五年高考真题2022届高考数学复习第六章第四节数列求和数列的综合应用理全国通用.docx

1、考点一数列求和1(2022新课标全国，3)等比数列an的前n项和为Sn.已知S3a210a1，a59，则a1()A. B C. D解析设公比为q，则由S3a210a1，得a1a2a3a210a1，故a39a1，所以q29.由a59，得a1.答案C2(2022大纲全国，5)已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A. B. C. D.解析由S55a3及S515得a33，d1，a11，ann，所以数列的前100项和T10011，故选A.答案A3(2022天津，4)已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S1

2、0的值为()A110 B90 C90 D110解析由题意得aa3a9，又公差d2，(a38)2a3(a312)，a316.S105(a3a35d)5(161610)110，故选D.答案D4(2022辽宁，14)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.解析因为x25x40的两根为1和4，又数列an是递增数列，所以a11，a34，所以q2.所以S663.答案635(2022新课标全国，16)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_解析由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，所以Sn0，所以

3、1，即1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得1(n1)n，所以Sn.答案6(2022新课标，16)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_解析当n2k时，a2k1a2k4k1，当n2k1时，a2ka2k14k3，a2k1a2k12，a2k3a2k12，a2k1a2k3，a1a5a61.a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(2601)30611 830.答案1 8307(2022山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.解(1)因为2S

4、n3n3，所以2a133，故a13，当n1时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因为anbnlog3an，所以b1，当n1时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；当n1时，Tnb1b2b3bn(131232(n1)31n)，所以3Tn1(130231(n1)32n)，两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn，经检验，n1时也适合综上可得Tn.8(2022天津，18)已知数列an满足an2qan(q为实数，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差数列(1)

5、求q的值和an的通项公式；(2)设bn，nN*，求数列bn的前n项和解(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即a4a2a5a3，所以a2(q1)a3(q1)，又因为q1，故a3a22，由a3a1q，得q2.当n2k1(kN*)时，ana2k12k12；当n2k(kN*)时，ana2k2k2.所以，an的通项公式为an(2)由(1)得bn.设bn的前n项和为Sn，则Sn123(n1)n，Sn123(n1)n.上述两式相减得：Sn12，整理得，Sn4，nN*.所以，数列bn的前n项和为4，nN*.9(2022山东，19)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1

6、，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.当n为偶数时，Tn1.当n为奇数时，Tn1.所以Tn10(2022天津，19)已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3

7、，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3.于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为an(1)n1.(2)由(1)得Sn1当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.考点二数列的综合问题1(2022福建，8)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A6 B7 C8 D9

8、解析由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有：a，2，b；b，2，a.或解之得：或p5，q4，pq9，故选D.答案D2(2022浙江，3)已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40Ca1d0，dS40 Da1d0，dS40解析a3，a4，a8成等比数列，(a13d)2(a12d)(a17d)，整理得a1d，a1dd20，又S44a1d，dS40，故选B.答案B3(2022广东，21)

9、数列an满足：a12a2nan4，nN*.(1)求a3的值；(2)求数列an前n项和Tn；(3)令b1a1，bnan(n2)，证明：数列bn的前n项和Sn满足Sn22ln n.(1)解a11，a12a22，a2，a12a23a34，a3.(2)解n2时，a12a2(n1)an14，与原式相减，得nan，an，n1也符合，Tn2.(3)证明n2时，bnanan故Snia1a2a3ana1a2a3anTn2，只需证明222ln n，nN*.对于任意自然数kN，令x(1，0)时，ln0，即ln(k1)ln k.k1时，ln 2ln 1，k2时，ln 3ln 2.kn1时，ln 2ln(n1)11(l

10、n 2ln 1)(ln 3ln 2)ln nln(n1)，即11ln n，所以n2时，222ln n，综上nN时，Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由解(1)设数列an的公差为d，依题意，2，2d，24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n.显然2n60n800成立当an4n2时，Sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足

11、题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41.8(2022北京，20)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn.(1)若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dnd(n1，2，3，)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(3)证明：若a12，dn1(n1，2，3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.(1)解d1d21，d3d43.(2)证明(充分性)因为an是公差为d的

12、等差数列，且d0，所以a1a2an.因此Anan，Bnan1，dnanan1d(n1，2，3，)(必要性)因为dnd0(n1，2，3，)，所以AnBndnBn.又因为anAn，an1Bn，所以anan1.于是，Anan，Bnan1，因此an1anBnAndd，即an是公差为d的等差数列(3)证明因为a12，d11，所以A1a12，B1A1d11.故对任意n1，anB11.假设an(n2)中存在大于2的项设m为满足am2的最小正整数，则m2，并且对任意1k2.于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm2.故dm1Am1Bm1220，与dm11矛盾所以对于任意n1，有an2，即非负整数列an

13、的各项只能为1或2.因为对任意n1，an2a1，所以An2.故BnAndn211.因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且am1，即数列an有无穷多项为1.9(2022四川，20)已知数列an的前n项和为Sn，且a2anS2Sn对一切正整数n都成立(1)求a1，a2的值；(2)设a10，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值解(1)取n1，得a2a1S2S12a1a2，取n2，得a2a12a2，由，得a2(a2a1)a2，()若a20，由知a10，()若a20，由知a2a11.由、解得，a11，a22；或a11，a22.综上可得a10，a20；或a11，a22；或a11，a22.(2)当a10时，由(1)知a11，a22.当n2时，有(2)anS2Sn，(2)an1S2Sn1，所以(1)an(2)an1，即anan1(n2)，所以ana1()n1(1)()n1.令bnlg ，则bn1lg()n11(n1)lg 2lg ，所以数列bn是单调递减的等差数列(公差为lg 2)，从而b1b2b7lg lg 10，当n8时，bnb8lg lg 10，故n7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T77lg 2.11