2023届高考数学 易错题专项突破——易错点25 空间角与空间距离（含解析）.docx

1、易错点25 空间角与空间距离一、单选题1. 如图，PA平面ABC，ACB=90且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的正切值为A. 2B. 3C. 22D. 12. 三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AC=1，CC1=2，A1AB=A1AC=60，BAC=90.则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为A. 0B. 15C. 13D. 253. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与B1D1所成的角是A. 30B. 45C. 60D. 904. 在四面体P-ABC中，PA ，PB ，PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面PAB ，PBC ，PCA的距

2、离分别是2，3，6，则M 到P 的距离是A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 在空间中，异面直线a,b所成的夹角为，且sin=12，则cos=A. 32B. -32C. 32或-32D. -126. 在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为A. 30B. 45C. 60D. 907. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则异面直线DE与A1B1所成角的正切值为A. 62B. 63C. 22D. 28. 已知ABC的三顶点坐标分别为A(10,-1,6)，B(4,1，9)，C(2,4，3)，则SA

3、BC=A. 492B. 4922C. 494D. 4942二、单空题9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是AA1，BB1的中点，则CM和D1N所成角的余弦值为_10. 点S、A、B、C在半径为2的同一球面上，点S到平面ABC的距离为12，AB=BC=CA=3，则点S与ABC中心的距离为_11. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，BAD=90，BAA1=DAA1=60，则AC1=_12. 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点E为CC1的中点，则点D1到平面BDE的距离为_三、解答题13. 如图，在正方体

4、ABCD-A1B1C1D1中E，F分别是AD，AA1中点(1)求直线AB1和CC1所成角的大小；(2)求直线AB1和EF所成角的大小14. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，ABAC，PA平面ABCD，且PA=AB=3，AC=2，点E是PD的中点 (1)求证：PB/平面AEC； (2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角M-AC-E的余弦值为1010?若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由15. 如图所示的几何体中，BE平面ABCD，AF/BE，四边形ABCD为菱形，AB=AF=2，点M，N分别在棱FD，ED上(1)若BF/平面MAC，设FMFD=，求

5、的值；(2)若ABC=60，ENND=12，直线BN与平面ABCD所成角的正切值为63，求三棱锥B-ENF的体积16. 设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，若PA=AB=1，BC=2(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为2，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；(3)若点E是PD的中点，在PAB内确定一点H，使CH+EH的值最小，并求此时HB的值一、单选题1. 如图，PA平面ABC，ACB=90且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的正切值为A. 2B. 3C. 22D. 1【答案

6、】A【解析】解：观察图形，可以将该图看成是正方体的一部分，因此可以通过补形来求异面直线的夹角的正切值，将此多面体补成正方体DBCA-D1B1C1P(如图所示)，则PB与AC所成的角的大小即此正方体的体对角线PB与棱BD所成角的大小故在RtPDB中，tanDBP=PDDB=2aa=2.故选：A2. 三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AC=1，CC1=2，A1AB=A1AC=60，BAC=90.则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为A. 0B. 15C. 13D. 25【答案】A【解析】解：A1C=AC-AA1，BC1=BC+CC1=AC-AB+CC1A1CBC1=(AC-AA1)(AC-

7、AB+CC1)=(AC-AA1)(AC-AB+AA1)=AC2-ACAB+ACAA1-AA1AC+AA1AB-AA12=12-0+12cos60-12cos60+32cos60-22=1+3-4=0，A1CBC1，即异面直线A1C与BC1所成角为90，cos90=0，故选A3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与B1D1所成的角是A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】D【解析】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1/BD，ACBD，ACB1D1，异面直线B1D1与AC所成的角为90，故选D4. 在四面体P-ABC中，PA ，PB ，PC 两两垂直，M 是

8、面ABC 内一点，M 到三个面PAB ，PBC ，PCA的距离分别是2，3，6，则M 到P 的距离是A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A【解析】解：由于PA，PB，PC两两垂直，M是面ABC内一点，作出长方体如图，M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别是2，3，6，则M到P的距离，就是长方体的体对角线的长：22+32+62=7故选A5. 在空间中，异面直线a,b所成的夹角为，且sin=12，则cos=A. 32B. -32C. 32或-32D. -12【答案】A【解析】解：异面直线a,b所成的夹角为02；sin=12，cos=1-sin2=32故选A6. 在底面是正三角形，

