2023届高考数学一轮复习 单元双优测评卷——第五章 一元函数的导数及其应用A卷（含解析）.docx

1、第五章一元函数的导数及其应用 A 卷 基础过关必刷卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设函数()f x 是定义在,00,上的奇函数，()fx 为()f x 的导函数，当0 x 时，ln()()0 xx fxf x，则使得 2()01xf xx成立的 x 的取值范围（）A,20,1 B2,0(0,1)C2,0(1,)D,21,2已知 21sin42f xxx，fx为 f x 的导函数，则 fx的大致图象是（）A B C D 3若 1xxf xee，则（）A3231log2ln24fff B3231logln224ff

2、f C32312ln2log 4fffD3231ln22log 4fff 4若,a b cD，,g ag bg c 可以作为一个三角形的三条边长，则称函数 g x 是区间 D 上的“稳定函数”.已知函数 ln xf xmx是区间221,ee 上的“稳定函数”，则实数m 的取值范围为（）A12,ee B212,ee C14,ee D214,ee 5已知函数()xxxf xxee，且2(1)20fafaa，则a 的取值范围是（）A(,1)(3,)B(1,3)C(,3)(1,)D(3,1)6定义在 R 上的奇函数 f x 的图象连续不断，其导函数为 fx，对任意正实数 x 恒有 2xfxfx，若 2

3、g xx f x，则不等式23log110gxg的解集是（）A0,2 B2,2 C3,2 D2,11,2 7已知定义在,a b 上的函数()yf x的导函数()yfx的图象如图所示，给出下列命题：函数()yf x在区间24,xx上单调递减；若45xmnx，则()()22f mf nmnf；函数()yf x在,a b 上有 3 个极值点；若23xpqx，则()()()()0f pf qfpfq 其中正确命题的序号是（）A B C D 8如图，函数()f x 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，()f x 的零点为12，若不等式 2()(0)f xaf x a对 xR 恒成立，则 a 的取值范围

4、是（）A5 35 3,66 B(,3 3,)C4 34 3,55 D2 32 3,33 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知函数 22*sincos2,kkf xxx kkN，则下列命题正确的是（）A f x 的图象关于直线*2kxkN对称 B f x 的最小正周期为 C f x 的值域为11,12kD f x 在 0,4上单调递减 10 英国数学家牛顿在 17 世纪给出了一种求方程近似根的方法牛顿迭代平法，做法如下：如图，设 r 是()0f x 的根，选取0 x

5、 作为 r 的初始近似值，过点00,xf x作曲线()yf x的切线000:l yf xfxxx，则 l与x 轴的交点的横坐标010000f xxxfxfx，称1x 是 r 的一次近似值；过点 11,x f x作曲线()yf x的切线，则该切线与 x 轴的交点的横坐标为 x2，称 x2是 r 的二次近似值；重复以上过程，得 r 的近似值序列，其中10nnnnnf xxxfxfx，称1nx 是 r 的 n+1 次近似值，这种求方程()0f x 近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程22x 的近似解，则（）A若取初始近似值为 1，则该方程的二次近似值为1712 B若取初始近似值为 2，则该

6、方程的二次近似值为1712 C 0123400123f xf xf xf xxxfxfxfxfx D 0123400123f xf xf xf xxxfxfxfxfx 11法国数学家柯西(A.Cauchy，1789 1857研究了函数21,0()0,0 xexf xx 的相关性质，并证明了 f x 在0 x 处的各阶导数均为0.对于函数 f x，有如下判断，其中正确的有（）A f x 是偶函数 B f x 在是,0上单调递减 C ff eD若 af xb恒成立，则ba的最小值为 1 12如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为10 15 的半球，下面大圆刚好与高度为6的圆锥的

