安徽省2023中考数学 题型6 二次函数图象与性质的应用习题.docx

1、题型六二次函数图象与性质的应用高分帮类型1与增减性有关1.2021北京在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a0)上.(1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(-1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上.若mn0,比较y1,y2,y3的大小,并说明理由.解:(1)把(1,3),(3,15)分别代入y=ax2+bx,得a+b=3,9a+3b=15, 解得a=1,b=2,该抛物线的解析式为y=x2+2x,该抛物线的对称轴为直线x=-22=-1.(2)y2y10,n0时,点(1,m)在第一象限,点(3,n)在第四象限,抛物线开口向下

2、,a0,不符合题意,故此种情况不存在.当m0时,函数y=ax2+bx的大致图象如图所示.设抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(c,0),则1c3,抛物线的对称轴在直线x=12和直线x=32之间,点(-1,y1)关于抛物线的对称轴对称的点在直线x=2和直线x=4之间,且当x32时,y随x的增大而增大,y2y1y3.故当mn0时,y2y1y3.类型2与方程、不等式有关2.2021合肥42中三模已知直线y=kx+1(k为常数)经过点(2,3),与抛物线y=x2+bx+c的对称轴交于点(n,12).(1)求k,b的值;(2)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点(x1,0),(x2,0),且3x2-x19

3、,若p=x12-3x22,求p的最大值;(3)当-1x2时,抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx+1有且只有一个公共点,直接写出c的取值范围.解:(1)把(2,3)代入y=kx+1,得2k+1=3,解得k=1.点(n,12)在直线y=x+1上,n+1=12,n=-12,抛物线的对称轴为直线x=-b21=-12,b=1.(2)由(1)知b=1,则y=x2+x+c.抛物线y=x2+x+c与x轴交点的横坐标为x1,x2,对称轴为直线x=-12,且x2-x13,x1-12x2,x2-(-12)=-12-x1,x1+x2=-1,x2=-1-x1,p=x12-3x22=x12-3(-1-x1)2=-2(

4、x1+32)2+32.3x2-x19,3(-1-x1)-x19,-5x1-2.又-20,抛物线p=-2(x1+32)2+32的对称轴为直线x=-32,当-5x1-2时,p随x1的增大而增大,当x1=-2时,p取最大值,最大值为1.(3)-3c0或c=1.解法提示:由(1)可知抛物线的解析式为y=x2+x+c,直线的解析式为y=x+1.对于y=x+1,令x=-1,则y=0,令x=2,则y=3.当抛物线y=x2+x+c经过点(-1,0)时,易得c=0;当抛物线y=x2+x+c经过点(2,3)时,易得c=-3.令x2+x+c=x+1,则x2+c-1=0,当抛物线y=x2+x+c与直线y=x+1有一个

5、公共点时,易得c=1,且该公共点为(0,1).综上可知,当-3c0或c=1时,抛物线y=x2+x+c与直线y=x+1在-1x-x+b的解集;(3)点M是直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有一个公共点,直接写出点M的横坐标xM的取值范围.解:(1)抛物线y=x2+mx经过点A(2,0),4+2m=0,m=-2.直线y=-x+b经过点A(2,0),-2+b=0,b=2.(2)当x2-2x=-x+2时,x1=-1,x2=2,点B的坐标为(-1,3).结合图象可知,不等式x2+mx-x+b的解集为x2.(3)-1xM2或xM=3.解法提示:将直线AB向左平移

6、3个单位长度得到直线l,易知直线l的解析式为y=-x-1.令-x-1=x2-2x,整理,得x2-x+1=0,易知该方程没有实数根,故直线l与抛物线没有公共点,如图.易知抛物线的顶点坐标为(1,-1),过点(1,-1)作x轴的平行线,交直线AB于点C.当点M在线段AB上(不与点A重合)时,线段MN与抛物线只有一个公共点,此时-1xM2.当点M在线段AC上(不与点C重合)时,线段MN与抛物线有两个公共点.当点M与点C重合时,线段MN与抛物线只有一个公共点,此时yM=-1,代入yM=-xM+2,得xM=3.综上可知,点M的横坐标xM的取值范围为-1xM2或xM=3.类型3与图形有关的最值问题1.与线

7、段长有关4.2020合肥瑶海区一模如图,抛物线y=-x2+(n-1)x+3与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B(-2,0),点P为抛物线上一点.(1)求二次函数的表达式;(2)若点P在第二象限内,连接AB,过点P作y轴的垂线,与线段AB交于点C,求线段PC长度的最大值.解:(1)将B(-2,0)代入y=-x2+(n-1)x+3,得-(-2)2-2(n-1)+3=0,解得n=12,二次函数的表达式为y=-x2-12x+3.(2)易得点A的坐标为(0,3).设直线AB的表达式为y=kx+3,将(-2,0)代入,得-2k+3=0,解得k=32,直线AB的表达式为y=32x+3.设点P的坐标为(a,

8、-a2-12a+3)(-2a0),则点C的坐标为(-23a2-13a,-a2-12a+3).易知点C在点P的右边,PC=-23a2-13a-a=-23a2-43a=-23(a+1)2+23.-230,-2a0,当a=-1时,线段PC的长度取最大值,最大值为23.2.与图形面积有关5.2021湖北荆门如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C(0,-3),点Q为线段BC上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)求|QO|+|QA|的最小值;(3)过点Q作PQAC交抛物线的第四象限部分于点P,连接PA,PB,记PAQ与PBQ面积分别为S1,S2,设S=S1

