2023届高考数学 易错题专项突破——易错点17 解三角形（含解析）.docx

1、易错点17 解三角形一、单选题1. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=2，cos(A+B)=13，则c等于A. 4B. 15C. 3D. 172. 已知ABC中，满足b=2，B=60的三角形有两解，则边长a的取值范围是A. 32a2B. 12a2C. 2a433D. 2a233. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c-acosB=(2a-b)cosA，则ABC为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4. ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为A. B. C. D. 925. 满足条件a

2、=4，b=52，A=45的ABC的个数是A. 1B. 2C. 无数个D. 不存在6. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c=4，b=7，BC边上的中线AD的长为72，则边长a=A. 3B. 4C. 94D. 97. 在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，b=c且满足sinBsinA=1-cosBcosA，若点O是ABC外一点，AOB=00c=17故选：D2. 已知ABC中，满足b=2，B=60的三角形有两解，则边长a的取值范围是A. 32a2B. 12a2C. 2a433D. 2a23【答案】C【解析】解：若ABC有两解，b=2，B=60，由正弦定理及正弦函数

3、的图像和性质，则需asinBb，解得32a2解得2a1，显然不成立，所以这样的三角形不存在故选D6. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c=4，b=7，BC边上的中线AD的长为72，则边长a=A. 3B. 4C. 94D. 9【答案】D【解析】解：如图，AD是BC边上的中线，设CD=DB=x，则CB=a=2xc=4，b=7，AD=72，在ACD中，cosC=72+x2-(72)227x在ABC中，49+x2-49414x=49+4x2-1628x，解得x=92a=2x=9故选D7. 在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，b=c且满足sinBsinA=1-cos

4、BcosA，若点O是ABC外一点，AOB=0，OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面积的最大值是A. 8+534B. 4+534C. 3D. 4+52【答案】A【解析】解：ABC中，b=c，sinBsinA=1-cosBcosA，sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin(A+B)=sin(-C)=sinC=sinA，A=C，又b=c，ABC为等边三角形SOACB=SAOB+SABC=12OAOBsin+12AB2sin3=1221sin+34(OA2+OB2-2OAOBcos)=sin-3cos+534=2sin(-3)+5340，-3-323，故当-3=2时，sin(-3)

5、取得最大值为1，故SOACB的最大值为2+534=8+534，故选A8. 根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆，地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点F1，F2构成的三角形PF1F2面积约为4803(万千米)2，F1PF2=3，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为A. x2382+y24036=1B. x2362+y2142=1C. x2482+y24836=1D. x2482+y23624=1【答案】A【解析】解：设PF1=m，PF2=n，由椭圆定义可知：m+n=2a，又椭圆上的点距离地球所在焦点

6、最短距离约为36万千米，则a-c=36，在PF1F2中，由余弦定理得：2c2=m2+n2-2mncos3，由三角形PF1F2面积约为4803(万千米2)，F1PF2=3，得：12mnsin3=4803，联立上述方程得：m+n=2aa-c=3612mnsin3=4803a2=b2+c22c2=m2+n2-2mncos3，解得：b2=1440a2=382故选A二、填空题9. 在ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=.【答案】【解析】解：由a2=b2+bc+c2得：，由余弦定理得：，因为，则，故答案为10. 在ABC中，已知BC=7，AC=8，AB=9，则AC边上的中线长为【答案】711. 在正

7、方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是AA1，BB1的中点，则CM和D1N所成角的余弦值为_【答案】19【解析】解：取C1C的中点P，连接A1P，A1M/CP，且A1M=CP，四边形A1MCP是平行四边形，A1P/MC，A1D1=/BC=/NP，A1P、D1N共面，设其交点为O，则A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角，设正方体的棱长为1，A1P=MC=AC2+AM2=2+14=32，D1O=A1O=34，cosA1OD1=(34)2+(34)2-123434=19，即直线CM与D1N所成角的余弦值是19故答案为1912. 在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知s

