2022秋高中数学 章末检测3 第三章 圆锥曲线的方程 新人教A版选择性必修第一册.docx

1、第三章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1椭圆1的离心率是()ABCD【答案】B【解析】因为椭圆方程为1，所以a3，c所以e2已知点F1(3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A1(y0)B1(x0)C1(y0)D1(x0)【答案】B【解析】由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为1(x0，a0，b0)，则c3，a2，b2945，所以点P的轨迹方程为1(x0)3中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国

2、劳动人民的非凡智慧如图是一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m若水面上升1m，则水面宽度为()A2mB4mC4mD12m【答案】C【解析】根据题意，设该抛物线的方程为x22py，又由当水面离拱顶2m时，水面宽8m，即点(4，2)和(4，2)在抛物线上，则有162p(2)，解得p4，故抛物线的方程为x28y若水面上升1m，即y1，则有x28，解得x2，此时水面宽度为2(2)44(2021年哈尔滨期末)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，

3、且与矩形ABCD的四边相切设椭圆在平面直角坐标系中的方程为1(ab0)，则下列选项中满足题意的方程为()A1B1C1D1【答案】A【解析】用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且与矩形ABCD的四边相切，4ab144，即ab36对于A，a9，b4，满足ab0且ab36，故A正确；对于B，a，b9，不满足ab0，故B错误；对于C，a10，b8，不满足ab36，故C错误；对于D，a8，b10，不满足ab0，故D错误故选A5已知F是双曲线C：x2y22的一个焦点，点P在C上，过点P作FP的垂线与x轴交于点Q，若FPQ为等腰直角三角形，则FPQ的面积为()ABCD【答案】A【解析】如图，不妨设

4、F为双曲线的右焦点，点P在第一象限FPQ为等腰直角三角形，F(2,0)，直线PF的方程为yx2可设P(x,2x)，将其代入双曲线C的方程中，得x2(2x)22，解得x，P，SFPQ26已知双曲线C：x21的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，则的取值范围为()AB(0,2CD【答案】C【解析】不妨设点P在右支上，有|PF2|1，则1，则的取值范围为故选C7已知抛物线x24y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PAl于点A，当AFO30(O为坐标原点)时，|PF|()ABCD【答案】D【解析】设l与y轴的交点为B，在RtABF中，AFB30，|BF|2，所以|AB|设P(x0

5、，y0)，则x0，代入x24y中，得y0所以|PF|PA|y018已知椭圆C：1(ab0)与圆D：x2y22axa20交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为()ABCD【答案】B【解析】由已知可得圆D：(xa)2y2a2，圆心D(a,0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为将x代入圆D的方程，得y不妨设点A在x轴上方，即A，代入椭圆C的方程，得1，所以a2b2a2c2，解得a2c所以椭圆C的离心率e二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知抛物线y22px(p0)

6、上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，则p的值可以是()A2B6C4D8【答案】AC【解析】设M(x0，y0)，由点M在抛物线上，所以y2px0，由抛物线的方程可得准线的方程为x，由题意可得x03，|y0|2，解得p2或p410关于双曲线C1：1与双曲线C2：1，下列说法正确的是()A它们的渐近线不相同B它们有相同的顶点C它们的离心率不相等D它们的焦距相等【答案】ACD【解析】双曲线C1：1的顶点坐标为(3,0)，渐近线方程为4x3y0，离心率为，焦距为10双曲线C2：1，即1，它的顶点坐标为(4,0)，渐近线方程为3x4y0，离心率为，焦距为10故选ACD11若双曲线C：1(a0，b0

7、)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是()A双曲线C的渐近线上的点到点F距离的最小值为4B双曲线C的离心率为C双曲线C上的点到点F的距离的最小值为2D过点F的最短的弦长为【答案】ABC【解析】由题意可得2a6,2c10，所以a3，c5，b4，右焦点F(5,0)，渐近线的方程为4x3y0，所以C的渐近线上的点到点F的距离的最小值为F到渐近线的距离d4，所以A正确；离心率e，所以B正确；双曲线上，顶点到焦点的距离最小，532，所以C正确；过焦点的弦长中，垂直于x轴的弦长为，而斜率为0时，弦长为实轴长2a6，所以最短的弦长为6，故D不正确12已知P是椭圆C：y21上的动点，Q是圆

