2022高考数学文人教A版一轮复习学案：指点迷津（二）　求曲线轨迹方程的方法 WORD版含解析.docx

1、指点迷津(二)求曲线轨迹方程的方法曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程.(3)代入法(相关点法)题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点的关系,用所求表示已知,即x0=f(x,

2、y),y0=g(x,y),将x0,y0代入已知曲线即得所求.(4)参数法:引入参数t,求出动点(x,y)与参数t之间的关系x=f(t),y=g(t),消去参数即得所求轨迹方程.(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.一、直接法求轨迹方程【例1】已知ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,22),定点P(1,1).(1)求ABC外接圆的标准方程;(2)若过定点P的直线与ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.解(1)由题意得AC的中点坐标为(0,2),AB的中点坐标为12,32,kAC=2,kAB=1,故AC中垂线的斜率

3、为-22,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-2=-22x,AB的中垂线的方程为y-32=-x-12.由y-32=-x-12,y-2=-22x,得x=2,y=0,所以ABC的外接圆的圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0).由MNMP,得NMPM=0,所以(x-2,y)(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,所以弦EF中点的轨迹方程为x-322+y-122=12.方法总结直接法求轨迹的方法和注意问题(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量

4、的等量关系,则可用直接法,其一般步骤是:设点列式化简检验.求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.(2)若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.对点训练1已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为C,若过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.二、定义法求轨迹方程【例2】已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x

5、,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.解(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.(2)L上的点与点M(x,y)的距离的最小值是点M到直线y=-1的距离,因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原

6、点的抛物线,而p2=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.方法总结定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.对点训练2如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.(1)PAB的周长为10;(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心);(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).三、代入法(相关点法)求

7、轨迹方程【例3】如图所示,抛物线E:y2=2px(p0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)由(1)知抛物线E:y2=2x.设Cy122,y1,Dy222,y2,y10,y20,切线l1的斜率为k,则切线l1:y-y1=kx-y122,代入y2=2x,得ky2-2y+2y1-ky12=0,由=0,解得k=

8、1y1,所以l1的方程为y=1y1x+y12,同理l2的方程为y=1y2x+y22.联立y=1y1x+y12,y=1y2x+y22,解得x=y1y22,y=y1+y22.易知CD的方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足x02+y02=8,x02,22,由y2=2x,x0x+y0y=8,得x0y2+2y0y-16=0,则y1+y2=-2y0x0,y1y2=-16x0,代入x=y1y22,y=y1+y22,可得M(x,y)满足x=-8x0,y=-y0x0,即x0=-8x,y0=8yx,代入x02+y02=8,化简得x28-y2=1,因为x02,22,所以x-4,-22.所以动点M的轨迹方程为

9、x28-y2=1,x-4,-22.方法总结对点训练3如图,已知P是椭圆x24+y2=1上一点,PMx轴于点M.若PN=NM.(1)求点N的轨迹方程;(2)当点N的轨迹为圆时,求的值.四、参数法求轨迹方程【例4】点A和点B是抛物线y2=4px(p0)上除原点以外的两个动点,已知OAOB,OMAB于点M,求点M的轨迹方程.解当AB所在直线的斜率不存在时,M为一定点,坐标为(4p,0).当AB所在直线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b(k0),由y=kx+b,y2=4px,得k2x2+2(kb-2p)x+b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(2p-kb)k2,x1x2

10、=b2k2.所以y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=4pbk.由OAOB,知x1x2+y1y2=0,则b=-4pk.设点M(x,y),由OMAB,知yxk=-1,y0,则k=-xy.由及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y0).又点(4p,0)的坐标满足x2+y2-4px=0,所以点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0.方法总结应用参数法求轨迹方程的程序:选参求参消参.注意消参后曲线的范围是否发生变化.对点训练4在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(1,0),B(2,2),若点C满足OC=OA+t(OB-OA),其中tR,则点C的轨

11、迹方程是.五、交轨法求轨迹方程【例5】(2020东北三省四市一模)如图,已知椭圆C:x218+y29=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与B1,B2重合,点N满足NB1MB1,NB2MB2.(1)求动点N的轨迹方程;(2)求四边形MB2NB1面积的最大值.解(1)(方法1)设点N(x,y),M(x0,y0)(x00).由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),所以kMB1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.因为MB1NB1,MB2NB2,所以直线NB1:y+3=-x0y0+3x,直线NB2:y-3=-x0y0-3x,得y2-9=x02y02-9x2.又x0218+y

