新教材2020-2021学年人教B版数学必修第四册练习：第九章 解三角形 单元素养评价 WORD版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元素养评价(一)(第九章)(120分钟150分)一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在ABC中,若a=b,A=2B,则cos B等于()A.B.C.D.【解析】选B.由正弦定理得=,所以a=b可化为=.又A=2B,所以=,所以cos B=.2.(2020唐山高一检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=,B=,a=4,则b=()A.B.C.2D.2【

2、解析】选C.因为= ,所以b=2.3.在ABC中,a=15,b=20,A=30,则cos B=()A.B.C.-D.【解析】选A.因为=,所以=,解得sin B=.因为ba,所以BA,故B有两解,所以cos B=.4.(2020聊城高一检测)已知ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=4,B=45,SABC=2,则b等于()A.B.5C.D.25【解析】选B.由题意可知,SABC=acsin B=4a=2,解得a=1,由余弦定理知b2=a2+c2-2accos B,所以b2=1+32-24=25,所以b=5.5.(2020成都高一检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b

3、,c,且b=ccos A,则ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形【解析】选B.因为b=ccos A且cos A=,所以b=ccosA=c=,即有c2=a2+b2,所以可判断ABC为直角三角形.6.在ABC中a,b,c分别是角A,B,C的对边.已知abcos(A-B)=a2+b2-c2,tan A=2,a=2,则b=()A.B.C.或D.【解析】选A.由题得cos(A-B)=2cos C,因为cos C=-cos(A+B),所以cos Acos B+sin Asin B=-2(cos Acos B-sin Asin B),化简整理得3cos Acos B-

4、sin Asin B=0,所以tan Atan B=3,又因为tan A=2,所以tan B=,sin A=,sin B=,由正弦定理得b=.7.已知一个三角形的三边是连续的三个自然数,且最大角是最小角的2倍,则该三角形的最小角的余弦值是()A.B.C.D.【解析】选B.设ABC的最大角为B,最小角为C,可得出b=a+1,c=a-1,由题意得出B=2C,所以sin B=sin 2C=2sin Ccos C,所以b=2ccos C,即=2cos C,即=,将b=a+1,c=a-1代入=得=,解得a=5,所以b=6,c=4,则cos C=.8.(2020襄阳高一检测)某校运动会开幕式上举行升旗仪式

5、,在坡度为15的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30,第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示),则旗杆的高度为()A.10 mB.30 mC.10 mD.20 m【解析】选B.依题意知ABC=30+15=45,ACB=180-60-15=105,所以BAC=180-45-105=30,由正弦定理知=,所以AC=sinABC=20(m),在RtACD中AD=AC=20=30(m)即旗杆的高度为30 m.二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已

6、知ABC中,sin Asin Bsin C=k(k+1)2k,则k的值可以是()A.B.1C.2D.3【解析】选BCD.由正弦定理得a=mk,b=m(k+1),c=2mk(m0),因为即所以k.故选BCD.10.在三角形ABC中,下列命题正确的有()A.若A=30,b=4,a=5,则三角形ABC有两解B.若0tan Atan B1,则ABC一定是钝角三角形C.若coscoscos=1,则ABC一定是等边三角形D.若a-b=ccos B-ccos A,则ABC的形状是等腰或直角三角形【解析】选BCD.因为A=30,b=4,a=5,所以由正弦定理得sin B=,ba,所以B只有一个解,故A错误;由

7、0tan Atan B1,即 00,即cos(A+B)0,所以A+B,故ABC一定是钝角三角形,故B正确;因为coscoscos=1,所以cos=cos=cos=1,所以A=B=C=60,故C正确;因为a-b=ccos B-ccos A,所以sin A-sin B=sin Ccos B-sin Ccos A,所以sin A-sin Ccos B=sin B-sin Ccos A,因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Bcos C=sin Acos C,所以cos C=0

8、或sin A=sin B,所以C=或A=B,所以ABC的形状是等腰或直角三角形,故D正确.11.在ABC中a,b,c分别是角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcos A,则下列结论中正确的是()A.a2=b(b+c)B.A=2BC.0cos AD.0sin B90,所以0A+B90,所以0B30,0A60,因此0sin B,故C选项错误,D选项正确.12.(2020枣庄高一检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=91011,则下列结论正确的是()A.sinAsinBsinC=456B.ABC是钝角三角形C.ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则ABC外接圆

