安徽省2023中考数学 题型6 二次函数的实际应用习题.docx

1、题型六二次函数的实际应用高 分 帮 类型1利润最值问题1.2020辽宁营口某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本单价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?解:(1)y=80+2020-x0.5,y=-40x+880.(2)设每天的销

2、售利润为w元,则w=(-40x+880)(x-16)=-40(x-19)2+360.-400),物价局规定这种水果的售价最高不得超过40元/千克,但日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若日销售利润最大是1280元,请直接写出m的值.解:(1)由图象可知,日销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系,故设y=kx+b,将(25,110),(30,100)分别代入,得25k+b=110,30k+b=100,解得k=-2,b=160,y=-2x+160.(2)设售价为x(元/千克)时,日销售利润为w(元),则w=(x-20)(-2x+160)=-2x2+200x-3200=-2(x-

3、50)2+1800.-20,50+m250,当x=40时,w取最大值1280,即当x=40时,w=-2402+(200+2m)40-3200-160m=1280,解得m=4.3.2020贵州黔东南州黔东南州某超市购进甲、乙两种商品,已知购进3件甲商品和2件乙商品,需60元;购进2件甲商品和3件乙商品,需65元.(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少?(2)设甲商品的销售单价为x(元),在销售过程中发现,当11x19时,甲商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,x与y之间的部分对应值如下表:销售单价x/元1119日销售量y/件182请写出当11x19时,y与x之间的函数关

4、系式.(3)在(2)的条件下,设甲商品的日销售利润为w元,当甲商品的销售单价x(元)定为多少时,日销售利润最大?最大利润是多少?解:(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是a元、b元.由题意得3a+2b=60,2a+3b=65,解得a=10,b=15,故甲、乙两种商品的进货单价分别是10元、15元.(2)设11x19时,y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1.将(11,18),(19,2)分别代入,得11k1+b1=18,19k1+b1=2,解得k1=-2,b1=40,故11x19时y与x之间的函数关系式为y=-2x+40(11x19).(3)由题意得w=(-2x+40)(x-10)=-2x2

5、+60x-400=-2(x-15)2+50(11x19).-20,当x=15时,w取得最大值50.答:当甲商品的销售单价定为15元时,日销售利润最大,最大利润是50元.4.2020安庆四中二模某市在党中央精准扶贫政策的号召下,大力开展科技扶贫工作,帮助农民组建农副产品销售公司.某农副产品的年产量不超过100万件,已知生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡.该产品每年的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分,如图(1)所示.该产品的售价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图(2)所示的一条线段.设所获毛利润为W(万元).(毛利润=销售额-

6、生产费用)(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式.(2)求W与x之间的函数关系式,并求年产量为多少万件时,所获毛利润最大,最大毛利润是多少.(3)受资金的影响,2020年投入生产的费用不会超过360万元,问:2020年最多可获得多少万元的毛利润?图(1)图(2)解:(1)y与x之间的函数关系式为y=110x2.z与x之间的函数关系式为z=-110x+30.解法提示:设y=ax2,将(100,1000)代入,得1000=10000a,解得a=110,故y与x之间的函数关系式为y=110x2.设z=kx+b,将(0,30),(100,20)分别代入,得b=30,100k+b=20,解得k

7、=-110,b=30,故z与x之间的函数关系式为z=-110x+30.(2)W=zx-y=-110x2+30x-110x2=-15x2+30x=-15(x2-150x)=-15(x-75)2+1125.-150,当x=75时,W取最大值,为1125,故年产量为75万件时,毛利润最大,最大毛利润为1125万元.(3)令y=360,即110x2=360,解得x=60(负值不合题意,已舍去).结合y与x之间的函数图象可知,当0x60时,0y360.对于W=-15(x-75)2+1125,当0x60时,W随x的增大而增大,故当x=60时,W取最大值,最大值为1080.故2020年最多可获得毛利润108

8、0万元.5.2020合肥瑶海区二模随着时代的不断发展,生活中出现了许多新颖的网络购物方式.某电商平台上提供了一种拼团购买的方式,当拼团(单数不超过15单)成功后商家将会让利一定的金额给予顾客实惠.现在某商家准备出售一种每件成本为25元的新产品,经市场调研发现,单价y(单位:元)、日销售量m(单位:件)与拼单单数x之间满足一次函数关系,部分数据如下表.拼单单数x24812单价y/元34.5343332日销售量m/件687692108请根据以上信息解决下列问题:(1)请分别写出单价y、日销售量m与拼单单数x之间的函数关系式;(直接写出结果)(2)拼单单数设置为多少时日销售利润最大,最大日销售利润是

9、多少?(3)在实际销售的过程中,厂家希望能有更多的商品出售,因此电商每销售一件商品厂家就给予电商补助a元(a2),已知电商在获得补助之后日销售利润能够随单数x的增大而增大,求a的取值范围.解:(1)y=-14x+35;m=4x+60.解法提示:设y=kx+b,将(4,34),(8,33)分别代入,得4k+b=34,8k+b=33,解得k=-14,b=35,y=-14x+35.设m=k1x+b1,将(4,76),(8,92)分别代入,得4k1+b1=76,8k1+b1=92,解得k1=4,b1=60,m=4x+60.(2)设日销售利润为w(元),根据题意,得w=(-14x+35-25)(4x+6

10、0)=-x2+25x+600=-(x-252)2+30254.-114.5,a1,又a2,1300,可知第5天利润最大. 类型2抛物线形问题7.某景区平面图如图(1)所示,A,B,C,E,D为边界上的点,已知边界CED是抛物线的一部分,且点E为其顶点,其余边界均为线段,且ADAB,BCAB,AD=BC=3,AB=8,抛物线的顶点E到AB的距离OE=7,以AB所在直线为x轴,OE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.图(1) 图(2)(1)求边界CED所在抛物线的解析式;(2)如图(2),该景区管理处欲在区域ABCED内,以AB为一边,用围栏围一个矩形场地MNPQ,使得点M,N在边界AB上,点P,

