2023届高考二轮总复习试题（适用于老高考新教材） 数学 考点突破练8　空间向量与空间角、距离 WORD版含解析.docx

1、考点突破练8空间向量与空间角、距离1.(2022江苏徐州模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,AB=3,BC=5.(1)求直线A1B与直线AC1所成角的余弦值;(2)若在线段BC1上存在一点D,且BDBC1=t,t0,1,当ADA1B时,求t的值.2.(2022天津河西二模)如图所示,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为直角梯形,ADBC,ABAD,AE底面ABCD,AECF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.(1)求证:BF平面ADE;(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值;(3)求点D到直线BF的距离.3.(2022江苏苏锡常镇四

2、市一模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,AA1=AB=3,D,E分别为棱BC,B1C1上的点,且BDBC=C1EC1B1=t(0t1).(1)若t=12,求证:AD平面A1EB;(2)若二面角C1-AD-C的大小为3,求实数t的值.4.(2022河北保定一模)如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=AB=CD=1,BCD=60,现将平面DAC沿AC折起至平面PAC,使得PB=2.(1)证明:ABPC;(2)求二面角A-PC-B的余弦值.5.(2022辽宁锦州一模)如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是菱形,AB=1,SC=233,三棱锥

3、S-BCD是正三棱锥,E,F分别为线段SA,SC的中点.(1)求证:BD平面SAC;(2)求二面角E-BF-D的余弦值;(3)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行,求出直线SA与平面BDF的距离;如果不平行,请说明理由.6.(2022山东青岛模拟)如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC平面ABC,PAC为正三角形,E,F分别是PC,PB上的动点.(1)求证:BCAE;(2)若E,F分别是线段PC,PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为32,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l,点Q为直线l上的动点,求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.考点突破练8空间向量

4、与空间角、距离1.解 (1)在ABC中,因为AC2+AB2=BC2,所以ACAB.又AA1平面ABC,所以AA1,AC,AB两两垂直.以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),A(0,0,0),所以AC1=(4,0,4),BA1=(0,-3,4).设直线A1B与直线AC1所成角为(090),则cos =|AC1BA1|AC1|BA1|=16425=225,即直线A1B与直线AC1所成角的余弦值为225.(2)依题意BD=tBC1,t0,1.因为BC1=(4,-3,4),A1B=(0,3,-4),AB=(0,3,

5、0),所以AD=AB+BD=AB+tBC1=(4t,3-3t,4t).因为ADA1B,则ADA1B=4t0+3(3-3t)-44t=0,解得t=925.2.(1)证明 AECF,AE平面BFC,CF平面BFC,AE平面BCF.ADBC,AD平面BCF,BC平面BCF,AD平面BFC.又AD,AE平面ADE,ADAE=A,平面ADE平面BFC.BF平面BFC,BF平面ADE.(2)解 以A为原点,AB,AD,AE分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),E(0,0,2),F(2,2,1),则BE=(-2,0,2),DF=(2

6、,-1,1),cos=BEDF|BE|DF|=-2226=-36,直线BE与直线DF所成角的余弦值为36.(3)解 由(2)可知BF=(0,2,1),DF=(2,-1,1),cos=BFDF|BF|DF|=-156=-130,sin=1-cos2=2930,点D到直线BF的距离为|DF|sin=62930=295=1455.3.(1)证明 当t=12时,D,E分别为棱BC,B1C1的中点,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,连接DE(图略),则DEAA1,DE=AA1,所以四边形DEA1A是平行四边形,所以ADA1E.又因为AD平面A1EB,A1E平面A1EB,所以AD平面A1EB.(2)解 (

7、方法一)如图所示,在平面ABC内,过点C作AD的垂线,垂足为H,连接C1H,则C1HC为二面角C1-AD-C的平面角,即C1HC=3.在RtC1HC中,C1C=3,所以CH=3.在RtCHA中,CH=3,AC=3,所以sinCAH=CHAC=3322.又因为CAH为锐角,所以cosCAH=63,且0CAH4,所以点H在线段AD的延长线上.在CDA中,sinCDH=sin4+CAH=6+236,CD=CHsinCDH=6-32,所以t=BDBC=32-(6-32)32=2-2.(方法二)由题可知AA1平面ABC,BAC=90,以AB,AC,AA1为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标

8、系,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),C1(0,3,3),所以AB=(3,0,0),AC1=(0,3,3),BC=(-3,3,0),BD=tBC=(-3t,3t,0),所以AD=AB+BD=(3-3t,3t,0).设平面AC1D的一个法向量为n1=(x,y,z),则n1AC1=0,n1AD=0,即3y+3z=0,3(1-t)x+3ty=0,令y=t-1,则x=t,z=1-t,故n1=(t,t-1,1-t).由题得平面ADC的一个法向量为n2=(0,0,1).因为二面角C1-AD-C的大小为3,所以n1n2|n1|n2|=cos3=12,即1-t3t2-4t+2=12,得t

