河北省邯郸市2011届高三第一次模拟考试数学（理）参考答案.doc

1、2011邯郸市一模考试理科数学 参考答案及评分标准 2011.3.19一、选择题：DBCAC ABBDA DA12题 解析：（方法一）方程即，注意到，进行换元，令则原方程可化为，其中。原方程再化为此时把方程看作关于的二元一次方程，即点的直线方程。根据直线上的任一点到原点的距离的最小值为原点到直线的距离可得：，两边平方得而其中，由函数的单调性可知，故选A（方法二）方程即，注意到，进行换元，令则原方程可化为，其中。原问题等价于关于方程在上有解，由函数的图象和性质知有5种情况：（1） 方程的两根均大于等于2，此时可得，对照选项只要注意到第三个条件，就知本题答案不在这种情况里.（2） 方程两根均小于等

2、于-2，此时可得，同上对照选项只要注意到第三个条件，就知本题答案也不在这种情况里.（3） 方程的两根一个大于等于2，另一个小于等于-2，此时可得，由线性规划知识可得点所在的区域如图阴影部分所示，对照选项知这种情况里也没有所选答案. -2（4） 方程有两个根一个大于等于2，另一个大于-2小于2，此时有，同上点所表示的区域为下图，易求原点到直线距离为，所以的最小值为，-2（5）方程有两个根一个小于等于-2，另一个大于等于-2小于2，此时有，此种情况同上一种.二、填空题: 13. 14. 15. 16.三、解答题：17解：（）由余弦定理知，, , 2分， ，. 4分（）由正弦定理得 ,7分, 8分，

3、. b+c的取值范围为 10分18解：（）设“每个社区都有同学选择”为事件A.每名同学都有3种选择，4名同学的选择共有种等可能的情况. 事件A所包含的等可能事件的个数为,所以， , 即每个社区都有同学选择的概率为. 4分（）设“一名同学选择甲社区”为事件B,则.4人中选择甲社区的人数可看作4次独立重复试验中事件B发生的次数，因此，随机变量服从二项分布.可取的值为0，1，2，3，4. 6分， . 8分的分布列为:01234的期望为 12分19解：（）连结AC1交A1C于点G，连结DG，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，AG=GC1，AD=DB，DG/BC1 , 2分

4、DG平面A1DC，BC1平面A1DC，BC1/平面A1DC. 4分 （II）解法一：易知在中可求，6分过D作DEAC交AC于E，过点D作DFA1C交A1C于F，连结EF.平面ABC平面ACC1A1，DE平面ABC，平面ABC平面ACC1A1=AC，DE平面ACC1A1，EF是DF在平面ACC1A1内的射影。EFA1C，DFE是二面角DA1CA的平面角， 9分在直角三角形ADC中， . 又易知，所以.在直角三角形中，. 所以二面角DA1CA的大小为12分 解法二：易知在中可求，过点A作AOBC交BC于O，过点O作OEBC交B1C1于E .因为平面ABC平面CBB1C1所以AO平面CBB1C1，分

5、别以OB、OE、OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.6分因为BC=1，AA1=， ABC是等边三角形，所以O为BC的中点，则 8分设平面A1DC的法向量为则取 可求平面ACA1的一个法向量为. 10分设二面角DA1CA的大小为，因为向量所成的角与所求二面角的大小相等，则 所以二面角DA1CA的大小为12分20解：（）的导数由题意知,即 2分令解得令解得从而在内单调递减，在内单调递增.所以，当时，取得最小值1. 4分 （）解：因为不等式的解集为P，且所以对于任意，不等式恒成立.6分由，得.设，则.（1）若，不等式显然成立. 8分（2）若，则.当,即时，在上单调递增，此时，

6、不等式成立. 10分当,即时，在上单调递减，此时，不等式不恒成立.因此，实数a的取值范围是. 12分21.解：（）依题意，可得，从而，故所求双曲线的方程为 . 4分（）解法一：设，由，消去x可得，因为直线与双曲线有两个交点，故，由韦达定理，得 6分两式相除，得 ,所以，而C点的坐标为，故直线AC的斜率为， 8分所以AC的方程为，整理可得, 10分故直线AC恒过点 . 12分解法二：当时，直线方程为，将与联立求得点或，点或,求得直线的方程为或，由此判断直线过定点. 6分就一般情况证明如下：由，消去x可得，依题意，设，由韦达定理，得8分点，., 10分,所以三点共线，直线AC过定点 . 12分22解:（），. 1分由,得.两式相减得：,即. 3分数列是首项为1，公差为3的等差数列,. 5分（）由，得，().由,知.7分显然n=1时上式也成立.又，设，当时，有，当时，有，于是猜想 . 8分下面用数学归纳法证明.当时,由上面的证明知猜想成立.假设时成立，即成立，则时，左边=，右边=，由成立，即时成立.综上所述，,即对任何正整数都成立. 12分