2022高考数学人教B版一轮总复习学案：5-2　向量基本定理与向量的坐标 WORD版含解析.docx

1、5.2向量基本定理与向量的坐标必备知识预案自诊知识梳理1.共线向量基本定理如果a0且ba,则存在唯一一个实数,使得.2.平面向量基本定理(1)定理:如果平面内两个向量a与b,则对该平面内任意一个向量c,存在的实数对(x,y),使得.(2)基底:平面内的两个向量a与b组成的集合a,b,常称为该平面上向量的一组基底.此时如果c=xa+yb,则称为c在基底a,b下的分解式.3.直线上向量的坐标及其运算(1)直线上向量的坐标给定一条直线l以及这条直线上一个e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得,此时,称为向量a的坐标.(2)直线上向量的运算与坐标的关系已知

2、直线上两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,则a+b的坐标为;ua+vb的坐标为;ua-vb的坐标为.(3)数轴上两点间的距离公式设A(x1),B(x2)是数轴上两点,则AB=|AB|=.(4)中点坐标公式设M(x)是线段AB的中点,则x=.4.平面向量的坐标(1)垂直向量:平面上两个非零向量a与b,如果它们所在的,我们就称向量a与b垂直,记作.规定零向量与任意向量都垂直.(2)正交分解:如果平面向量的基底e1,e2中,e1e2,就称这组基底为;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.(3)向量的坐标一般地,给定平面内两个向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,

3、y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).5.平面上向量的运算与坐标的关系假设平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a+b=;(2)a-b=;(3)如果为实数,那么a=;(4)如果,v是两个实数,那么a+vb=,a-vb=;(5)向量相等的充要条件为且;(6)模长公式为|a|=;(7)向量平行的坐标表示:ab.6.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(x1,y1),B(x2,y2),则(1)向量OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),向量AB=(x2-x1,y2-y1).(2)它们之间的距离:AB=|AB|=.(3)设AB的中点M(x,y),

4、则x=,y=.1.已知ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则ABC的重心G的坐标为x1+x2+x33,y1+y2+y33.2.A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1),或(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1),或(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()(3)两个向量的终点

5、不同,则这两个向量的坐标一定不同.()(4)已知a,b是平面向量的一组基底,若实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2.()(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1x2=y1y2.()2.(2019全国2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2B.2C.52D.503.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=0,52,则c可用向量a,b表示为()A.12a+bB.-12a-bC.32a+12bD.32a-12b4.(2018全国3,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+

6、b),则=.5.(2020北京海淀区调研)在ABC中,D为三角形所在平面内一点,且AD=13AB+12AC.延长AD交BC于点E,若AE=AB+AC,则-的值是.关键能力学案突破考点共线向量基本定理的应用【例1】设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.变式发散1若将本例(1)中“BC=2a+8b”改为“BC=a+mb”,则m为何值时,A,B,D三点共线?变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解题心得提醒证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.对

7、点训练1(1)在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对(2)已知O为ABC内一点,且AO=12(OB+OC),AD=tAC,若B,O,D三点共线,则t=()A.14B.13C.12D.23考点平面向量基本定理及其应用【例2】(1)(2020河南郑州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,BC=3EC,F为AE的中点,则BF=()A.23AB-13ADB.13AB-23ADC.-23AB+13ADD.-13AB+23AD(2)(多选)(2020山东聊城一中模

8、考)在梯形ABCD中,ABCD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点,AC与BD交于点M,设AB=a,AD=b,则下列结论正确的是()A.AC=12a+bB.BC=-12a+bC.BM=-13a+23bD.EF=-14a+b解题心得平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘向量.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.对点训练2(1)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M