9、侧棱与底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】D【解析】解：如图，建立空间直角坐标系，设BB1=1，则AB=2，A(-22,0,0),B(22,0,0),B1(22,0,1),C1(0,62,1)，则AB1=(2,0,1),BC1=(-22,62,1)，故AB1BC1=0，故AB1与BC1所成角为90，故选D7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则异面直线DE与A1B1所成角的正切值为A. 62B. 63C. 22D. 2【答案】C【解析】解：如图所示，DC/A1B1，DCB

10、1C.EDC为异面直线DE与A1B1所成角tanEDC=ECDC=12B1CDC=22故选：C8. 已知ABC的三顶点坐标分别为A(10,-1,6)，B(4,1，9)，C(2,4，3)，则SABC=A. 492B. 4922C. 494D. 4942【答案】A【解析】解：ABC的三顶点坐标分别为A(10,-1,6)，B(4,1，9)，C(2,4，3)，则AB=(10-4)+(-1-1)+(6-3)=7，CB=(2-4)+(4-1)+(9-3)=7，CA=(2-10)+(4+1)+(6-3)=72，由于CA=BA+CB，所以三角形ABC为直角三角形，所以SABC=1277=492，故选A二、单空

11、题9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是AA1，BB1的中点，则CM和D1N所成角的余弦值为_【答案】19【解析】解：取C1C的中点P，连接A1P，A1M/CP，且A1M=CP，四边形A1MCP是平行四边形，A1P/MC，A1D1=/BC=/NP，A1P、D1N共面，设其交点为O，则A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角，设正方体的棱长为1，A1P=MC=AC2+AM2=2+14=32，D1O=A1O=34，cosA1OD1=(34)2+(34)2-123434=19，即直线CM与D1N所成角的余弦值是19故答案为1910. 点S、A、B、C在半径为2的同一球面上，点S到

12、平面ABC的距离为12，AB=BC=CA=3，则点S与ABC中心的距离为_【答案】2【解析】解：如图，点S、A、B、C在半径为2的同一球面上，点S到平面ABC的距离为12，AB=BC=CA=3，设ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，半径r=MC=233-34=1，MO=OC2-MC2=2-1=1，SDMC，MEMC，MESD是矩形，ME=SD=12，MD=SE=SO2-OE2=2-14=72，SM=SD2+MD2=14+74=2故答案为211. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1

13、=3，BAD=90，BAA1=DAA1=60，则AC1=_【答案】23【解析】解：由题意，如图所示，作A1O底面于O，作OE垂直AB于E，OF垂直AD于F，连接A1F，A1E，由于，BAA1=DAA1=60，A1FAA1EA，A1F=A1E有A1FOA1EO，OF=OE，由作图知，O在角DAB的角平分线上，又底面是矩形，DAO=BAO=45，又AB=1，AD=2，AA1=3，BAA1=DAA1=60，A1F=A1E=332，AE=AF=32，AO=322，在直角三角形A1OA中，解得A1O=322，在图中作C1H垂直底面于H，作HR垂直DC延长线与R，由几何体的性质知，HR=CR=32，A1O

14、=C1H=322，连接AH，得如图的直角三角形ASH，直角三角形AHC1，由已知及上求解得AS=52，SH=72，AC12=AH2+C1H2=AS2+SH2+C1H2=254+494+184=924=23，AC1=23.故答案为2312. 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点E为CC1的中点，则点D1到平面BDE的距离为_【答案】233【解析】解：易知BD/B1D1，又BD在平面BDE内，B1D1不在平面BDE内，B1D1/平面BDE，则点D1到平面BDE的距离等于点B1到平面BDE的距离，设为hBDE中，BD=DE=EB=2，SBDE=32，由VB1-BDE=VD