12、029=1,所以y2-9=181-y029y02-9x2=-2x2,所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x0).(方法2)设点N(x,y),M(x0,y0)(x00).由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),所以kMB1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.因为MB1NB1,MB2NB2,所以直线NB1:y+3=-x0y0+3x,直线NB2:y-3=-x0y0-3x,联立,解得x=y02-9x0,y=-y0.又x0218+y029=1,所以x=-x02,故x0=-2x,y0=-y,代入x0218+y029=1,得y29+x292=1.所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x

13、0).(方法3)设直线MB1:y=kx-3(k0),则直线NB1:y=-1kx-3.直线MB1与椭圆C:x218+y29=1的交点M的坐标为12k2k2+1,6k2-32k2+1.则直线MB2的斜率为kMB2=6k2-32k2+1-312k2k2+1=-12k.所以直线NB2:y=2kx+3.由得点N的轨迹方程为y29+x292=1(x0).(2)由(1)(方法3)得直线NB1:y=-1kx-3,直线NB2:y=2kx+3.联立,解得x=-6k2k2+1,即xN=-6k2k2+1,又xm=12k2k2+1,故四边形MB2NB1的面积S=12|B1B2|(|xM|+|xN|)=312|k|2k2

14、+1+6|k|2k2+1=54|k|2k2+1=542|k|+1|k|2722,当且仅当|k|=22时,S取得最大值2722.方法总结交轨法一般根据动点在两条动直线上,利用动直线方程,消去不必要的参数得到动点的轨迹方程,注意通过几何意义确定曲线的范围.对点训练5(2020河北唐山一模,文20)已知P是x轴上的动点(异于原点O),点Q在圆O:x2+y2=4上,且|PQ|=2.设线段PQ的中点为M.(1)当直线PQ与圆O相切于点Q,且点Q在第一象限时,求直线OM的斜率;(2)当点P移动时,求点M的轨迹方程.指点迷津(二)求曲线轨迹方程的方法对点训练1解(1)由|MP|=5|MQ|,得(x-26)2

15、+(y-1)2=5(x-2)2+(y-1)2,化简得x2+y2-2x-2y-23=0,所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆.(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,此时所截得的线段的长度为252-32=8,所以l:x=-2符合题意.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,圆心(1,1)到l的距离d=|3k+2|k2+1.由题意,得|3k+2|k2+12+42=52,解得k=512,所以直线l的方程为512x-y+236=0,即5x-12y+46=0.综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+

16、46=0.对点训练2解(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=64=|AB|,故点P轨迹为椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=5.又点P不在x轴上,因此所求轨迹方程为x29+y25=1(y0).(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=12,c=2,b=152,因此所求轨迹方程为4x2-415y2=1x12.(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故所求轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此所求轨迹方程为y2

17、=-8x.对点训练3解(1)设点P(x1,y1),N(x,y),则M的坐标为(x1,0),且x=x1,所以PN=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),NM=(x1-x,-y)=(0,-y),由PN=NM得(0,y-y1)=(0,-y).所以y-y1=-y,即y1=(1+)y.因为点P(x1,y1)在椭圆x24+y2=1上,所以x124+y12=1,所以x24+(1+)2y2=1,故x24+(1+)2y2=1为所求的N点的轨迹方程.(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+)2=14,解得=-12或=-32.故当=-12或=-32时,N点的轨迹是圆.对点训练4y=2x-2设点C(x,y),则OC=(

18、x,y),OA+t(OB-OA)=(1+t,2t),所以x=t+1,y=2t,消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.对点训练5解(1)连接OQ,直线PQ与圆O相切于点Q,则OQPQ.又|OQ|=|PQ|=2,则|OP|=22.又点Q在第一象限,得P(22,0),Q(2,2).由M为PQ的中点,得M322,22,所以直线OM的斜率为13.(2)设M(x,y)(x0),P(xP,yP),Q(xQ,yQ).由|OQ|=|PQ|=2,可得xP=2xQ.由M为PQ的中点,得x=xP+xQ2=3xQ2,所以xQ=2x3,xP=43x,则P4x3,0,Q2x3,2y,把Q2x3,2y代入x2+y2=4,整理得x29+y2=1,所以点M的轨迹方程为x29+y2=1(x0).