8、D：(x1)2y2上的动点，则()A椭圆C的焦距为B椭圆C的离心率为C圆D在椭圆C的内部D|PQ|的最小值为【答案】BC【解析】由椭圆方程可得，a26，b21，c2a2b25，所以焦距2c2，所以A不正确；离心率e，所以B正确；C中，整理可得2x0，22420，所以两个曲线无交点，所以圆在椭圆的内部，所以C正确；设P(x，y)，则由题意可得|PQ|，所以|PQ|的最小值为，所以D不正确故选BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知双曲线C：1，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离是_【答案】【解析】双曲线C：1，则c2a2b2639，则c3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，其渐近线

9、方程为yx，即xy0，则点(3,0)到渐近线的距离d14在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率是_【答案】【解析】由双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，得，所以a2所以双曲线的离心率为e15已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|F1F2|，则|PF1|_，PF1F2的面积等于_【答案】48【解析】由1知a5，b4，所以c3，即F1(3,0)，F2(3,0)，所以|PF2|F1F2|6又由椭圆的定义，知|PF1|PF2|10，所以|PF1|1064于是SPF1F2|PF1|h4816已知抛物线y24x的一条

10、弦AB恰好以(1,1)为中点，则弦AB所在的直线方程为_【答案】2xy10【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1x2，则y1y22又因为点A，B在抛物线y24x上，所以两式相减，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，则2，即直线AB的斜率为2，所以直线AB的方程为y12(x1)，即2xy10四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)在平面直角坐标系Oxy中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)求长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程；(2)求以A(3,0)为一个焦点，实轴长为2的双曲线的标准方程解：(1)根据题意，要求椭圆的长轴长

11、为4，焦距为2，即2a4,2c2，则a2，c1，则b若要求椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为1；若要求椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为1；故要求椭圆的标准方程为1或1(2)要求双曲线以A(3,0)为一个焦点，实轴长为2，则其焦点在x轴上，即c3,2a2，则a，b2，则双曲线的标准方程为118(12分)已知F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆，圆与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E交于点B，C(1)若ABC为直角三角形，求半径R的值；(2)在(1)的条件下，判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明解：(1)如图，由抛物线和圆的对称性可得点B，C关于x轴对称，再由A

12、BC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线，xB，代入抛物线的方程可得yBp，所以圆的半径Rp(2)直线AB与抛物线E相切由(1)知A，|AF|p，B，C，则直线AB：yx，联立整理得x2px0，所以p2p20，所以直线AB与抛物线相切19(12分)已知双曲线C的离心率为，且过点(，0)，过双曲线C的右焦点F2作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)求AOB的面积解：(1)由题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a，b2c2a2，解得a23，b26，所以双曲线的方程为1(2)由(1)可得F2(3,0)，F1(3,0)，由题意设y(

13、x3)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与双曲线的方程整理可得x218x330，x1x218，x1x233，SAOB|OF2|y1y2|336即AOB的面积为3620(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21(a1，aR)上，过点O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点(1)若FAB的面积的最大值为1，求a的值；(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于，求椭圆C的离心率解：(1)因为SFAB|OF|yAyB|OF|1，所以a(2)由题意可设A(x0，y0)，B(x0，y0)，M(x，y)，则y21，y1，kMAkMB，所以a23，所以a，所以c所以椭圆C的离心率e2

14、1(12分)(2021年汉中模拟)已知点M为直线l1：x1上的动点，N(1,0)，过点M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2：ykxm(k0)与圆E：(x3)2y26相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程解：(1)由已知可得|PN|PM|，即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线曲线C的方程为y24x(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，由得k2x2(2km4)xm20，x1x2，x0，y0kx0m，即D直线l2与圆E：(x3

15、)2y26相切于点D，|DE|26，且DEl2，从而226，kDEk1，即整理可得22，即k，m0，故直线l2的方程为xy0或xy022(12分)已知椭圆C：1(ab0)的右顶点为M(2,0)，离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)点Q为左顶点，过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求直线l的方程解：(1)由题意可得a2，则c，则b2a2c22，所以椭圆C的方程为1(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(2,0)，B(2,0)，此时0；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为xty1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(t22)y22ty30，显然0，y1y2，y1y2，所以(x12)(x22)y1y2(ty13)(ty23)y1y2(t21)y1y23t(y1y2)9(t21)3t999，当t0时，取最大值，最大值为此时直线l方程为x1