新教材2021-2022学年湘教版数学必修第一册学案：4-1-2　无理数指数幂 WORD版含答案.doc

1、41.2无理数指数幂牛顿(Newton 16431727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，写成a2，a3，a4，所以可将，写成a，a，a，将，写成a1，a2，a3，”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程问题你能归纳出指数幂的运算性质吗？知识点一有理指数幂的基本不等式1(1)对任意的有理数r和数a，若a1，则ar1；若a1，则ar1，则ar1；若a1和两有理数rs，有ars1，即aras；(2)对任意的正数as，有ars1，即aras.对于任意的正有理数

2、，若0a1，a与1有怎样的关系提示：因为0a1，则a1，如若不然a1，则a1，与已知矛盾，故a1，又因为正有理数，即m为正整数，所以a0，u是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂在幂au表达式中，a叫作底数，u叫作指数，由此u可取任意实数2实数指数幂的基本不等式(1)对任意的正数u和正数a，若a1，则au1；若a1，则au1；(2)对任意的负数u和正数a，若a1，则au1.3实数指数幂的运算性质实数指数幂运算性质指数、底数取值范围arasarsr，sR，且a0(ar)sarsr，sR，且a0(ab)rarbrrR，且a0，b0如何理解无理数指数幂(1)无理数指

3、数幂通常用近似逼近的方法转化为有理数指数幂，即用无理数指数幂的不足近似值(逢数都舍)和过剩近似值(逢数进位)不断地逼近无理数指数幂的准确值具体方法是：先取无理数指数的两种近似值(不足近似值和过剩近似值)，然后计算无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值，这两个值可以无限逼近一个实数a(a0，是无理数)；(2)0的正无理数指数幂为0，0的负无理数指数幂没有意义 计算下列各式：(1)aa(a0)；(2)(2)；(3)428.解：(1)aaaa01.实数指数幂的化简与求值例1(链接教科书第98页例6)化简(式中各字母均为正数)：(1)(xy)；(2)4x3x (y)y；(3) .解(1)原式xyxy.(

4、2)原式12xy12y.(3)法一(从里向外化)：a.法二(从外向里化)：(aa)a.化简幂的一般原则和技巧(1)在进行幂和根式的化简时，一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行运算，达到化简和求值的目的；(2)化简指数幂的几个常用技巧如下：(ab0)；a，a(a使式子有意义)；“1”的代换，如1a1a，1aa等 跟踪训练化简：(1) (a0，b0)；(2)(a0且a1)解：(1)法一(由内向外化)：ab.法二(由外向内化)：ab.(2)原式aa0.条件求值问题例2已知aa，求下列各式的值

5、：(1)aa1；(2)a2a2.解(1)将aa两边平方，得aa125，即aa13.(2)将aa13两边平方，得a2a229，即a2a27.母题探究(变设问)在本例条件下，a2a2_解析：令ya2a2，两边平方，得y2a4a42(a2a2)2472445，y3，即a2a23.答案：3解决条件求值问题的一般方法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a0，b0)：(1)a2abb(ab)2；(2)ab

6、(ab)(ab)；(3)ab(ab)(aabb)；(4)ab(ab)(aabb) 跟踪训练已知x，y，求的值解：.因为x，y，所以原式248.幂运算基本不等式的应用例3设a0，b0，且ab，试比较aabb与abba的大小解aabbba.当ab0时，1，ab0，则1，于是aabbabba；当ba0时，01，ab1，于是aabbabba；综上所述，对于不相等的正数a，b，都有aabbabba.作商法，即判断商与1的大小关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小关系确定后必须对商式的分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤 跟踪训练已知a0，b0，证明 .证明：11.a0，b0，0，0，.1若a2x1，则等于()A21B22C21 D1解析：选Ca2xa2x11121.2设x，y是正数，且xyyx，y9x，求x的值解：xyyx，y9x，x9x(9x)x，(x9)x(9x)x，x99x.x89.x.