9、,若AB=2AE,AD=3AF,AM=AB-AC(,R),则52-=()A.-12B.1C.32D.-3(2)在下列向量组中,可以把向量a=(2,3)表示成e1+e2(,R)的是()A.e1=(0,0),e2=(2,1)B.e1=(3,4),e2=(6,8)C.e1=(-1,2),e2=(3,-2)D.e1=(1,-3),e2=(-1,3)(3)设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底a,b的线性组合,即e1+e2=.考点平面向量的坐标化及运算【例3】(1)已知M(3,-2),N(-5,-1),且MP=12MN,则点P的坐标为()

10、A.(-8,1)B.-1,-32C.1,32D.(8,-1)(2)如图,在直角梯形ABCD中,ABDC,ADDC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=CE+DB(,R),则+的值为()A.65B.85C.2D.83解题心得求解平面向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.(2)巧借方程思想求坐标平面向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.(3)

11、妙用待定系数法求系数利用平面向量坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.对点训练3(1)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,则向量OB的坐标是.(2)已知在RtABC中,BAC=90,AB=1,AC=2,D是ABC内一点,且DAB=60,设AD=AB+AC(,R),则=()A.233B.33C.3D.23考点平面向量共线的坐标表示(多考向探究)考向1利用向量共线求向量或点的坐标【例4】已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.考向2利用向量共

12、线求参数【例5】已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-3b共线,则mn=.解题心得平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量.对点训练4(1)设向量OA=(1,-2),OB=(2m,-1),OC=(-2n,0),m,nR,O为坐标原点,

13、若A,B,C三点共线,则m+n的最大值为()A.-3B.-2C.2D.3(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为.素养解读最近几年的高考试题中,很多题目都是以向量知识为背景,以共线向量为载体的向量分解与合成问题.以共线向量基本定理为“数”和“形”的纽带,旨在考查学生分析问题的能力,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.点O是直线l外一点,点A,B,P是直线l上任意三点,求证:存在实数t,使得OP关于基底OA,OB的分析式为OP=(1-t)OA+tOB.反之,若OP=(1-t)OA+tOB,则A,P,B三点共线.

14、附:共线定理已知PA,PB为平面内两个不共线的向量,设PC=xPA+yPB,则A,B,C三点共线的充要条件为x+y=1.类型一感受平面内三点共线的结论在解题中的简明快捷【例1】在ABC中,AN=13NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+211AC,则实数m=.答案311解析AN=13NC,AN=14AC.B,P,N三点共线,AP=mAB+(1-m)AN.又AP=mAB+811AN,m=311.解题心得共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上,那么用其中两个向量表示另一个向量时,等式左边系数之和等于右边系数之和.对点训练1在ABC中,点D在边AB上,CD平分ACB,若CB=a,CA=b,|

15、a|=1,|b|=2,则CD=()A.13a+23bB.23a+13bC.35a+45bD.45a+35b类型二感受共线向量数、形二重性在平面几何探究中的独特魅力【例2】在平行四边形OACB中,BD=13BC,OD与BA相交于E,求证:BE=14BA.证明如图,设E是线段BA上的一点,且BE=14BA,只需证E,E重合即可,设OA=a,OB=b,则BD=13a,OD=b+13a.OE=OB+BE=b+14BA=b+14(a-b)=14(a+3b)=34b+13a=34OD,O,E,D三点共线,E,E重合,BE=14BA.解题心得将平面几何中的有向线段转化为平面向量应用平面向量基本定理分解推理三

16、点共线转化为几何关系证明成立.对点训练2如图,在ABC中,M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求APPM的值.类型三感受共线向量在探求分量系数满足条件时的动态思维【例3】如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D,若OC=mOA+nOB,则m+n的取值范围是.答案(-1,0)解析由点D是圆O外的一点,可设BD=BA(1),则OD=OB+BD=OB+BA=OA+(1-)OB.因为C,O,D三点共线,令OD=-OC(1).所以OC=-OA-1-OB(1,1).因为OC=mOA+nOB,所以m=-,n=-1-,所以m+n=-1-=-1(-1,0).解题心得结合图像构造三点共线列出向量条件用共起点的向量表示向量应用参数求范围.