2022秋高中数学 第三章 排列、组合与二项式定理 综合训练 新人教B版选择性必修第二册.docx

1、第三章综合训练1.已知Cm2=10,则m的值为()A.10B.5C.4D.22.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案有()A.60种B.20种C.10种D.8种3.在(x-3)10的展开式中,x6的系数是()A.-27C106B.27C104C.-9C106D.9C1044.某人射击8枪命中4枪,这4枪恰有3枪连中的不同种数为()A.72B.80C.24D.205.由0,1,2,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有()A.98个B.105个C.112个D.210个6.设二项式x-ax6

2、(a0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是()A.15B.6C.4D.27.2021年某地电视台春晚的戏曲节目,准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段.对这6个剧种片段的演出顺序有如下要求:京剧必须排在前三,且越剧、粤剧必须排在一起,则该戏曲节目演出顺序共有()种.A.120B.156C.188D.2408.设aZ,且0a7,且nN*)的展开式中,(1)若所有二项式系数之和为256,求展开式中二项式系数最大的项;(2)若第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍,求展开式中各项的系数的绝对值之和.18.用0,1,2,3,4

3、,5可组成多少个:(1)没有重复数字的四位数?(2)没有重复数字且被5整除的四位数?(3)比2 000大且没有重复数字的自然数?19.在(2x-3y)10的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和.20.(2022江苏南京月考)通常,我国民用汽车号牌的编号由两部分组成,第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号,第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号.其中,序号的编码规则为:由10个阿拉伯数字和除O,I之外的24个英文字母组成;最多只能有2个英文字母.如果某地级

4、市发牌机关采用5位序号编码,那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?21.已知在12x2-1xn的展开式中,第9项为常数项.求:(1)n的值;(2)展开式中x5的系数;(3)含x的整数次幂的项的个数.22.对任意nN+,定义(1+2)n=Cn0+Cn12+Cn2(2)2+Cnk(2)k+Cnn(2)n=an+bn2,其中an,bn为正整数.(1)求a32+2b32,a42+2b42的值;(2)探究|an2-2bn2|是否为定值,并证明你的结论.参考答案第三章综合训练1.B由Cm2=m(m-1)21=10,得m2-m-20=0,解得m=5或m=-4(舍去).故选B.2.C四盏熄灭的灯产生的5个

5、空当中放入3盏亮灯,则不同的开灯方案有C53=10.3.D因为Tk+1=C10kx10-k(-3)k,令10-k=6,解得k=4,所以x6的系数为(-3)4C104=9C104.4.D把连中三枪看成一个元素(捆绑),另一命中的枪看成一个元素,这两个元素在其余4个元素组成的5个空当中插空,共有A52=20(种).5.D当个位与百位数字为0,8时,有A82A22个;当个位与百位数字为1,9时,有A71A71A22个.共A82A22+A71A71A22=210(个).6.DTk+1=C6kx6-k-axk=(-a)kC6kx6-3k2.令k=2,得A=C62a2=15a2;令k=4,得B=C64a4

6、=15a4.由B=4A,又a0,可得a2=4,所以a=2.7.A完成排戏曲节目演出顺序这件事,可以有两类办法:京剧排第一,越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个元素作全排列有A44种,越剧、粤剧有A22种排列方式,共有A22A44种;京剧排第二或第三有C21种排列方式,越剧、粤剧排在一起只有三个位置可选,并且它们有先后,有C31A22种排列方式,余下三个有A33种排列方式,共有C21C31A22A33种排列方式.由分类加法计数原理知,所有演出顺序有A22A44+C21C31A22A33=120(种),故选A.8.D512020+a=(134-1)2020+a,被13整除余1+a,结合选项可得a

7、=12时,512020+a能被13整除.9.ABCD对于A,Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1),故A正确;对于B,C62+C63=15+20=35,C73=35,故B正确;对于C,Cnm=Cnn-m,故C正确;对于D,采用插空法,将“礼智”插入“仁义信”的4个空中,则一共有C42A22A33=72(种),故D正确.故选ABCD.10.BD因为C202x-1=C20x+3,所以2x-1=x+3或2x-1+x+3=20,所以x=4或x=6,故选BD.11.CD将6本不同的书分成三组的方法有C62C42C22A33种,将三组书本分给甲、乙、丙三人的方法有A33种,所以不同的分法种数为C62

8、C42C22A33A33=90.故选CD.12.BD在多项式1+2x-x6中,令x=1,可得各项系数之和为26,所以A不正确.多项式1+2x-x6的展开式各项系数的绝对值之和与多项式1+2x+x6的展开式各项系数之和相等.在多项式1+2x+x6中,令x=1,可得各项系数之和为212,故B正确.由1+2x-x6=1+2x-x6的展开式的项Tr+1=C6r2x-xr(0r6,rZ),2x-xr的展开式的通项公式为Tk+1=Crk2xr-k(-x)k(0kr,r,kZ),所以1+2x-x6的展开式的项Tr+1=(-1)kC6rCrk2r-kx2k-r(0kr,r,kZ),当2k-r=0时,为常数,所

