新教材2021-2022学年人教A版数学必修第二册学案：8-6-3　第二课时　平面与平面垂直的性质 WORD版含答案.doc

1、第二课时平面与平面垂直的性质新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系直观想象2.归纳出平面与平面垂直的性质定理逻辑推理(1)在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直；(2)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.问题通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？知识点平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言，l，a，ala图形语言对面面垂直的性质定

2、理的再理解(1)定理成立的条件有三个：两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直；(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直 如果，则内的直线必垂直于内的无数条直线，正确吗？提示：正确1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若平面平面，则平面内所有直线都垂直于平面.()(2)若平面平面，则平面内一定存在直线平行于平面.()(3)若平面不垂直于平面，则平面内一定不存在直线垂直于平面.()答案：(1)(2)(3)2平面平面，l，n，nl，直线m，则直线m与n的位置关系是_解析：因为，l

3、，n，nl，所以n.又m，所以mn.答案：平行平面与平面垂直性质定理的应用例1(链接教科书第160页例9，例10)如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB60且边长为a的菱形PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点求证：平面PBG平面PAD.证明四边形ABCD是菱形，DAB60，ABD是正三角形G为AD边的中点，BGAD.平面PAD平面ABCD，BG平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.BG平面PBG，平面PBG平面PAD.应用面面垂直性质定理要注意的问题应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线过其中一个平面内一

4、点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直 跟踪训练1.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1，求证：CF平面BDE.证明：如图，设ACBDG，连接EG，FG.由AB易知CG1，则EFCGCE.又EFCG，所以四边形CEFG为菱形，所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF，所以BDCF.又BDEGG，所以CF平面BDE.2.如图，在平行四边形ABCD中，BD2，AB2，AD4，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.求

5、证：ABDE.证明：在ABD中，AB2，AD4，BD2，AB2BD2AD2，ABBD.平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD.DE平面EBD，ABDE.垂直关系的转化例2如图，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，点E为垂足(1)求证：PA平面ABC；(2)当点E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形证明(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DFAC于点F.平面PAC平面ABC，且交线为AC，DF平面PAC.PA平面PAC，DFPA.作DGAB于点G，同理可证DGPA.DG，DF都在平面ABC内，且DGDFD，PA平面ABC.(

6、2)如图，连接BE并延长交PC于点H.点E是PBC的垂心，PCBE.又AE平面PBC，PC平面PBC，PCAE.AEBEE，PC平面ABE.又AB平面ABE，PCAB.由(1)知PA平面ABC，又AB平面ABC，PAAB.PAPCP，AB平面PAC.又AC平面PAC，ABAC，即ABC是直角三角形垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下： 跟踪训练如图，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2.将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到三棱锥DABC，

7、如图所示求证：BC平面ACD.证明：在题图中，ADC90，ADCD2，AC2.又CDAB，AB4，BC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC.法一：在题图中取AC的中点O，连接OD(图略)，则DOAC.平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，OD平面ACD，OD平面ABC，ODBC.又ACBC，ACODO，BC平面ACD.法二：平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BCAC，BC平面ACD.1已知平面平面，直线l平面，则l与的位置关系是()A垂直B平行Cl D平行或l解析：选D如图l或l.故选D.2如图所示，三棱锥PABC中，侧面PAB底面ABC，且PAPBP

8、C，则ABC是_三角形解析：设P在平面ABC上的射影为O，平面PAB底面ABC，平面PAB平面ABCAB，OAB.PAPBPC，OAOBOC，O是ABC的外心，且是AB的中点，ABC是直角三角形答案：直角3.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，平面A1BC1平面BCC1B1.证明：平面AB1C平面A1BC1.证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，因为BCCC1，所以四边形BCC1B1为菱形，所以B1CBC1，又平面A1BC1平面BCC1B1，且平面A1BC1平面BCC1B1BC1，B1C平面BCC1B1，所以B1C平面A1BC1，因为B1C平面AB1C，所以平面AB1C平面A1BC1.