8、inBsinCsinA=372，b=4a，a+c=5，则ABC的面积为_【答案】374【解析】解：由正弦定理及sinBsinCsinA=372，得bsinCa=372，又b=4a，sinC=378，ABC为锐角三角形，cosC=1-sin2C=18，cosC=a2+b2-c22ab=a2+(4a)2-(5-a)22a4a=18，解得a=1，b=4，c=4，SABC=12absinC=1214378=374故答案为374三、解答题13. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2ccosA(sinB-1)=acosC-b(1)求角B的大小；(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，

9、C的对边分别为a，b，c，若b=23,a=6+2,B=2B，求三角形A，B，C的内角平分线BD的长【答案】解：(1)2ccosA(sinB-1)=acosC-b，由正弦定理可得：2sinCcosA(sinB-1)=sinAcosC-sinB，2sinCcosAsinB-2sinCcosA=sinAcosC-(sinAcosC+sinCcosA)，2sinCcosAsinB=sinCcosA，在锐角ABC中，sinCcosA0，sinB=12，B=6；(2)B=2B=3，由正弦定理有：asinA=bsinB，sinA=asinBb=6+23223=6+24，又三角形ABC为锐角三角形，A=512

10、，C=-B-A=4，BDC=-12B-C=712，由正弦定理有：BDsinC=asinBDCBD=asinCsinBDC=2214. 如图，EFGH是矩形，ABC的顶点C在边FG上，点A，B分别是EF，GH上的动点(EF的长度满足需求).设BAC=，ABC=，ACB=，且满足sin+sin=sin(cos+cos)(1)求；(2)若FC=5，CG=3，求5AC+3BC的最大值【答案】解：(1)设BC=a，AC=b，AB=c，由sin+sin=sin(cos+cos)，根据正弦定理和余弦定理得，a+b=c(b2+c2-a22bc+a2+c2-b22ac)，化简整理得，a2+b2=c2，由勾股定理

11、可得=2；(2)设CAF=,02，由(1)可知，BCG=，在RtACF中，ACsin=FC，由FC=5，故5AC=sin，在RtBCG中，BCcos=CG，由CG=3，故3BC=cos，5AC+3BC=sin+cos=2sin(+4)，由4+434知，当+4=2，即=4时，5AC+3BC取得最大值215. 已知向量a=(sinx,cosx)，b=(3cosx,cosx)，f(x)=ab(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a=7,sinB=3sinC，若f(A)=1，求ABC的周长【答案】解：(1)因为a=(sinx,cosx)，b=(3cosx

12、,cosx)，f(x)=ab=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+6)+12，由-2+2k2x+62+2k，kZ，可得：-3+kx6+k，kZ，可得f(x)的单调递增区间是：-3+k,6+k，kZ，(2)由题意可得：sin(2A+6)=12，又0A，所以62A+6136，所以2A+6=56，解得A=3，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2=b2+c2-2bccosA，所以a=BC=7，又sinB=3sinC，可得b=3c，故7=9c2+c2-3c2，解得c=1，所以b=3，可得ABC的周长为4+716. 如图所示，某镇有一块空地OAB，

13、其中OA=3km，OB=33km，AOB=90.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上，且MON=30，挖出的泥士堆放在OAM地带上形成假山，剩下的OBN地带开设儿童游乐场为安全起见，需在OAN的周围安装防护网(1)当AM=32km时，求防护网的总长度；(2)为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN的面积最小？最小面积是多少？【答案】解：(1)OA=3km，OB=33km，AOB=90，A=60，AB=6在OAM中，由余弦定理得：OM2=OA2+AM2-2OAAMcosA=274OM=332由正弦定理得

14、：AMsinAOM=OMsinA，即32sinAOM=33232，AON=AOM+MON=60OAN是等边三角形OAN的周长C=3OA=9防护网的总长度为9km(2)设AOM=(060)，则AON=+30，OMA=120-，ONA=90-在OAM中，由正弦定理得OMsinA=OAsinOMA，即OM32=3sin(120-)=3sin(60+)OM=332sin(60+)，在AON中，由正弦定理得ONsinA=OAsinONA，即ON32=3sin(90-)=3cos，ON=332cos，SOMN=12OMONsinMON=2716cossin(+60)=278sin(2+60)+43当且仅当2+60=90，即=15时，OMN的面积取最小值为278+43=54-2734km2