9、以多项式1+2x-x6的展开式中有常数项,故C不正确.当2k-r=3,0kr,r,kZ时,k=3,r=3或k=4,r=5.(-1)3C63C3320+(-1)4C65C5421=40,所以x3的系数为40,故D正确.13.-5(x-1)6的展开式的项Tk+1=C6kx6-k(-1)k(k=0,1,2,6),令6-k=2,解得k=4,所以(x-1)6的展开式中含x2的项为C64x2(-1)4=15x2.令6-k=3,解得k=3,所以(x-1)6的展开式中含x3的项为C63x3(-1)3=-20x3.所以(x+1)(x-1)6的展开式中含x3的项为x15x2+1(-20x3)=-5x3,所以(x+

10、1)(x-1)6的展开式中x3的系数为-5.14.1 440先让5名大人全排列,有A55种排法,两个小孩再依条件插空,有A42种方法,故共有A55A42=1440(种)排法.15.216第一步,将6名工作人员分成4组,要求A,B同一组,D,E不在同一组.若分为3,1,1,1的四组,A,B必须在3人组,则只需在C,D,E,F中选一人和A,B同一组,故有C41=4种分组方法,若分为2,2,1,1的四组,A,B必须在2人组,故只需在C,D,E,F中选两人构成一组,同时减去D,E在同一组的情况,故有C42-1=5(种)分组方法,则一共有5+4=9(种)分组方法.第二步,将分好的四组全排列,分配到四个区

11、市县,有A44=24(种).故总的分配方法有924=216(种).16.3627依题意C92=9821=36,因为Cn11Cn12=34,所以n!11!(n-11)!n!12!(n-12)!=12n-11=34,解得n=27.17.解(1)由已知得Cn0+Cn1+Cnn=256,2n=256,所以n=8,展开式中二项式系数最大的项是T5=C84(x)4-13x4=7081.(2)展开式的项Tk+1=-13kCnkxn2-k(k=0,1,n),由已知第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍,即19Cn214=13Cn1+127Cn39,所以n=10或n=7(舍去),在x13x

12、n的展开式中各项的系数的绝对值之和与x+13xn各项的系数之和相等,令x=1,得各项系数和为4310.18.解(1)千位可以从1,2,3,4,5中任选一个,有5种,剩余的百位、十位和个位,可以从剩余的5个数中任意选择,所以有A53种,所以没有重复数字的四位数个数共有5A53=300.(2)没有重复数字且被5整除的四位数,分两种情况:个位数字为0时,有A53=60(个);个位数字为5时,千位可以从1,2,3,4中任选一个,有4种,剩下的百位和十位可以从剩余的四个数中选择两个的排列,有A42,则有4A42=48(个),利用分类加法原理可得共有个数60+48=108.(3)比2000大的自然数,当是

13、四位数时,首先从2,3,4,5中选一个有4种选法,再从剩下的元素中选3个,有A53种,共有4A53=240(个);当是五位数时,共有A65A54=600(个);当是六位数时,共有A66A55=600(个).故共有240+600+600=1440(个),所以比2000大的自然数共有1440个.19.解(1)二项式系数的和为C100+C101+C102+C1010=210.(2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.(3)奇数项的二项式系数和为C100+C102+C1010=29,偶数项的二项式系数和为C101+C103+C109=29.(4)设(2x-3y)10=a0x10

14、+a1x9y+a2x8y2+a10y10,令x=y=1,得a0+a1+a2+a10=1,令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+a10=510,其中+得2(a0+a2+a4+a10)=1+510,奇数项系数和为1+5102;-得2(a1+a3+a5+a9)=1-510,偶数项系数和为1-5102.20.解由号牌编号的组成可知,这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则,5位序号可以分为三类:没有字母,有1个字母,有2个字母.当没有字母时,序号的每一位都是数字,确定一个序号可以分5个步骤,每一步都可以从10个数字中选1个,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,这类号牌

15、张数为1010101010=100000.当有1个字母时,这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位,这类序号可以分为五个子类.当第1位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1步,从24个字母中选1个放在第1位,有24种选法;第25步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,号牌张数为2410101010=240000.同样,其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理,这类号牌张数共为240000+240000+240000+240000+240000=1200000.当有2个字母时,根据这2个字母在序号中的位

16、置,可以将这类序号分为十个子类:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5位.当第1位和第2位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第12步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位,各有24种选法;第35步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,号牌张数为2424101010=576000,同样,其余九个子类号牌也各有576000张.于是,这类号牌张数一共为57600010=5760000.综合,根据分类加法计数原理,这个发牌机

17、关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000.21.解二项展开式的项Tk+1=Cnk12x2n-k-1xk=(-1)k12n-kCnkx2n-52k.(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-52k=0,解得n=10.(2)令2n-52k=5,得k=25(2n-5)=6,所以x5的系数为(-1)6124C106=1058.(3)要使2n-52k,即40-5k2为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,3,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项,即含x的整数次幂的项的个数为6.22.解(1)由题意知,a3=C30+C32(2)2=7,b32=C312+C33(2)3=52,b3=5.a4=C40+C42(2)2+C44(2)4=17,b42=C412+C43(2)3=122,b4=12.所以a32+2b32=72+252=99,a42+2b42=172+2122=577.(2)是定值.证明:由题意知,an-bn2=(1-2)n,an+bn2=(1+2)n,则(an-bn2)(an+bn2)=(1-2)n(1+2)n=(1-2)n=(-1)n=an2-2bn2,所以|an2-2bn2|=|(-1)n|=1.