2022新高考数学人教A版一轮总复习训练8.4直线、平面垂直的判定与性质综合集训（带解析）.doc

1、8.4直线、平面垂直的判定与性质基础篇【基础集训】考点一直线与平面垂直的判定与性质1.已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m的是()A.且mB.且mC.mn且nD.mn且n答案C2.若平面,满足,=l,P,Pl,下列命题为假命题的是()A.过点P垂直于平面的直线平行于平面B.过点P垂直于直线l的直线在平面内C.过点P垂直于平面的直线在平面内D.过点P且在平面内垂直于l的直线必垂直于平面答案B3.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF将这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H

2、,则在这个空间图形中必有()A.AG平面EFHB.AH平面EFHC.HF平面AEFD.HG平面AEF答案B4.如图,PA圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上异于A,B的一点,E、F分别是A在PB、PC上的射影,给出下列结论:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC.其中正确结论的序号是.答案5.九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EFPB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.证明:PB平面DEF.试判断四面体DBEF是不是

3、鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.考点二平面与平面垂直的判定与性质6.如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD为正方形,给出下列结论:AD平面PBC;平面PAC平面PBD;平面PAB平面PAC;平面PAD平面PDC.其中正确结论的序号是.答案7.如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.教师专用题组【基础集训】1.如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,B

4、AD=90,将ABD沿BD折起,使得平面ABD平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体中,下列说法正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ACD平面BCDC.平面ABC平面BCDD.平面ACD平面ABC答案D在四边形ABCD中,ADBC,BCD=45,ADC=135,AD=AB,BAD=90,ADB=45,BDC=90,BDCD.又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,CD平面ABD,CDAB,又ADAB,ADCD=D,AB平面ACD,又AB平面ABC,平面ABC平面ACD.故选D.2.(2018安徽亳州模拟,8)如图甲所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点

5、,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,如图乙所示,那么,在四面体A-EFH中必有()A.AH平面EFHB.AG平面EFHC.HF平面AEFD.HG平面AEF答案AAHHE,AHHF,且EHHF=H,AH平面EFH,A正确;过A只有一条直线与平面EFH垂直,B不正确;AGEF,EFAH,AGAH=A,EF平面HAG,EF平面AEF,平面HAGAEF,过H作平面AEF的垂线,一定在平面HAG内,C不正确;HG不垂直于AG,HG平面AEF不正确,D不正确.故选A.3.(2019湖北武汉4月调研,6)已知两个平面相互垂直,给出下列命

6、题:一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面;过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是()A.3B.2C.1D.0答案C构造正方体ABCD-A1B1C1D1,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1平面ABCD,A1D平面ADD1A1,BD平面ABCD,但A1D与BD不垂直,故错;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1平面ABCD,l是平面ADD1A1内任意一条直线,l与平面ABCD内和AB平行的所有直线垂直,故

7、正确;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1平面ABCD,A1D平面ADD1A1,但A1D与平面ABCD不垂直,故错;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1平面ABCD,且平面ADD1A1平面ABCD=AD,过交线AD上的任一点作交线的垂线l,则l可能与平面ABCD垂直,也可能与平面ABCD不垂直,故错.故选C.4.(2019河南安阳3月检测,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.证明(1)因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以P

8、ACD.因为ACCD,PAAC=A,所以CD平面PAC.又AE平面PAC,所以CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AEPC.由(1)知,AECD,且PCCD=C,所以AE平面PCD.又PD平面PCD,所以AEPD.因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以ABPD.又AEAB=A,所以PD平面ABE.5.(2018湖南益阳模拟,19)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,ADBC,AD=2BC,DAB=ABP=90.(1)求证:AD平面PAB

9、;(2)求证:ABPC;(3)若点E在棱PD上,且CE平面PAB,求的值.解析(1)证明:因为DAB=90,所以ADAB.因为平面PAB平面ABCD,且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD平面PAB.(2)证明:由(1)知ADAB,因为ADBC,所以BCAB.又因为ABP=90,所以PBAB.因为PBBC=B,所以AB平面PBC,因为PC平面PBC,所以ABPC.(3)如图,过E作EFAD交PA于F,连接BF.因为ADBC,所以EFBC.所以E,F,B,C四点共面.又因为CE平面PAB,且CE平面BCEF,平面BCEF平面PAB=BF,所以CEBF,所以四边形BCEF为平行四边形,所以EF=

10、BC=AD.在PAD中,因为EFAD,所以=,即=.6.(2020河南安阳二模,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AD=BD=AB=2,平面PAD底面ABCD,且PA=PD=,E,F分别为PC,BD的中点.(1)求证:EF平面PAD;(2)求证:平面PAD平面PBD;(3)求三棱锥B-PCD的体积.解析(1)证明:如图,连接AC.因为底面ABCD是平行四边形,且F是BD的中点,所以F也是AC的中点.又因为E是PC的中点,所以EFPA.因为PA平面PAD,EF平面PAD,所以EF平面PAD.(2)证明:在ABD中,因为AD=BD=AB=2,所以AD2+BD2=8=AB

