河北省隆化县存瑞中学2019届高三数学上学期期中试题理.doc

1、存瑞中学2018-2019学年度第一学期期中考试高三数学（理）试题（存瑞部）一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题中只有一项符合题目要求)1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B2.已知，为虚数单位，若为实数，则的值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A3.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ）A. 15 B. 16 C. 18

2、D. 21【答案】C4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B5.执行如图所示的的程序框图，则输出的( )A. 4 B. C. 5 D. 6【答案】B6.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A. 至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是 C. 第三季度平均收入为万元D. 利润最高的月份是月份【答案】D7.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“或作品获得一等奖”； 乙说:“作品获得一等奖”；丙说:“,两项作品未获得一等奖”； 丁说:

3、“作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）A. 作品 B. 作品 C. 作品 D. 作品8.某几何体三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C9.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若,则抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A10.若函数 满足 且的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 11.定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，。则的值为（）A. 2017 B. 1010 C. 1008 D. 2【答案】B12.已知双曲线 在左，右焦点分别为，以为圆心

4、，以为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于两点，且是等边三角形.则双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13.二项式展开式中的常数项为_【答案】14.若满足约束条件，则的取值范围是_【答案】15.已知向量与的夹角为，且，若，且,则实数的值为_【答案】16.数列的前项和为，若，则_【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.在中，内角所对的边分别为，且 .(1)求角的大小:(2)若点为的中点，且,求的值的值解：（1）在中，由正弦定理得 ，则，（2

5、）在中，由余弦定理得 ，在中，由余弦定理得 ， ，整理得，由正弦定理得18.如图，四棱锥中，底面为梯形，.是的中点，底面，在平面上的正投影为点，延长交于点.(1)求证：为中点；(2)若，在棱上确定一点，使得平面，并求出与面所成角的正弦值.解：(1)连结，是中点，四边形是平行四边形，平面，平面，在平面的正投影为，平面，又，平面，又，是的中点.(2)，平面，以为原点，分别为的正方向建立空间直角坐标系，是的外心，是的重心，设，又是平面的一个法向量，且平面，解得，设是平面的法向量，即，取，则，直线与平面所成角的正弦值为.19.从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位: ) 组成一个样本，且

6、将纤维长度超过315的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图:(1)根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）；(2)从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，求其中恰有3根一级棉花的概率；(3)用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根，求其中一级棉花根数X的分布列及数学期望解：(1) 1.乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度(或:乙种棉花的纤维长度普遍大于甲种棉花的纤维长度).2.甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散.(或:乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中(稳定)，甲种棉花的纤维长度的分散程度比乙种棉花

7、的纤维长度的分散程度更大.)3.甲种棉花的纤维长度的中位数为307.乙种棉花的纤维长度的中位数为318.4.乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近).甲种棉花的纤维长度除一个特殊值(352) 外，也大致对称，其分布较均匀.(2) 记事件为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，其中恰有3根一级棉花”.则 (3) 由题意知，的可能取值是0,1,2,其相应的概率为, ,所以的分布列为012 20.已知椭圆 的焦点坐标分別为,为椭圆上一点，满足且(1) 求椭圆的标准方程:(2) 设直线与椭圆交于两点，点，若，求的取值范围.解：（1）由题意设，则，又，在 中，由余弦定理得， ，

8、解得，所求椭圆方程为（2）联立方程，消去得 ，则 ，且设的中心为，则 ，,即， ，解得把代入得，整理得，即解得21.已知函数，曲线在点处的切线方程为(1) 求的值；(2) 证明: .【答案】（1）；（2）见解析详解：（1）解：，由题意有，解得（2）证明：（方法一）由（1）知，.设则只需证明 ，设则， 在上单调递增，使得且当时，当时，当时，单调递减当时，单调递增 ，由，得， ，设， 当时，在单调递减， ，因此（方法二）先证当时， ，即证设，则，且， 在单调递增，在单调递增，则当时，（也可直接分析 显然成立）再证设，则，令，得且当时，单调递减；当时，单调递增. ，即又，22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），与交于两点.（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）若成等比数列，求的值.解：（1）由，两边同乘，得化为普通方程为将消去参数，得直线的普通方程为（2）把代入，整理得 ，由 ，得或，,成等比数列，由的几何意义得，即 ，即，解得又，