15、-BB1E，可得1332h=1312121，h=233故答案为：233三、解答题13. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中E，F分别是AD，AA1中点(1)求直线AB1和CC1所成角的大小；(2)求直线AB1和EF所成角的大小【答案】解：(1)如图，连接DC1，DC1/AB1，DC1和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角CC1D=45，AB1和CC1所成的角是45(2)连接DA1、A1C1，EF/A1D，AB1/DC1，A1DC1是直线AB1和EF所成的角AA1DC1是等边三角形，A1DC1=60，即直线AB1和EF所成的角是6014. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边

16、形ABCD为平行四边形，ABAC，PA平面ABCD，且PA=AB=3，AC=2，点E是PD的中点 (1)求证：PB/平面AEC； (2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角M-AC-E的余弦值为1010?若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE，显然O为BD的中点，又点E是PD的中点OE为三角形PBD的中位线，OE/PB，又OE平面AEC，PB平面AEC，所以PB/平面AEC；(2)由已知以A为原点，分别以AC，AB和AP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则有P(0,0，3)，B(0,3，0)，C(2,0，0)，E

17、(1,-32,32)，假设在PB上存在点M(0,a，3-a)，0a3，则AC=(2,0，0)，AE=(1,-32,32)，AM=(0,a，3-a)，设平面ACE的法向量为n=(x1,y1,z1)，则2x1=0x1-32y1+32z1=0，可取n=(0,1，1)，设平面ACM的法向量为m=(x2,y2,z2)，则2x2=0ay2+3-az2=0，可取m=(0,a-3,a)，由二面角M-AC-E的余弦值为1010，可得mnmn=a-3+a22a2-6a+9=1010，解得a=1或2，由于二面角M-AC-E的余弦值为正，故舍去a=2，即a=1，存在一点M，使得二面角M-AC-E的余弦值为1010，该

18、点为PB上靠近P点的三等分点15. 如图所示的几何体中，BE平面ABCD，AF/BE，四边形ABCD为菱形，AB=AF=2，点M，N分别在棱FD，ED上(1)若BF/平面MAC，设FMFD=，求的值；(2)若ABC=60，ENND=12，直线BN与平面ABCD所成角的正切值为63，求三棱锥B-ENF的体积【答案】解：(1)连接AC，BD，设ACBD=P，因为四边形ABCD为菱形，所以P为AC与BD的中点，连接MP，因为BF/平面MAC，BF平面BFD，且平面BFD平面MAC=MP，所以BF/MP，因为P为BD的中点，所以M为FD的中点，即FMFD=12. (2)因为ABC=60，四边形ABCD

19、为菱形，AB=CB=2，所以BD=23，过N作NG/BE，且NGBD=G，因为ENND=12，所以BG=233，设BE=a，则NG=23a，因为直线BN与平面ABCD所成角的正切值为tanNBG=a3=63，所以a=2，所以三角形ABD的面积S1=S梯形ABEF-SABF=2，而点N到平面BEF的距离即点G到平面BEF的距离为h=33，由VB-ENF=VN-BEF=13S1h=69，所以三棱锥B-ENF的体积为69.16. 设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，若PA=AB=1，BC=2(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G，使得

20、点D到平面PAG的距离为2，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；(3)若点E是PD的中点，在PAB内确定一点H，使CH+EH的值最小，并求此时HB的值【答案】解：(1)因为平面，CD平面，所以，又因为底面是矩形，所以，又PAAD=A，PA,AD平面APD，所以平面，所以与平面所成角为，又由题意可得：，所以tanCPD=55所以与平面所成角的正切值为55(2)假设边上存在一点G满足题设条件，作，又PA平面ABCD，所以PADQ，因为AGPA=A，所以平面，所以因为SAGD=1221=12AG2，所以AG=2，所以BG=12，故存在点G，当时，使点D到平面的距离为(3)延长CB到，使，因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，因为PAAB=A，所以平面，则C是点C关于面的对称点，连接CE，交面于H，则点H是使的值最小时，在面上的一点作于M，则点M是AD的中点，连接交AB于N，连接HN，则，所以，又，所以，而，所以所以