7、底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（）A10 B18 C30 D40 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 a，b 为正实数，若直线 yxa与曲线lnyxb 相切，则211ab的取值范围是_ 14已知函数 3136f xxmx，154lng xxx，若函数 fx与 1,4eg xx的图象上至少存在一对关于 x 轴对称的点，则实数 m 的取值范围是_ 15若对任意的12,x xm，且12xx，2121lnlnxxexx，则 m 的最小值是_.16对于三次函数 320ax

8、bxd af xcx，给出定义：设 fx 是函数 f x 的导数，fx 是 fx 的导数，若方程 0fx 有实数解0 x，则称点00,xf x为函数 yf x的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 3211533212g xxxx，则122019202020202020ggg_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知函数 ln0f xxaxa a（1）讨论 f x 的单调性；（2）当0a 时，若 2f xba恒成立，证明：2ba ；18已知函数 2(2)2,2xaf

9、 xxexaxaR.（1）当1a 时，求()f x 的单调区间；（2）当0 x 时，恒有()0f x ，求实数 a 的最小值.19设函数222()(1)lnln422xaef xa xxx.（1）当0a 时，求函数()f x 在(1,(1)f处的切线方程；（2）若函数()f x 单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2231 224eeyx（2）0,e 20已知函数 lnf xxxa x aR.（1）若5a，求曲线 yf x单调递增区间及 yf x在点 4,4f处的切线方程；（2）若不等式()f xx在(0,1x上恒成立，求a 的取值范围；（3）若 f x 有两个极值点1x，2x，且1

10、2xx.记 12g af xf x，求a 的取值范围，使得 1504ln 24g a.21已知函数 ln1f xxk x，且曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线1y 平行（1）求实数 k 的值并判断 f x 的单调性；（2）记 2g xxxfx，若Z，且当1,x 时，不等式 0g xx恒成立，求 的最大值 22已知 21xf xeaxx （1）当2ea 时求 f x 的极值点个数；（2）当0,x 时，0f x ，求 a 的取值范围；（3）求证：222232121212neee，其中*nN 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

11、目要求的 1设函数()f x 是定义在,00,上的奇函数，()fx 为()f x 的导函数，当0 x 时，ln()()0 xx fxf x，则使得 2()01xf xx成立的 x 的取值范围（）A,20,1 B2,0(0,1)C2,0(1,)D,21,【答案】A【解析】令()()lnF xf xx，ln()()()lnxx fxf xf xF xfxxxx，当0 x 时，ln0 xx fx，()0F x，原函数单调递增，又因为(1)0F，所以当0,1x时，()0F x，此时，ln0 x，所以()0f x，当1,x 时，()0F x，此时，ln0 x，所以()0f x，所以当0,x 时，()0f

12、 x，又因为()f x 是奇函数，当,0 x 时，()0f x ，求 2()01xf xx，分两种情况求解，当0 x 时，()0f x ，只需 201xx，解得2x，当0 x 时，()0f x，只需 201xx，解得01x 所以 x 的范围是,20,1 故选：A 2已知 21sin42f xxx，fx为 f x 的导函数，则 fx的大致图象是（）A B C D【答案】A【解析】2211sincos424f xxxxx，1sin2fxxx 易知 1sin2fxxx是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B 和 D，由106122f，排除 C，所以 A 正确.故选：A.3若 1xxf xee，则（）

13、A3231log2ln24fff B3231logln224fff C32312ln2log 4fffD3231ln22log 4fff【答案】C【解析】1xxefexf x 所以 f x 是 R 的偶函数，331loglog 44ff 302331log 4log 31220,2，又32311lnln2lnlog 4ln222ee 又当0,x 20 xxxxeefxee，所以 f x 在(0，+)单调递减，32312ln2log 4fff，故选：C 4若,a b cD，,g ag bg c 可以作为一个三角形的三条边长，则称函数 g x 是区间 D 上的“稳定函数”.已知函数 ln xf x