9、+S2,求使S取最大值时点P的坐标,并求此最大值.解:(1)由已知:y=a(x-3)(x+1),将(0,-3)代入上式得:-3=a(0-3)(0+1),a=1,抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)作点O关于直线BC的对称点D,易得D(3,-3),连接AD,QD,如图,由对称性得|QD|=|QO|,|QO|+|QA|=|QA|+|QD|AD|=5,即点Q是直线AD与直线BC交点时,|QO|+|QA|有最小值5.(3)由已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)可以求得直线BC的解析式为y=x-3,直线AC的解析式为y=-3x-3.PQAC,直线PQ的解析式可设为y=-3x+d.由(

10、1)可设P(m,m2-2m-3),代入直线PQ的解析式可得d=m2+m-3,由y=x-3,y=-3x+m2+m-3,解得x=m2+m4,y=m2+m-124,即Q(m2+m4,m2+m-124),由题意:S=SPAQ+SPBQ=SPAB-SQAB.P,Q都在第四象限,P,Q的纵坐标均为负数,S=12|AB|(-m2+2m+3)-12|AB|-m2-m+124,即S=-32m2+92m=-32(m2-3m)=-32(m-32)2+278,根据已知条件P的位置可知0m-1时,该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1.(3)设(m,0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当-1m-1,-1-4a-1,a

11、0,抛物线开口向下.又抛物线经过点(-2,1),(2,-3),当抛物线的顶点是(-2,1)时,抛物线的顶点的纵坐标取最小值,为1.(3)a45.解法提示:由(1)知,b=-1,c=-1-4a,二次函数的解析式为y=ax2-x-4a-1(a0),由题意,分以下两种情况讨论.如图(1),若a0;当x=3时,y0,9a-3-4a-1-3,解得a0,当x=-1时,y=a+1-4a-1=-3a0,即9a-3-4a-10,解得a45.综上,a的取值范围为a45.7.2020合肥包河区二模已知抛物线y=x2-2mx-m2+4m-2的对称轴为直线l,抛物线与y轴交于点C,顶点为点D.(1)判断抛物线与x轴的交

12、点情况.(2)如图(1),连接CD,当m=1时,点P为第一象限内抛物线上一点,且PCD是以PD为腰的等腰三角形,求点P的坐标.(3)如图(2),直线y=14mx与抛物线交于A,B两点,与抛物线的对称轴l交于点M,且MO=MB,点Q(x0,y0)在抛物线上,当m1时,h+12-my02-6my0,求h的最大值.图(1)图(2)解:(1)令x2-2mx-m2+4m-2=0,=(-2m)2-4(-m2+4m-2)=8(m-1)20,抛物线与x轴至少有一个交点(或一定有交点).(2)当m=1时,y=x2-2x+1=(x-1)2,C(0,1),D(1,0).分两种情况讨论.当DP=DC时,可知点P与点C

13、关于抛物线的对称轴对称,点P的坐标为(2,1).当PD=PC时,易知点P在线段CD的垂直平分线上.OC=OD=1,线段CD的垂直平分线为直线y=x,点P在直线y=x上.令x=(x-1)2,解得x1=3+52,x2=3-52,点P的坐标为(3+52,3+52)或(3-52,3-52).综上所述,点P的坐标为(2,1),(3+52,3+52)或(3-52,3-52).(3)抛物线的解析式可化为y=(x-m)2-2(m-1)2,点M的横坐标为m,代入y=14mx,得M(m,m24).过点B作BHx轴于点H,设直线l交x轴于点F,则BHMF,又OM=MB,B(2m,m22).把B(2m,m22)代入y

14、=x2-2mx-m2+4m-2,得4m2-4m2-m2+4m-2=m22,解得m1=2,m2=23(舍去),当m=2时,y=(x-2)2-2.点Q(x0,y0)在抛物线上,y0-2.由题意知h-my02-6my0-12=-2y02-12y0-12=-2(y0+3)2+6.-20)与其相依函数的图象交于点A,B,过该抛物线的顶点作直线l平行于x轴,已知点A到直线l的距离为8.证明:该二次函数图象的顶点在其相依函数的图象上;点P为抛物线AB段上的一个动点,求APB面积的最大值.(1)y=2x2-4x+5=2(x-1)2+3,故二次函数y=2x2-4x+5的相依函数为y=2(x-1)+3=2x+1.

15、(2)证明:易知二次函数y=m(x+2)2-3m图象的顶点坐标为(-2,-3m).由题意可知二次函数y=m(x+2)2-3m的相依函数为y=m(x+2)-3m=mx-m.对于函数y=mx-m,当x=-2时,y=-3m,故二次函数y=m(x+2)2-3m图象的顶点在其相依函数的图象上.y=m(x+2)2-3m=mx2+4mx+m,令mx2+4mx+m=mx-m,解得x1=-2,x2=-1,xB=-2,xA=-1,B(-2,-3m),A(-1,-2m).又直线l过点B且平行于x轴,点A到直线l的距离为8,-2m-(-3m)=8,m=8,y=m(x+2)2-3m=8x2+32x+8,故可设P(n,8n2+32n+8).过点P作x轴的垂线,交AB于点Q,则Q(n,8n-8),PQ=8n-8-(8n2+32n+8)=-8n2-24n-16,SAPB=12-1-(-2)(-8n2-24n-16)=-4n2-12n-8=-4(n+32)2+1,-2-32-1,APB面积的最大值为1.