《名校推荐》陕西省西安中学（北师大版）高一数学教学设计：必修一 3-6 幂函数、指数函数、对数函数增长的比较.doc

1、幂函数、指数函数、对数函数增长的比较陕西省西安中学 一、教学目标1、知识与技能（1）利用计算工具，结合数学探究实验，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长的快慢；（2）结合实例，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.2、过程与方法（1）学生小组合作，动手实践，借助图形计算器解决生活实例；（2）教师指导学生利用CASIOfx-CG20CN图形计算器，利用图形、表格、动态图等功能，完成3个探究实验，对指数函数、对数函数、幂函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；3、情感态度价值观（1）体会函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会指数函数、对数

2、函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用；（2）激发学生主动探究问题的兴趣，提高自主学习能力.二、教学重点、难点重点：比较幂函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义难点：选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、教学过程环节教学程序（师生双边活动）1情境引入例:某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y随利润x的增加而增加，但有以下要求：（1）奖金总数不超过5万元（2）奖金不超过利润的25 %现有三个奖励模型：y=0.25x

3、，y=log7x+1, y=1.002x，问：其中哪个模型能符合公司的要求？分析:某个奖励模型符合公司要求，即当x10,1000时，能够满足.可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。解：借助图形计算器画出函数：y=5, y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图像如下：观察图像发现，在区间10,1000上，模型y=0.25x，y=1.002x的图像有一部分在y=5的上方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断。首先，对于模型y=0.25x，显然当x(20,1000时，y5,因此该模型不符合要求。其次，对于模型y=1.

4、002x，利用casio图形计算器的求交点或解方程功能，可知1.0028065.05，由于y=1.002x是增函数，故当x(806,1000时，y5,因此，该模型也不符合要求。而对于模型y=log7x+1，它在区间10,1000上单调递增，且当x=1000时，用计算器可求得：y= log71000+14.555，所以它符合资金总数不超过5万元的要求。再由上图，及下边局部放大图（标记了交点）可以看出：当x10,1000时，都有log7x+11时，指数函数是增函数；在y轴右侧，a（a1）越大函数值增长越快。（3）图形计算器动态图演示如下：3、对数函数（1）定义：我们把函数 叫作对数函数；（2）性质

5、：图像过定点（1，0）；当a 1时，对数函数是增函数；直线x=1右侧，a (a 1)越小函数值的增长就越快.（3）图形计算器动态图演示如下：3探究实验上述都是在同类函数进行比较，不同类型的函数增长谁快谁慢呢？ 探究（一）利用图形计算器，试着比较函数模型y=x2,y=2x, y=log2x的增长快慢。发现：对数函数y=log2x增长缓慢。y=x2,y=2x在第一象限内共有两个交点，（2，4）及（4，2），且在x=4之后，y=2x增长速度大于y=x2增长速度。探究（二）利用图形计算器，比较函数模型y=x3，y=2x增长的快慢。问:（大致图像如上图所示）这次红线代表的y=2x有没有可能增长超越蓝线代

6、表的y=x3 ?为了减少作图的盲目性，我们利用图形计算器的表格功能，进行一下数的估计：发现：，回到图形选项，重新调整查看窗，再次将y=2x,y=x3作出：即在直线x=10右侧， y=2x将比y=x3增长快。探究（三）利用图形计算器，比较函数模型y=x100，y=2x增长的快慢。先利用图形计算器画出两图像进行直观感受：问：这次红线代表的y=2x有没有可能增长超越蓝线代表的y=x100 ?发现：因数据过大，溢出计算器的计算能力，故列表格或求交点等方法均看不出一点y=2x超越y=x100的希望。我们希望把大数变小，这时不妨同时取常用对数得到新函数：y=100lgx，y=xlg2，再画新函数的图像，比

7、较新函数增长的快慢。发现，红线代表的 y=xlg2最终在将近1000处超过了蓝线代表的y=100lgx，这说明y=2x最终还是将超过y=x100.事实上，类似探究(二)，我们可以进行一个数的估计：4抽象概括总存在x0,当xx0时，指数函数增长的速度最快，对数函数增长较慢，幂函数居中。即：总存在x0,当xx0时，有.请大家结合实例和探究，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.另外，幂函数和对数函数之间增长的比较，留给大家下去设计实验，小组合作，探究交流。5知识交流实际上生活中不乏指数爆炸的现象：例如：在澳大利亚，现在还在上演着人兔大战。24只兔子，曾在过去仅仅几十年时间，快速繁殖，占领了整个澳大利亚，数量达到75亿。再例如：用1代表你的现状，1.01代表你在现有基础上努力了一点点，0.99代表你懈怠了一点点，我们来看一看，一年后会发生什么。1.0136537.8，0.993650.03，所以，老师要告诉大家的是，用高标准要求自己和用低标准要求自己工作或学习时，所用的时间是差不多的，可结果却差很多！6课堂小结1、总存在x0,当xx0时，指数函数增长的速度最快，对数函数增长较慢，幂函数居中。即：总存在x0,当xx0时，有.2、用心体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的意义。