14、mx是区间221,ee 上的“稳定函数”，则实数m 的取值范围为（）A12,ee B212,ee C14,ee D214,ee 【答案】D【解析】21 ln xfxx，当1,exe 时，0fx；当2,xe e 时，0fx；f x在21,ee上单调递增，在2,e e 上单调递减，max1f xf eme，又2212feme ，222f eme，2min2f xem，由“稳定函数”定义可知：minmax2 f xf x，即 2122emme，解得：214mee，即实数 m 的取值范围为214,ee.故选：D.5已知函数()xxxf xxee，且2(1)20fafaa，则a 的取值范围是（）A(,1

15、)(3,)B(1,3)C(,3)(1,)D(3,1)【答案】B【解析】因为 xR，()()xxxxxxfxxexef xee ，所以()f x 是奇函数，2111(),xxxxxexxxfxexexRee，令2()11xg xexx，则2()321xg xex，令2()321xh xex，则2()84xh xex，当0 x 时，()0h x，所以()h x 是增函数，020h xh，即 0gx，所以当0 x 时()g x 是增函数，()(0)20g xg，所以()0f x，()f x 在0 x 上是增函数，因为()f x 是奇函数 所以()f x 在 xR 上是增函数，由2(1)20fafaa

16、，得22(1)22fafaaf aa ，所以212aaa ，解得 13a.故选：B.6定义在 R 上的奇函数 f x 的图象连续不断，其导函数为 fx，对任意正实数 x 恒有 2xfxfx，若 2g xx f x，则不等式23log110gxg的解集是（）A0,2 B2,2 C3,2 D2,11,2【答案】D【解析】因为 f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 fxf x，所以当 xR 时，有 22gxx fxx f xg x ，所以 g x 为奇函数，且对于正实数 x，有 22xfxfxf x，即 20 xfxf x，所以 2220g xxf xx fxxf xxfx，所以 2g xx f

17、x在0 x 是增函数，又因为 g x 为奇函数，所以 g x 为 xR 上的增函数，由23log110gxg得 23log111gxgg，所以23log11x ，即201 3x，解得 21x 或12x，故选：D.7已知定义在,a b 上的函数()yf x的导函数()yfx的图象如图所示，给出下列命题：函数()yf x在区间24,xx上单调递减；若45xmnx，则()()22f mf nmnf；函数()yf x在,a b 上有 3 个极值点；若23xpqx，则()()()()0f pf qfpfq 其中正确命题的序号是（）A B C D【答案】B【解析】中，看图知，在区间23,x x 上，()0

18、f x，在区间34,x x上，()0fx，故函数()yf x在区间24,xx上先增再减，错误；中，看图知，在区间45,x x上，()yfx是下凸的，任意连接两点,(),()m f mn f n，中点为()(),22mnfmfnM，线段一定在()yfx图象上方，故中点也在图象上方，即()()22f mf nmnf，故正确；中，看图知，在区间3,a x上，()0f x，在区间35,x x上，()0fx，在区间5,x b 上，()0f x，所以()yf x有一个极大值点3x 和一个极小值点5x，故错误；中，看图知，在区间23,x x 上，()0f x，且()fx 递减，故()yf x单调递增，故()

19、(),()()fpf qf pf q，故()()()()0f pf qfpfq，即正确.综上，正确命题的序号是.故选：B.8如图，函数()f x 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，()f x 的零点为12，若不等式 2()(0)f xaf x a对 xR 恒成立，则 a 的取值范围是（）A5 35 3,66 B(,3 3,)C4 34 3,55 D2 32 3,33 【答案】A【解析】当1x 时，ykxb，图象过点1,2 和1,02，即2102kbkb，解得：43k，23b，即4233yx，当1x时，设抛物线221ya x，代入点1,2 得，1a ，即221yx，所以 242,13321,

