五年高考2022届高考数学复习第五章第二节平面向量的数量积及其应用文全国通用.docx

1、第二节平面向量的数量积及其应用考点一向量的数量积1.(2022广东，9)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2，1)，则()A.5 B.4 C.3 D.2解析四边形ABCD为平行四边形，(1，2)(2，1)(3，1).23(1)15.答案A2.(2022陕西，8)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b| B.|ab|a|b|C.(ab)2|ab|2 D.(ab)(ab)a2b2解析对于A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案B3.(

2、2022新课标全国，4)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A.1 B.2 C.3 D.5解析因为|ab|，所以|ab|210，即a22abb210.又因为|ab|，a22abb26.由得4ab4，即ab1，故选A.答案A4.(2022福建，3)已知向量a(x1，2)，b(2，1)，则ab的充要条件是()A.x B.x1C.x5 D.x0解析a(x1，2)，b(2，1)，ab，ab(x1，2)(2，1)2(x1)212x0，x0.答案D5.(2022湖北，7)已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C. D.解析A(1，1)

3、，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，a(2，1)，b(5，5).向量在方向上的投影为|cosa，b.故选A.答案A6.(2022湖北，11)已知向量，|3，则_.解析因为，所以0.所以()2|20329.答案97.(2022天津，13)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为_.解析在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB2，BC1，ABC60，CD1，21cos 6021cos 60cos 120.答案8.(2022重庆，12)已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_.解析因为a(2，6)，所以|a|

4、2，又|b|，向量a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cos 60210.答案109.(2022新课标全国，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.解析本题考查平面向量数量积的运算.bcbta(1t)btab(1t)|b|2t1t1t0t2.答案210.(2022新课标全国，14)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析本题考查向量数量积及运算性质.以，为基底，则0，()|2|222222.答案2考点二平面向量的夹角、长度问题1.(2022重庆，7)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A. B. C.

5、 D.解析因为a(2ab)，所以a(2ab)2a2ab0，即2|a|2|a|b|cosa，b0，又|b|4|a|，则上式可化为2|a|2|a|4|a|cosa，b0即24cosa，b0，所以cosa，b，即a，b夹角为.答案C2.(2022湖南，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的取值范围是()A.4，6 B.1，1C.2，2 D.1，1解析设D(x，y)，则(x3)2y21，(x1，y)，故|，|的最大值即为圆(x3)2y21上的点到点(1，)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21的圆心到点(1，)的距离加上圆的半径，即11，

6、最小值为11，故取值范围为1，1.答案D3.(2022山东，7)已知向量a(1，)，b(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m()A.2 B. C.0 D.解析根据平面向量的夹角公式可得，即3m，两边平方并化简得6m18，解得m，经检验符合题意.答案B4.(2022重庆，6)设xR，向量a(x，1)，b(1，2)，且ab，则|ab|等于()A. B. C.2 D.10解析由ab(x，1)(1，2)x20，得x2，所以ab(2，1)(1，2)(3，1)，所以|ab|.故选B.答案B5.(2022湖南，8)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1 B.

7、 C.1 D.2解析由ab0，得ab，故|ab|.而1|cab|c|ab|c|，则有1|c|1，解得1|c|1，故|c|的最大值为1.答案C6.(2022浙江，13)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.解析因为|e1|e2|1且e1e2.所以e1与e2的夹角为60.又因为be1be21，所以be1be20，即b(e1e2)0，所以b(e1e2).所以b与e1的夹角为30，所以be1|b|e1|cos 301.|b|.答案7.(2022四川，14)平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.解析由

8、已知可以得到c(m4，2m2)，且cosc，acosc，b，所以，即，即，解得m2.答案28.(2022安徽，13)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_.解析|a|3|b|a2b|，|a|29|b|2|a|24|b|24ab，ab|b|2，cosa，b.答案9.(2022浙江，17)设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_.解析因为b0，所以bxe1ye2，x0，y0.又|b|2(xe1ye2)2x2y2xy，不妨设t，则，当t时，t2t1取得最小值，此时取得最大值，所以的最大值为2.答案210.(2022

9、陕西，18)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上，且mn(m，nR).(1)若mn，求|；(2)用x，y表示mn，并求mn的最大值.解(1)mn，(1，2)，(2，1)，(1，2)(2，1)(2，2)，|2.(2)m(1，2)n(2，1)(m2n，2mn)，两式相减，得mnyx.令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2，3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.考点三向量的应用1.(2022福建，7)设a(1，2)，b(1，1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()A. B. C. D.解析cakb(1，2)

10、k(1，1)(1k，2k)，bc，bc0，bc(1，1)(1k，2k)1k2k32k0，k，故选A.答案A2.(2022湖南，9)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2，0)，则|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9解析由A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，线段AC为圆的直径，故2(4，0)，设B(x，y)，则x2y21且x1，1，(x2，y)，所以(x6，y)，|，当x1时，此式有最大值7，故选B.答案B3.(2022安徽，10)设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x

11、1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A. B. C. D.0解析设Sx1y1x2y2x3y3x4y4，若S的表达式中有0个ab，则S2a22b2，记为S1，若S的表达式中有2个ab，则Sa2b22ab，记为S2，若S的表达式中有4个ab，则S4ab，记为S3.又|b|2|a|，所以S1S32a22b24ab2(ab)20，S1S2a2b22ab(ab)20，S2S3(ab)20，所以S3S2S1，故SminS34ab，设a，b的夹角为，则Smin4ab8|a|2cos 4|a|2，即cos ，又0，所以.答案B4.(2022广东，10)设a是已

12、知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc.给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析对于，若向量a，b确定，因为ab是确定的，故总存在向量c，满足cab，即abc，故正确；对于，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数，满足abc，故正确；对于，如果abc，则以|a|，|b|，|c|为三边长可以构成一个三角形，如果b和

13、正数确定，则一定存在单位向量c和实数满足abc，故正确；对于，如果给定的正数和不能满足“以|a|，|b|，|c|为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误，故选C.答案C5.(2022福建，10)在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为()A. B.2 C.5 D.10解析由于1(4)220，故，则该四边形的面积S|5.答案C6.(2022广东，10)对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合|nZ中，则ab()A. B. C.1 D.解析由已知cos ，再根据的定义可知，bacos ；abcos .(ab)(ba)cos2.又因为ab和ba都在集合|nZ中，所以n只能取1，此时ab.答案D7.(2022江苏，14)设向量ak(k0，1，2，12)，则(akak1)的值为_.解析ak，akak1coscoscoscossin.故 akak1=coscossin.由cos0，sin0，得akak1cos129.答案98.(2022浙江，15)若平面向量、满足|1，|1，且以向量、为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_.解析以，为邻边的平行四边形的面积为S|sin |sin ，sin .又|1，即sin 且0，.答案10