11、Q在边界CED上,求所用围栏的最大长度及此时点P的位置.解:(1)根据题图可知E(0,7),边界CED所在抛物线的对称轴为y轴,可设抛物线的解析式为y=ax2+7,OB=12AB=4.又BCAB,BC=3,C(4,3).将(4,3)代入y=ax2+7,解得a=-14,边界CED所在抛物线的解析式为y=-14x2+7.(2)设P(m,-14m2+7),则PQ=2m,PN=QM=-14m2+7,围栏的长度为PQ+PN+QM=2m+2(-14m2+7)=-12m2+2m+14=-12(m-2)2+16,当m=2时,围栏的长度最大,最大长度为16,此时点P的坐标为(2,6).8.如图所示,x轴上线段O

12、B表示一段平直公路,BC为山坡.一辆喷灌车停在平面直角坐标系的原点O处,从喷头A(0,2)喷出抛物线形水柱,能给山坡上点C(40,m)处的水窖注水,山脚点B(19,0).水柱离开喷头水平前进30m达到最高47m.(1)求水柱所在抛物线的函数解析式和m的值;(2)若喷出的抛物线形水柱形状不变,欲在山坡上水柱所能喷到的最高处建一个水窖,要给它注水,必须把车开到距山脚点B多少米处?解:(1)由题意可知抛物线的顶点为(30,47),故可设抛物线的解析式为y=a(x-30)2+47,把点A的坐标代入,得2=a(0-30)2+47,解得a=-0.05,y=-0.05(x-30)2+47.当x=40时,y=

13、-0.05(40-30)2+47=42,m=42.(2)设直线BC的解析式为y=kx+b,代入点B(19,0),C(40,42),得19k+b=0,40k+b=42, 解得k=2,b=-38,直线BC的解析式为y=2x-38,当y=47时,47=2x-38,得x=42.5.19-(42.5-30)=6.5(m).故欲在山坡上水柱所能喷到的最高处建一个水窖,要给它注水,必须把车开到距山脚点B6.5m处.9.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=-16x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m,到地面OA的

14、距离为172m.(1)求该抛物线的解析式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?解:(1)由题意知,点B(0,4),C(3,172)在抛物线上,所以c=4,172=-169+3b+c,解得b=2,c=4,所以抛物线的解析式为y=-16x2+2x+4,所以拱顶D到地面OA的距离为4(-16)4-224(-16)=10(m).(2)抛物线的对称轴为x=-22(-16)=6.由

15、题意知,车最外侧与地面OA的交点为(2,0)(或(10,0).当x=2(或x=10)时,y=2236,所以货车可以安全通过.(3)令y=8,即-16x2+2x+4=8,可得x2-12x+24=0,解得x1=6+23,x2=6-23.x1-x2=43.即两排灯的水平距离最小是43m. 类型3面积问题10.为了改善市民的生活环境,某市修建了一个休闲文化广场,如图,在RtABC内修建矩形水池DEFG,使顶点D,E在斜边AB上,F,G分别在直角边BC,AC上,又分别以AB,BC,AC为直径作半圆,构造出两弯新月形状的区域(图中阴影部分),并在该区域种植花草,其余空地铺设瓷砖,其中AB=243米,BAC

16、=60,设EF=x米,DE=y米.(1)求y与x之间的函数关系式(请直接标明x的取值范围).(2)当x为何值时,矩形DEFG的面积最大?最大面积是多少?(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当x为何值时,矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的13.解:(1)在RtABC中,ACB=90,AB=243,BAC=60,AC=12AB=123,BC=32AB=36,ABC=30.四边形DEFG是矩形,ADG=FEB=90,DG=EF=x,AD=DGtan60=33x,BE=EFtan30=3x.AD+DE+BE=AB,33x+y+3x=243,y=243-33x-3x=-433x+243,即y与

17、x之间的函数关系式为y=-433x+243(0x18).(2)由题意可知矩形DEFG的面积为xy=x(-433x+243)=-433x2+243x=-433(x-9)2+1083,当x=9时,矩形DEFG的面积最大,最大面积是1083平方米.(3)记以AC,BC,AB为直径的半圆面积分别为S1,S2,S3,两弯新月的面积为S,则S1=18AC2,S2=18BC2,S3=18AB2,S=S1+S2+SABC-S3,S=18AC2+18BC2+SABC-18AB2,又AC2+BC2=AB2,S=SABC=12ACBC=1212336=2163.令y=13S=723,则-433(x-9)2+1083

18、=723,整理,得(x-9)2=27,解得x=933,故当x=933时,矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的13.11.李师傅想在自家院子里利用夹角为135的两面墙修建一个储物间,即四边形ABCD,如图,其中BCAD,C=90,现欲在新建的墙BC上预留一个宽为2m的门EF.已知李师傅家现有的砖只能修建16m长的墙,设CD=xm,四边形ABCD的面积是ym2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.(2)当x取何值时,y取得最大值,最大值是多少?解:(1)如图,过点A作AGCB于点G,则BAG=45.ADBC,C=90,D=C=90,四边形AGCD是矩形,BG=AG=CD=xm,AD=CG=16+2-x-x=(18-2x)(m).S四边形ABCD=SABG+S矩形AGCD,y=12x2+x(18-2x)=-32x2+18x,其中0x0,88-11x0,x8,故0x8,y=3x88-11x3=-11x2+88x(0x8).(2)y=-11x2+88x=-11(x-4)2+176,当x=4时,y取最大值,最大值为176.