20、1xxf xxx ，2yf xa的图象是由 yf x向左平移2a 个单位长度得到，因为 2f xaf x，对xR 恒成立，所以2yf xa的图象恒在 yf x的上方，当两图象如图所示，相切时，抛物线2221yxa22222221xaxa，2222yxa，与直线4233yx相切，即242223xa，解得：283xa，224 823843 3393yaa，切点228384,393aa 代入2221yxa 得2222384821933aaa，得22512a，所以22512a，解得：5 36a 或5 36a .故选：A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有

21、多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知函数 22*sincos2,kkf xxx kkN，则下列命题正确的是（）A f x 的图象关于直线*2kxkN对称 B f x 的最小正周期为 C f x 的值域为11,12kD f x 在 0,4上单调递减【答案】ACD【解析】对于 A 选项，当k 为正奇数时，2222sincossincoskkkkf kxkxkxxx 22sincoskkxxf x，当 k 为正偶数时，2222sincossincoskkkkf kxkxkxxx 22sincoskkxxf x.综上所述，函数 f x 的图象关于直线*

22、2kxkN对称，A 对；对于 B 选项，因为2222sincoscossin222kkkkfxxxxx 22sincoskkxxf x，所以，函数 f x 为周期函数，但最小正周期不是，B 错；对于 D 选项，22sincoskkf xxx，则 212122222 sincos2 cossin2 sin cossincoskkkkfxkxxkxxkxxxx，当0,4x 时，20sincos12xx，因为2k 且 kN，则222k，故2222sincoskkxx，此时 0fx，所以，函数 f x 在 0,4上单调递减，D 对；对于 C 选项，由于函数 f x 为周期函数，且 2 是函数 f x

23、的一个周期，只需求出函数 f x 在 0,2 上的值域，即为函数 f x 在 R 上的值域，当,4 2x 时，20cossin12xx，因为2k 且 kN，则222k，故2222sincoskkxx，此时 0fx，所以，函数 f x 在,4 2 上单调递增，所以，当0,2x 时，1min112422kkf xf，又因为 012ff，则 max1f x，因此，函数 f x 的值域为11,12k，C 对.故选：ACD.10 英国数学家牛顿在 17 世纪给出了一种求方程近似根的方法牛顿迭代平法，做法如下：如图，设 r 是()0f x 的根，选取0 x 作为 r 的初始近似值，过点00,xf x作曲线

24、()yf x的切线000:l yf xfxxx，则 l 与 x 轴的交点的横坐标010000f xxxfxfx，称1x 是 r 的一次近似值；过点 11,x f x作曲线()yf x的切线，则该切线与 x 轴的交点的横坐标为 x2，称 x2是 r 的二次近似值；重复以上过程，得 r的近似值序列，其中10nnnnnf xxxfxfx，称1nx 是 r 的 n+1 次近似值，这种求方程()0f x 近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程22x 的近似解，则（）A若取初始近似值为 1，则该方程的二次近似值为1712 B若取初始近似值为 2，则该方程的二次近似值为1712 C 01234001

25、23f xf xf xf xxxfxfxfxfx D 0123400123f xf xf xf xxxfxfxfxfx【答案】ABC【解析】令2()2f xx，则()2f xx，当01x ，1(1)1311(1)22fxf ，12111712f xxxfx，故 A 正确；当02x，1(2)2322(2)42fxf，12111712f xxxfx，故 B 正确；因为0100f xxxfx；1211f xxxfx；3222f xxxfx；3433fxxxfx，0123400123f xf xf xf xxxfxfxfxfx，故 C 正确，D 错误.故选：ABC 11法国数学家柯西(A.Cauchy

26、，1789 1857研究了函数21,0()0,0 xexf xx 的相关性质，并证明了 f x 在0 x 处的各阶导数均为0.对于函数 f x，有如下判断，其中正确的有（）A f x 是偶函数 B f x 在是,0上单调递减 C ff eD若 af xb恒成立，则ba的最小值为 1【答案】ABD【解析】对于 A，函数 f x 的定义域为 R，当0 x 时，由 21xfxef x，故 f x 是偶函数，A 正确；对于 B，当0 x 时，21xf xe，由 221123120 xxfxeexx，所以 f x 在是,0上单调递减，B 正确；对于 C，由于e ，f x 在是,0上单调递减，所以 ffe