9、半径为【解析】选ACD.因为=91011,所以可设(其中x0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin Asin Bsin C=abc=456,所以A正确;因为边c最长,所以三角形中角C最大,又cos C=0,所以角C为锐角,所以B错误;因为边a最小,所以三角形中角A最小,又cos A=,所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos 2A=cos C,由三角形中角C最大且角C为锐角可得:2A,C,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=,又sin C=,所以2R=,解得:R=,所以D正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在等腰三角形ABC中,已知sin A

10、sin B=12,底边BC=10,则ABC的周长是.【解析】由正弦定理得BCAC=sin Asin B=12,又底边BC=10,所以AC=20,所以AB=AC=20,所以ABC的周长是10+20+20=50.答案:5014.(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=.【解析】由正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0.因为A(0,),B(0,),所以sin A0,所以sin B+cos B=0,即tan B=-1,所以B=.答案:15.(2019浙江高考)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC

11、上,若BDC=45,则BD=,cosABD=.【解析】如图,在ABD中,由正弦定理得=,而AB=4,ADB=,AC=5,sinBAC=,cosBAC=,所以BD=.cosABD=cos(BDC-BAC)=coscosBAC+sinsinBAC=.答案:16.我国古代数学家刘徽在其海岛算经中给出了著名的望海岛问题及二次测望方法:今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表三相直.从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末三合.从后表却行一百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末三合.问岛高及去表各几何?这一方法领先印度500多年,领先欧洲1 300多年.其大意为:测量望海岛PQ的

12、高度及海岛离岸距离,在海岸边立两根等高的标杆AB,CD(PQ,AB,CD共面,均垂直于地面),使目测点E与P,B共线,目测点F与P,D共线,测出AE,CF,AC即可求出岛高和距离(如图).若AB=CD=r,AE=a,CF=b,EF=d,则PQ=;EQ=.【解析】设AEB=,CFD=,则tan =,tan =,在PEF中,=,得PE=,所以PQ=PEsin =,EQ=PEcos =.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)(2020新高考全国卷)在ac=,csin A=3,c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说

13、明理由.问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】方案一:选条件.由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c.由ac=,解得a=,b=c=1.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件.由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c,B=C=,A=.由csin A=3,所以c=b=2,a=6.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=2.方案三:选条件.由C=和余弦定理得=.由s

14、in A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c.由c=b与b=c矛盾.因此,选条件时问题中的三角形不存在.18.(12分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求A.(2)求AC边上的高.【解析】(1)在ABC中,因为cos B=-,所以sin B=.由正弦定理得sin A=.由题设知B,所以0Ac,ABC的面积为2,sin(A-B)+sin C=sin A,b=3.(1)求sin B的值;(2)求边a,c的值.【解析】(1)由sin(A-B)+sin C=sin A,C=-(A+B),得sin Acos B-cos Asin B+sin(A+B)=sin A,即2

15、sin Acos B=sin A,因为0A,所以sin A0,所以cos B=.因为0Bc所以a=3,c=2.20.(12分)(2020合肥高一检测)在四边形ABCD中,ABC=,ABAD,AB=1,ABC的面积为.(1)求sinCAB;(2)若ADC=,求CD的长.【解析】(1)ABC的面积为ABBCsinABC=1BC=,所以BC=.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,即AC2=1+2-21=5,得AC=.由正弦定理得=,即=,所以sinCAB=.(2)由(1)知sinCAB=,所以cosCAB=,因为ABAD,所以DAC+CAB=90,sinDAC=c

16、osCAB=.在ACD中,由正弦定理,得=,即=,解得CD=4.21.(12分)(2020上海高一检测)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C

17、处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在什么范围内?【解析】(1)在ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,从而sin B=sin=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A=+=,由正弦定理=得,AB=sin C=1 040(m).(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50),由于0t,即0t8,故当t= min时,甲、乙两游客距离最短.(

18、3)由正弦定理=,得BC=sin A=500(m).乙从B出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3-3,解得v,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内.22.(12分)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足sin A+cos A=2.(1)求角A的大小.(2)现给出三个条件:a=2;B=;c=B.试从中选出两个可以确定ABC的条件,写出你的方案并以此为依据求ABC的面积.(写出一种方案即可)【解析】(1)依题意得2sin=2,即sin=1,因为0A,所以A+,所以A+=,所以A=.(2)(答案不唯一)参考方案:选择.由正弦定理=,得b=2.因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,所以SABC=absin C=22=+1.关闭Word文档返回原板块- 15 - 版权所有高考资源网