五年高考真题2022届高考数学复习第五章第二节平面向量的数量积及其应用理全国通用.docx

1、考点一向量的数量积1(2022山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60 ，则()Aa2 Ba2C.a2 D.a2解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2，BDa.|cos 30a2a2.答案D2(2022安徽，8)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)解析由于ABC是边长为2的等边三角形；()()0，即()0，(4ab)，即(4ab)，故选D.答案D3(2022四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满

2、足3，2，则()A20 B. 15 C9 D6解析，(43)(43)(16292)(1662942)9，选C.答案C4(2022福建，9)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于()A13 B15 C19 D21解析建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1，4)，P(1，4)，(1，t4)1717213，故选A.答案A5(2022新课标全国，3)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D5 解析由向量的数量积运算可知，|ab|，(ab)210，a2b22ab10，同理a2b22ab6，得4ab4，ab1.答案A6(2

3、022大纲全国，4)若向量a、b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2 B. C1 D.解析由题意得2a2b20，即2|a|2|b|20，又|a|1，|b|.故选B.答案B7(2022北京，10)已知向量a，b满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|_.解析|a|1，可令a(cos ，sin )，ab0，即由sin2cos21得25，得|.答案8(2022江西，14)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.解析因为a2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3，b2(3e1e2)29231cos

4、18，所以|b|2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，所以cos .答案9(2022山东，15)已知向量与的夹角为120，且|3，|2，若，且，则实数的值为_解析，又，()()0.220，即4(1)3290，即7120，.答案10(2022北京，13)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_解析如图建立直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)设E(x，1)，那么(x，1)，(0，1)，1.(1，0)，x.正方形的边长为1，x的最大值为1，故的最大值为1.答案11考点二平面向量的长度与角度问题1(20

5、22重庆，6)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D解析由题意(ab)(3a2b)3a2ab2b20，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，所以3cos 20，cos ，选A.答案A2(2022陕西，7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2解析对于A，由|ab|a|b|cos|a|b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立故选B.答案B 3.(2022天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，BAD

6、120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，则()A. B. C. D.解析如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，1)，B(，0)，C(0，1)，D(，0)，由题意得(1)(，1)，(1)(，1)因为，所以3(1)(1)(1)(1)，即(1)(1).因为(，1)(，1)，又1，所以(1)(1)2.由整理得.选C.答案C4(2022辽宁，10)若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D2解析设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)，则x2y21，ac(1x，

7、y)，bc(x，1y)，则(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x，1y)，|abc|abc|，由xy1，|abc|1，最大值为1.答案B5(2022天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则|的最小值为_解析在梯形ABCD中，AB2，BC1，ABC60，可得DC1，()()21cos 6021cos 60cos 1202，当且仅当，即时，取得最小值为.答案6(2022湖北，11)设向量a(3，3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_.解析(ab)(ab)(ab)(

8、ab)a22b20182203.答案37(2022江苏，12)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_解析因为，所以()()|2|22，将AB8，AD5代入解得22.答案228(2022浙江，17)设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_解析|b|2(xe1ye2)2x2y22xye1e2x2y2xy.，当x0时，0；当x0时，2.答案29(2022新课标全国，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.解析bc0，bta(1t)b0，tab(1t)b20，又|a|b|1，a，

9、b60，t1t0，t2.答案210(2022新课标全国，13)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析|2ab|(2ab)2104|b|24|b|cos 4510|b|3或|b|(舍去)答案3考点三数量积的综合应用1(2022浙江，7)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()AABC90 BBAC90CABAC DACBC解析设AB4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(2，0)，B(2，0)，则P0(1，0)，设C(a，b)，P(x，0)，(2x，0)，(ax，b)，(1，0)，(a1，b)，则(2x)(a

10、x)a1恒成立，即x2(2a)xa10恒成立，(2a)24(a1)a20恒成立，a0，即点C在线段AB的中垂线上，ACBC，选D.答案D2(2022广东，8)对任意两个非零的平面向量和，定义 .若平面向量a，b满足|a|b|0，a与b的夹角，且a b和b a都在集合中，则a b()A. B1 C. D.解析由定义知a bcos .b acos .a b，b a.设a b，b a(m，nZ)则cos ，cos ，两式相乘，得cos2.又，cos ，cos2，mn4cos2(2，4)又m，nZ，m0，n0，mn，m3，n1，a b.答案C3(2022浙江，15)已知e1，e2是空间单位向量，e1e

11、2，若空间向量b满足be12，be2，且对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则x0_，y0_，|b|_.解析e1e2|e1|e2|cose1，e2，e1，e2.不妨设e1，e2(1，0，0)，b(m，n，t)由题意知解得n，m，b.b(xe1ye2)，|b(xe1ye2)|2t2x2xyy24x5yt27(y2)2t2.由题意知，当xx01，yy02时，(y2)2t2取到最小值此时t21，故|b|2.答案1224(2022广东，16)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x，所以x，即x.10