27、f e，C 错；对于 D，因为210 x，所以2101xe，故 01f x 又因为 af xb恒成立，所以0,1ab，则1ba，故 D 正确 故选：ABD 12如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为10 15 的半球，下面大圆刚好与高度为6的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（）A10 B18 C30 D40 【答案】ABC【解析】解：令上部分的半球半径为 R，可得3210 153R，解得15R，设小圆锥的底面半径为r，小圆锥底面中心到球心距离为h，可知 r，h，和 R 可

28、构成直角三角形，即2215rh，小圆锥体积2211615601533Vrhhhh 令 2156015f hhhh，则 351fhhh，可知()f h 在0,1 上单调递增，在1,15 上单调递减，所以当1h 时，()f h 最大，()()max198f hf=，即max983V，即 ABC 三个选项都满足题意 故选：ABC.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 a，b 为正实数，若直线 yxa与曲线lnyxb 相切，则211ab的取值范围是_【答案】(2,)【解析】设切点为00(,)xy，因为1yx，0 x，所以切线斜率011kx，即01x ，代入lnyxb 可

29、得0yb，所以10ba，解得01a，所以2211121aaabaa，等号不成立，所以21(2,)1ab，故答案为：(2,)14已知函数 3136f xxmx，154lng xxx，若函数 fx与 1,4eg xx的图象上至少存在一对关于 x 轴对称的点，则实数 m 的取值范围是_【答案】98ln 2 12,2 【解析】函数 fx与 1,4g xxe的图象上至少存在一对关于 x 轴对称的点，等价于 fxg x在 1,4e 上有零点，令 h xfxg x 21154ln2 xmxx 2154ln2 xmxx 则 1445xxh xxxx，所以在 1,1e 上，0h x，h x 单调递增，在1,4

30、上，0h x，h x 单调递减，则 1h xh，又 912hm，211542hmeee，48ln212hm，因 215148ln 2 802hh eee，又 14hh e，则 4h xh，所以 48ln2120hm 9102hm 解得98ln 2 122m 故答案为:98ln 2 12,2 15若对任意的12,x xm，且12xx，2121lnlnxxexx，则 m 的最小值是_.【答案】1e 【解析】由12xx，2121lnlnxxexx得：2211lnlnxexxex，令 lng xxex，则 g x 在,m 上单调递减，1gxex，当10,ex时，0gx；当1,xe 时，0gx；g x的

31、单调递减区间为1,e，1me，m的最小值为 1e.故答案为：1e.16对于三次函数 320axbxd af xcx，给出定义：设 fx 是函数 f x 的导数，fx 是 fx 的导数，若方程 0fx 有实数解0 x，则称点00,xf x为函数 yf x的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 3211533212g xxxx，则122019202020202020ggg_.【答案】2019【解析】因为 3211533212g xxxx，所以 23gxxx ，21gxx，令 210gxx，得12x，又112g ，所以 g

32、 x 的对称中心是1,12，所以 12gxg x，所以122019202020202020ggg，1120192201820191.2202020202020202020202020gggggg，12 201920192，故答案为：2019 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知函数 ln0f xxaxa a（1）讨论 f x 的单调性；（2）当0a 时，若 2f xba恒成立，证明：2ba ；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】（1）求出导函数()fx，分类讨论确定()fx 的正负得单调区间；（2）由（1）求得max

33、()f x，由max()2f xba，得出1ln1baa，求出111ln1baaaa，引入新函数，求得最大值即可（1）f x 的定义域为0 ，且 11axf xaxx 当0a 时，0f x 在0 ，上恒成立，f x 在0 ，上单调递增；当0a 时，令 0f x，得10 xa；令 0f x，得1xa；所以 f x 在10 a，上单调递增，在 1a，上单调递减；（2）故要使 2f xba恒成立，只需 2maxf xba即可；由（1）知，当0a 时，f x 在10 a，上单调递增，在 1a，上单调递减，故 11ln1maxf xfaaa，即1ln12abaa ，1ln1baa，所以，111ln1ba

