新教材2021-2022学年数学人教A版必修第一册学案：5-1-2　弧度制 WORD版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家51.2弧度制【素养目标】1掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数(数学运算)2掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用(数学运算)3根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性(逻辑推理)【学法解读】本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借180，学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养必备知识探新知基础知识知识点1 度量角的两种制度(1)角度制定义：用度作为单位来度量角的单位制1度的角：周角的！为1度角，记作1.(2)弧度制定义：以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角：长

2、度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角表示方法：1弧度记作1 rad.思考1：圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是唯一的确定的？提示：一定大小的圆心角的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关知识点2 弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角 所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是|！.思考2：(1)建立弧度制的意义是什么？(2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？提示：(1)在弧度制下，角的集合与实数R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度

3、数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(2)角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如k360(kZ)，2k60(kZ)等写法都是不规范的，应写为k36030(kZ)，2k(kZ)知识点3 弧度与角度的换算公式(1)周角的弧度数是2，而在角度制下的度数是360，于是3602 rad，即根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad()，nn rad.(2)常用特殊角的弧度数0304560901201351501802703600！2(3)角的概念推广后，在弧度制下，

4、角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应思考3：(1)角度制与弧度制在进制上有何区别？(2)弧度数与角度数之间有何等量关系？提示：(1)角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数(2)弧度数角度数；角度数弧度数()知识点4 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式(1)弧长公式在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为，则|，变形可得l|r，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度(2)扇形面积公式由圆心角为1 rad的扇形面积为r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为 rad

5、，故其面积为Slr，将l|r代入上式可得Slr|r2，此公式称为扇形面积公式思考4：(1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式？(2)弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？提示：(1)|；R；|；R.(2)由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，对于，R，l，S四个量，可“知二求二”这实质上是方程思想的应用基础自测1下列说法中正确的是(D)A1弧度是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径长的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位解析利用弧度的定义及角度的定义判断.选项结论理由A错误长度

6、等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度是角的一种度量单位，不是长度的度量单位.B错误C错误D正确2300化为弧度是(B)ABCD3已知半径为10 cm的圆上，有一条弧的长是40 cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是4.4如果2，则的终边所在的象限为(C)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析因为2，所以的终边在第三象限5与60终边相同的角可表示为(D)Ak360(kZ)B2k60(kZ)C2k36060(kZ)D2k(kZ)解析60化为弧度制等于，与终边相同的角可表示为2k(kZ)关键能力攻重难题型探究题型一角度与弧度的换算及应用例1 将下列角度与弧度进行互化：(1)20；(2)8

7、00；(3)；(4).解析(1)2020；(2)800800；(3)()105；(4)()144.归纳提升角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180 rad，充分利用1rad和1 rad()进行换算(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数n，则 rad()；nn.【对点练习】 设1570、2750、1、2.(1)将1、2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将1、2用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限解析(1)180 rad，570，122，275022.1在第二象限，2在第一象限(2)1180108，260，1在第二象限，2在第四象限题型二用弧度制表示给定区域角的集合

8、例2用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合分析本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界解析(1)225角的终边可以看作是135角的终边，化为弧度，即，60角的终边即的终边，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为|2k2k，kZ(2)与(1)类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为|2k2k，kZ|2k2k，kZ|nn，nZ归纳提升解答本题时常犯以下三种错误(1)弧度与角度混用(2)终边在同一条直线上的角未合并(3)将图中所求的角的集合错误地写成|2k2k，kZ，这是一个空集对于区域角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正半轴，若区间跨越

9、x轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示，“后面”的角用正角表示；若区间不跨越x轴的正半轴，则无须这样写【对点练习】 用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合 (不包括边界)，如图所示解析(1)330和60的终边分别对应和，所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为|2k2k，kZ(2)210和135的终边分别对应和，所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为|2k2k，kZ(3)30，210，所表示的区域由两部分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为|2k2k，kZ|2k2k，kZ|2k2k，k

10、Z|(2k1)(2k1)，kZ|nn，nZ题型三弧长公式和扇形面积公式的应用例3(2020东北师大附中单元测试)已知扇形的周长是8 cm，面积为3 cm2，那么这个扇形的圆心角的弧度数(圆心角为正)为！或6.解析设这个扇形的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为，由题意得解得或是扇形的圆心角的弧度数，02.当r3，l2时，符合题意；当r1，l6时，6，符合题意综上所述，这个扇形的圆心角的弧度数为或6.归纳提升1.运用扇形弧长及面积公式时应注意的问题(1)由扇形的弧长及面积公式可知，对于，r，l，S中“知二求二”的问题，其实质上是方程思想的运用(2)运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下

11、的公式要简单得多若角是以“度”为单位的，则必须先将其化成弧度，再计算(3)在运用公式时，还应熟练掌握下面几个公式lr，r；Sr2，.2解决扇形的周长或面积的最值问题的关键是运用函数思想，把要求的最值问题转化为求函数的最值问题即可【对点练习】 (1)一个扇形的面积为15，弧长为5，则这个扇形的圆心角为(D)ABCD(2)(2021厦门期末)若一扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，则其圆心角(0)的弧度数为(C)ABCD2解析(1)设扇形的圆心角为，半径为r，则解得故扇形的圆心角为.(2)设圆的直径的2r，则圆内接正方形的边长为r.扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，扇子的弧长等于r，

12、圆心角(0)的弧度数为.误区警示角度和弧度混用致错例4 求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合错解一|k360330k36060，kZ错解二|2k302k60，kZ错因分析错解一中，若给k赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制正解|2k2k，kZ，也可写成|k36030k36060，kZ方法点拨同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用学科素养数学文化题的功能是传播数学文化，所以一般来说难度较小，解决此类问题的关键是理解题意，按照题中的方法解决问题例5 九章算术是我国古代数学成就的

13、杰出代表作，其中方田给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积(弦矢矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于4 m的弧田，按照上述经验公式，计算所得弧田面积约是(B)A6 m2B9 m2C12 m2D15 m2解析如图，由题意得AOB，OA4 m，在RtAOD中，AOD，DAO，ODAO42(m)，矢422(m)由ADAOsin42(m)，得弦2AD224(m)，弧田面积(弦矢矢2)(4222)429(m2)故选B课堂检测固双基1在不等圆中1 rad的圆心角所对的(D)A弦长相等B弧长相等C弦长等于所在圆的

14、半径D弧长等于所在圆的半径解析根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1 rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D2转化为角度是(B)A300B600C900D1 200解析1 rad()，()600.3与1角终边相同的角的集合是(C)A|k360，kZB|k360，kZC|2k，kZD|2k，kZ4已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是(C)AB CD解析设扇形圆心角为，则SR2，.5九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：现有扇形田，下周长(弧长)20步，径长(两端半径的和)24步，则该扇形田的面积为120平方步解析由题意： Sl(2r)lr2012120.- 10 - 版权所有高考资源网