9、2-4t+2=0.又因为0t1,所以t=2-2.4.(1)证明 在等腰梯形ABCD中,过点A作AEBC于点E,过点D作DFBC于点F.因为在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=AB=CD=1,BCD=60,所以BE=CF=12CD=12,EF=AD=1,AE=DF=32,所以AC=BD=322+322=3,BC=2,所以BD2+CD2=BC2,所以BDCD,同理ABAC.又因为AP=AB=1,PB=2,所以AP2+AB2=PB2,所以ABAP.又ACAP=A,AC,AP平面ACP,所以AB平面ACP.因为PC平面ACP,所以ABPC.(2)解 取线段AC的中点为M,线段BC的中点为N,则MNA

10、B.因为AB平面ACP,所以MN平面ACP.因为AC,PM平面ACP,所以MNAC,MNPM.因为PA=PC,线段AC的中点为M,所以PMAC,所以MN,MC,MP两两垂直.以M为原点,以MN所在直线为x轴,以MC所在直线为y轴,以MP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A0,-32,0,B1,-32,0,C0,32,0,P0,0,12,PC=0,32,-12,PB=1,-32,-12.由题得,平面APC的一个法向量为m=(1,0,0).设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),则nPC=32y-12z=0,nPB=x-32y-12z=0,令y=1,则x=3,z=3,则n=(3,

11、1,3),所以cos=mn|m|n|=317=217.因为二面角A-PC-B为锐角,所以二面角A-PC-B的余弦值为217.5.(1)证明 连接AC,交BD于点O,连接SO.因为四边形ABCD是菱形,所以O为AC,BD的中点,且BDAC.因为三棱锥S-BCD是正三棱锥,SB=SD,O为BD的中点,所以BDSO.又SOAC=O,SO,AC平面SAC,所以BD平面SAC.(2)解 作SH平面BCD于点H,则H为正三角形BCD的中心,H在线段OC上,且OH=13OC=1332=36,CH=23OC=33,SH=SC2-CH2=43-13=1.如图,以O为坐标原点,分别以OB,OC,HS的方向为x轴、

12、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A0,-32,0,B12,0,0,C0,32,0,D-12,0,0,S0,36,1,E0,-36,12,F0,33,12,所以BE=-12,-36,12,BF=-12,33,12,BD=(-1,0,0).设n1=(x1,y1,z1)是平面EBF的法向量,则n1BE=-12x1-36y1+12z1=0,n1BF=-12x1+33y1+12z1=0,取x1=1,则y1=0,z1=1,故n1=(1,0,1).设n2=(x2,y2,z2)是平面DBF的法向量,则n2BD=-x2=0,n2BF=-12x2+33y2+12z2=0,取y2=3,则x2=0,z2=-2

13、,故n2=(0,3,-2).所以cos=n1n2|n1|n2|=-227=-147.又因为二面角E-BF-D是锐角,所以二面角E-BF-D的余弦值为147.(3)解 直线SA与平面BDF平行.理由如下:连接OF,由(1)知O为线段AC的中点,且F为线段SC的中点,所以OFSA.又因为SA平面BDF,OF平面BDF,所以直线SA平面BDF.(或者用向量法判断直线SA与平面BDF平行:由(2)知n2=(0,3,-2)是平面BDF的一个法向量,SA=0,-233,-1.因为SAn2=00+3-233+(-2)(-1)=0,所以SAn2.又因为SA平面BDF,所以直线SA平面BDF.)设点A与平面BD

14、F的距离为h,则h为直线SA与平面BDF的距离.因为OA=0,-32,0,n2=(0,3,-2)是平面DBF的一个法向量,所以h=|OAn2|n2|=00+3-32+0(-2)7=3714.6.(1)证明 因为C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,所以BCAC.又平面PAC平面ABC,且平面PAC平面ABC=AC,BC平面ABC,所以BC平面PAC.因为AE平面PAC,所以BCAE.(2)解 由E,F分别是线段PC,PB的中点,连接AF,EF,所以BCEF.由(1)知BCAE,所以EFAE,所以在RtAFE中,AFE就是异面直线AF与BC所成的角.因为异面直线AF与BC所成角的正切值为32,

15、所以tanAFE=32,即AEEF=32.又EF平面AEF,BC平面AEF,所以BC平面AEF.又BC平面ABC,平面EFA平面ABC=l,所以BCl,所以在平面ABC中,过点A作BC的平行线即为直线l.以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴,y轴,过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系.设AC=2,因为PAC为正三角形,所以AE=3,则EF=2.由已知E,F分别是线段PC,PB的中点,所以BC=2EF=4.则A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0,3),E12,0,32,F12,2,32,所以AE=-32,0,32,EF=(0,2,0).因为BCl,所以设Q(2,t,0),tR,平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z),则AEm=-3x2+3z2=0,EFm=2y=0,取z=3,得x=1,y=0,所以m=(1,0,3).又PQ=(1,t,-3),则|cos|=PQm|PQ|m|=14+t20,12.设直线PQ与平面AEF所成角为,则sin =14+t20,12,