34、aaa，令 ln1g tt tt ，lng tt 由 0g t 得1t ，由 0g t 得01t 所以 g t 在01，上递减，在1，上递增 所以 12ming tg ，所以2ba 18已知函数 2(2)2,2xaf xxexaxaR.（1）当1a 时，求()f x 的单调区间；（2）当0 x 时，恒有()0f x ，求实数 a 的最小值.【答案】（1）增区间：(,0)，(1,)，减区间：(0,1)（2）24e 【解析】（1）求出函数导数，求解不等式 0fx和 0fx可得；（2）易得1a 不符合题意，当1a ，令12()01,lnfxxxa，讨论1ae的情况即可求出.（1）当1a 时，2()(

35、2)22xxf xxex，()(1)(1)xfxxe，令 00fxx或1x ，001fxx，f x的增区间：(,0)，(1,)，减区间：(0,1)；（2）()(1)()xfxxea 当1a 时：0 xea，(0,1)x 时：0,()fxf x单调递减()(0)0f xf，不符合题意.当1a 时：令12()01,lnfxxxa，若1ae，则12xx，令 00lnfxxa或1x ，0ln1fxax，所以()f x 在(0,ln)a 单调递增，在(ln,1)a单调递减，在(1,)单调递增，又(0)0f，只需(1)024fae，综上，a 的最小值为24e.19设函数222()(1)lnln422xae

36、f xa xxx.（1）当0a 时，求函数()f x 在(1,(1)f处的切线方程；（2）若函数()f x 单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2231 224eeyx（2）0,e 【解析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，点斜式写出切线方程即可；（2）函数递增转化为()0f x恒成立，构造函数22()()(1)ln022xeg xxfxa xax恒成立即可，求()g x 导数对 a 分类讨论，解析()0g x 成立的条件即可.（1）当0a 时，222()ln,()1,4222xexef xxx fxx 253(1),(1),42eff 故()f x 在(1,(1)f处的切线方

37、程为：235(1)24eyx，即2231 224eeyx.（2）函数()f x 单调递增,则2ln()(1)022xaxefxaxx恒成立，其中0 x，构造函数22()()(1)ln22xeg xxfxa xax，即需()0g x 恒成立，而(1)()()(1),axxag xxaxx 若220,()()()(ln),22xeag xxaxax 取71min 1,()axea 则7222316,()1,ln()ln7222()axeexaxaaxea 此时()6 1(7)0g x ，故此时()0g x 不可能恒成立；若0a，此时22()022xeg xx恒成立；若0a，则当(0,)xa时()0

38、,()g xyg x单调递减，当(,)xa 时，()0g x，()yg x单调递增，故()g x 的最小值在 xa处取到，即()0g a .而2222()ln(1 ln).222aeeag aaaaaa 显然当0ae时，220,(1 ln)0,2eaaa此时()0g a 当 ae 时，220,(1 ln)0.2eaa此时()0g a，故此时0.ae 综上所述，0,.ae 20已知函数 lnf xxxa x aR.（1）若5a，求曲线 yf x单调递增区间及 yf x在点 4,4f处的切线方程；（2）若不等式()f xx在(0,1x上恒成立，求a 的取值范围；（3）若 f x 有两个极值点1x，

