新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：4-5-2　用二分法求方程的近似解 WORD版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家45.2用二分法求方程的近似解目标 1.知道二分法的定义，会用二分法求方程的近似解；2.明确精确度与近似值的区别重点 二分法求方程的近似解难点 二分法定义的理解知识点一二分法的概念填一填对于在区间a，b上连续不断，且 f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法答一答1用二分法求函数零点的适用条件是什么？提示：f(x)的图象在区间a，b上连续不断；f(a)f(b)0.2是否所有的函数都能用二分法判断零点所在区间？提示：不是所有的函数都能用二分法来判断零点所在

2、区间只有图象在给定区间上是连续不断的，且在区间的端点处的函数值是异号的函数，才可以用二分法求函数零点所在区间3若函数yf(x)在区间a，b上存在f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点吗？提示：对于函数f(x)，若满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内不一定有零点，反之，f(x)在区间(a，b)内有零点也不一定有f(a)f(b)0，如图所示知识点二用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤填一填(1)确定区间a，b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；若f(x1)0，则x1就是函数的零点；若f(a)f(

3、x1)0(此时零点x0(a，x1)，则令bx1；若f(x1)f(b)0(此时零点x0(x1，b)，则令ax1.(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)答一答4“精确到”与“精确度”是一回事吗？提示：不是一回事，具体说明如下：(1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x为x的一个近似值，若|xx|，则x是精确度为的x的一个近似值，精确度简称精度用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满足|ab|，两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解(2)精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x，

4、x的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位如：3.141 592 6，若取3位有效数字，则x3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x3.141 6，精确到0.000 1(即万分位)5你知道为什么当|ab|时，可将a或b的值看成方程的近似解吗？提示：当|ab|时，由于方程根的真实值x0a，b，所以|ax0|ab|，所以a与方程根的真实值x0的误差不超过精确度，故可用a来作为方程的近似解用b的原因同样类型一二分法的概念例1下列图象表示的函数能用二分法求零点的是()解析对于选项A，图象与x轴无交点，不能用二分法求零点；对于选项B，图象与x轴有交点，但零点两边的函数值同号，

5、不能用二分法求零点；对于选项C，函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，故选C.答案C1.本题给出了各个函数的图象，可根据图象与x轴有交点，且交点左右的函数值异号才能用二分法求零点2判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用变式训练1如下图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是(A)解析：按二分法定义， f(x)在a，b上是连续的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用

6、二分法求出函数的零点故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解故选A.类型二二分法的步骤例2用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()A(0,0.5)，f(0.25)B(0,1)，f(0.25)C(0.5,1)，f(0.75) D(0,0.5)，f(0.125)解析二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由f(0)0，知x0(0,0.5)，再计算0与0.5的中点0.25处相应的函数值，以判断x0的准确位置答案A用二分法求函数零点近似值的

7、注意点(1)在第一步中要使：,区间a，b的长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a)f(b)0.,(2)二分法仅对函数变号零点(即零点两侧某区域内函数值异号)适用.(3)利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.变式训练2某方程在区间0,1内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0,1)等分(C)A2次 B3次C4次 D5次解析：将区间(0,1)等分1次，区间长度为0.5; 等分2次，区间长度为0.25；等分4次，区间长度为0.062 50.1，符合题意，故选C.类型三用二分法求函数零点的近似解例

8、3判断函数yx3x1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)分析由题目可获取以下主要信息：判断函数在区间(1,1.5)内有无零点，可用根的存在性定理判断；精确度0.1表示在判断出在(1,1.5)内有零点后可用二分法求解解因为f(1)10，且函数yx3x1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08由于|1.3751.312 5|0.06

9、2 50.1，所以函数的一个近似零点可取1.312 5.此类问题按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度时终止运算.变式训练3用二分法求2xx4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2)参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解：令f(x)2xx4，则f(1)2140.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x11.5f(x1)0.330(1,1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25,1.5

10、)x31.375f(x3)0.0350(1.375,1.5)|1.3751.5|0.1250，f(2)20，可得方程的根落在区间内3用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|ab|(为精确度)时，函数零点的近似值x0与真实零点的误差最大不超过(B)A. B.C D2解析：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而ba，因此误差最大不超过.4某同学在借助题设给出的数据求方程lgx2x的近似数时，设f(x)lgxx2，得出f(1)0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为1.75.解析：先

11、判断零点所在的区间为(1,2)，故用“二分法”取的第一个值为1.5，由于方程的近似解为x1.8，故零点所在的区间进一步确定为(1.5,2)，故取的第二个值为1.75.5求方程lgxx1的近似解(精确度：0.1)解：如图所示，由函数ylgx和yx1的图象可知，方程lgxx1有唯一实数解，且在区间(0,1)内设f(x)lgxx1，f(1)0，用计算器计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值区间长度(0,1)0.50.008 11(0.5,1)0.750.280 50.5(0.5,0.75)0.6250.147 50.25(0.5,0.625)0.562 50.073 00.125(0.5,0.562 5)0.531 250.033 30.062 5由于区间(0.5,0.562 5)的长度为0.062 50.1，所以原方程的近似解可取为0.5.本课须掌握的两大问题1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a) f(b)0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值- 9 - 版权所有高考资源网