.故抛物线C2的解析式为y2=-14x2+x+2.y2=-14x2+x+2=-14(x-2)2+3,点B的坐标为(2,3).(2)根据y1y2,观察图象可得x的取值范围为-2x2.设M(t,14t2+t),N(t,-14t2+t+2),且-2t2.易求得直线AF的解析式为y=-x-3.过点M作x轴的平行线MQ交AF于点Q,由yQ=yM,得Q(-14t2-t-3,14t2+t),则S1=12|QM|

16、yF-yA|=12t2+4t+6.设AB交MN于点P,易知点P的坐标为(t,t+1),则S2=12|PN|xA-xB|=2-12t2,S=S1+S2=4t+8,当t=2时,S取最大值,最大值为16.8.定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x0时,它们对应的函数值互为相反数;当x0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数y=x-1,它的相关函数为y=-x+1(x0),x-1(x0).(1)已知点A(-5,8)在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上,求a的值.(2)已知二次函数y=-x2+4x-12.当点B(m,32)在这个函数的相关函数的图象上时

17、,求m的值;当-3x3时,求函数y=-x2+4x-12的相关函数的最大值和最小值.解:(1)y=ax-3的相关函数为y=-ax+3(x0),ax-3(x0).将A(-5,8)代入y=-ax+3,得5a+3=8,解得a=1.(2)二次函数y=-x2+4x-12的相关函数为y=x2-4x+12(x0),-x2+4x-12(x0).a.当m0时,将B(m,32)代入y=x2-4x+12,得m2-4m+12=32,解得m1=2+5(舍去),m2=2-5.b.当m0时,将B(m,32)代入y=-x2+4x-12,得-m2+4m-12=32,解得m1=2+2,m2=2-2.综上所述,m=2-5,2+2或2

18、-2.当-3x0时,y=x2-4x+12,该抛物线开口向上且对称轴为直线x=2,此时y随x的增大而减小.当x=-3时,y=432.令x=0,则y=12,122时,y随x的增大而减小.故当x=0时,y取最小值,为-12;当x=2时,y取最大值,为72,-12y72.综上所述,当-3x3时,函数y=-x2+4x-12的相关函数的最大值为432,最小值为-12. 类型4其他类型9.2020浙江杭州在平面直角坐标系中,设二次函数y1=x2+bx+a,y2=ax2+bx+1(a,b是实数,a0).(1)若函数y1的图象的对称轴为直线x=3,且函数y1的图象经过点(a,b),求函数y1的表达式.(2)若函

19、数y1的图象经过点(r,0),其中r0,求证:函数y2的图象经过点(1r,0).(3)设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n,若m+n=0,求m,n的值.解:(1)由题意,得-b2=3,所以b=-6.又因为函数y1的图象经过点(a,b),所以a2-6a+a=-6,解得a=2或a=3,所以y1=x2-6x+2或y1=x2-6x+3.(2)因为函数y1的图象经过点(r,0),所以r2+br+a=0,因为r0,所以两边同除以r2,得1+br+ar2=0,即a(1r)2+b1r+1=0,所以1r是方程ax2+bx+1=0的一个实数根,即函数y2的图象经过点(1r,0).(3)由题意,得a0,m=4a

20、-b24,n=4a-b24a.因为m+n=0,所以4a-b24+4a-b24a=0,所以(4a-b2)(a+1)=0.因为a+10,所以4a-b2=0,所以m=0,n=0.10.2020湖南衡阳在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,0).(1)求这个二次函数的表达式;(2)求当-2x1时,y的最大值与最小值的差;(3)一次函数y=(2-m)x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a3b,求m的取值范围.解:(1)将(-1,0),(2,0)分别代入y=x2+px+q,得1-p+q=0,4+2p+q=0,解得p=-1,q=-2,这个二次函数的表达式为y=x2-x-2.(2)二次函数y=x2-x-2的图象过点(-1,0),(2,0),二次函数y=x2-x-2图象的对称轴为直线x=12,当-2x1时,y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值为(12)2-12-2=-94,当-2x1时,y的最大值与最小值的差为4-(-94)=254.(3)令(2-m)x+2-m=x2-x-2,整理,得x2+(m-3)x+m-4=0,解得x1=-1,x2=4-m.a33,m1.