39、2x，且12xx.记 12g af xf x，求a 的取值范围，使得 1504ln 24g a.【答案】（1）yf x单调递增区间为1(0,)4(4,)；ln4 6y .（2）0,（3）4,5 【解析】（1）利用导数求单调区间，和切线方程；（2）利用分离参数法转化为ln1xxax 在(0,1x上恒成立，设ln()xxg xx，(0,1x，利用导数求出max()g x，即可求出 a 的范围；（3）先由1212,12axxxx.消元后得到，利用 11112lng axxx，利用导数求出1114x，而21164aax，即可求出 a 的范围.（1）当5a 时，ln5f xxxx定义域为0,，所以 15

40、11125222fxxxxxx.令 0fx，解得：104x或4x 所以曲线 yf x单调递增区间为1(0,)4(4,)；又 4ln46,40ff，所以 yf x在点 4,4f处的切线方程为ln4 6y .（2）不等式()f xx在(0,1x上恒成立，即为ln xxa xx在(0,1x上恒成立，所以ln1xxax 在(0,1x上恒成立，设ln()xxg xx，(0,1x，则ln2()02xxg xx x，所以()g x 在(0,1x上递增，故max()(1)1g xg，因此0a，即a 的取值范围为0,（3）因为 1122122axa xfxxxx，令 0fx可得：220 xa x，所以1212,

41、12axxxx.12111222lnlnf xf xxxa xxxa x 因为122axx，121xx，所以11212122ln xf xf xxxxxax 1121211211ln2lnxxxxxxxxx 令 12lng axxxx，则 22212110 xxxxx 因为 11510,4ln 244，所以1114x.因为2121641,14216aaxaa，所以45a.即 a 的取值范围为4,5 21已知函数 ln1f xxk x，且曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线1y 平行（1）求实数 k 的值并判断 f x 的单调性；（2）记 2g xxxfx，若Z，且当1,x 时，不等式 0

42、g xx恒成立，求 的最大值【答案】（1）1k ，f x 在0,1 上单调递增，在1,上单调递减；（2）2.【解析】（1）由题意得，ln1f xxk x的定义域为0,1fxkx，11fk 切线 l 与直线1y 平行，110fk，解得1k ，ln1f xxx，1xfxx 由 0fx，得01x，此时 f x 在0,1 上单调递增；由 0fx，得1x ，此时 f x 在1,上单调递减 故 f x 在0,1 上单调递增，在1,上单调递减（2）因为 11fxx，所以 21g xxx ，2110 xxx 1x ，211xxx在1,上恒成立 221111111121131111xxxxxxxxxx ，当且仅

43、当111xx 即2x 时成立 由211xxx在1,上恒成立且Z，可知 的最大值为 2 22已知 21xf xeaxx （1）当2ea 时求 f x 的极值点个数；（2）当0,x 时，0f x ，求 a 的取值范围；（3）求证：222232121212neee，其中*nN【答案】（1）两个极值点；（2）1,2；（3）证明见解析【解析】解：（1）当2ea 时，212xef xexx，所以 1xfxeex，xfxee，所以当1x 时，0fx，fx在,1上单调递减；当1x 时，0fx，fx在1,上单调递增，因为 00f，11f ，22210fee，所以存在01,2x，使00fx，所以，,0 x 时，0

44、fx；00,xx时，0fx；0,xx 时，0fx，所以 0 和0 x 是 f x 的极值点，所以 f x 有两个极值点（2）21xf xeaxx ，e21xfxax，设 210 xh xfxeaxx，则 2xh xea单调递增，又 01 2ha，所以当12a 时，0h x，h x 在0,上单调递增，所以 00h xh，即 0fx，f x 在0,上单调递增，所以 00f xf，符合题意.当12a 吋，令 0h x，解得ln2xa，当0,ln2xa时，0h x，h x 在0,ln2a 上单调递减，(0)0fxh xh，f x 在0,ln2a）上单调递减，所以0,ln2xa时，00f xf，不符合题意，所以 a 的取值范围是1,2 （3）由（2）可知12a 时，0f x ，0,x，即221210 xexxx，所以222e1212nnnnn ，222e12nn n，所以22222222121211 32 42neeen n 1111113242nn 111312122nn