11、2,则BDAD.又因为平面PAD底面ABCD,交线为AD,而BD平面ABCD,所以BD平面PAD.因为BD平面PBD,所以平面PAD平面PBD.(3)如图,取AD中点O,连接PO.PA=PD,O为AD中点,POAD.又平面PAD底面ABCD,交线为AD,PO平面ABCD.PA=PD=,AD=2,PA2+PD2=4=AD2,PAPD.PO=1,VB-PCD=VP-BCD=SBCDPO=221=.7.(2019北京西城二模文,18)如图1,在平行四边形ABCD中,O为AD的中点,BOAD.将三角形ABO沿BO折起到三角形A1BO的位置,如图2.(1)求证:BOA1D;(2)若M为A1B的中点,求证

12、:MO平面A1CD;(3)判断平面A1OD能否垂直于平面A1CD,证明你的结论.图1图2解析(1)证明:因为在题图1中,BOAD,所以在题图2中,BOA1O,BOOD,又因为A1OOD=O,A1O,OD平面A1OD,所以BO平面A1OD,又因为A1D平面A1OD,所以BOA1D.(2)证明:如图,取A1C的中点N,连接MN、DN.因为M为A1B的中点,所以MNBC,MN=BC,又因为ODBC,OD=BC,所以MNOD,MN=OD,所以四边形OMND为平行四边形,所以MODN.又因为MO平面A1CD,DN平面A1CD,所以MO平面A1CD.(3)结论:平面A1OD不可能垂直于平面A1CD.证明如

13、下:假设平面A1OD平面A1CD,在平面A1OD内过O作OEA1D于E,因为平面A1OD平面A1CD=A1D,所以OE平面A1CD.又因为CD平面A1CD,所以OECD.由(1)知BO平面A1OD,所以BOOE.又因为BO与CD相交,BO,CD平面OBCD,所以OE平面OBCD,故OE同时垂直于两个相交平面OBCD和A1CD,这显然不成立,故假设不成立.所以平面A1OD不可能垂直于平面A1CD.解后反思(1)先由线面垂直的判定定理得线面垂直,再由线面垂直的性质得线线垂直;(2)要证明线面平行,即在平面中找到一条直线与该直线平行,用线面平行的判定定理进行证明;(3)运用反证法进行证明.8.(20

14、18广东江门一模,19)如图,在直角梯形ABEF中,ABE=BAF=90,C、D分别是BE、AF上的点,且DA=AB=BC=a,DF=2CE=2a.沿CD将四边形CDFE翻折至四边形CDPQ的位置,连接AP、BP、BQ,得到多面体ABCDPQ,且AP=a.(1)求多面体ABCDPQ的体积;(2)求证:平面PBQ平面PBD.解析(1)DA=AB=BC=a,ABC=BAD=90,四边形ABCD是正方形,CDAD,CDDP,又ADDP=D,CD平面ADP.ABCD,AB平面ADP,AD2+DP2=AP2,ADDP,又CDAD,CDDP=D,AD平面CDPQ,又ADBC,BC平面CDPQ.VB-CDP

15、Q=S梯形CDPQBC=a=a3,VB-ADP=SADPAB=a2aa=,多面体ABCDPQ的体积为VB-CDPQ+VB-ADP=.(2)证明:取BP的中点G,连接GQ、DG、DQ,在ABP中,BP=2a,BG=BP=a,在BCQ中,BQ=a.PQ=a,PQ=BQ,GQBP.QG=a,又BD=AB=2a=DP,DGBP,DG=a,又DQ=a,DQ2=QG2+DG2,QGDG.又BPDG=G,QG平面PBD,又QG平面PBQ,平面PBQ平面PBD.思路分析(1)将多面体分解成三棱锥B-ADP和四棱锥B-CDPQ,分别计算两个棱锥的体积然后相加即可;(2)取BP的中点G,连接GQ、DG、DQ,根据

16、勾股定理计算各边长得出QGBP,QGDG,从而QG平面PBD,于是证得平面PBQ平面PBD.综合篇【综合集训】考法一证明直线与平面垂直的方法1.(2017课标,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC答案C2.(多选题)(2020山东泰安期末,6)已知,是两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题正确的是()A.若mn,m,则nB.若m,=n,则mnC.若m,m,则D.若m,mn,n,则答案ACD3.(多选题)(2020山东济宁一中二轮检测,6)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CD

17、E垂直的是()答案BD4.(2018课标,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.5.(2020山东临沂期末,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,ABBC,AP=AB=BC=AD,E为AD的中点,AC与BE相交于点O.(1)证明:PO平面ABCD;(2)求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.6.(2020山东普通高等学校招生全国统一考试模拟,18)已知在四棱锥P-ABCD中,ADBC,AB=BC=CD=AD,G是P

18、B的中点,PAD是等边三角形,平面PAD平面ABCD.(1)求证:CD平面GAC;(2)求二面角P-AG-C的余弦值.考法二证明平面与平面垂直的方法7.(多选题)(2020山东济宁兖州模拟,10)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,DAB=60,侧面PAD为正三角形,且平面PAD平面ABCD,则下列说法正确的是()A.在棱AD上存在点M,使AD平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90C.二面角P-BC-A的大小为45D.BD平面PAC答案ABC8.(多选题)(2020山东淄博二模,11)如图所示,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,CDE是正三角形,M为

19、线段DE的中点,点N为底面ABCD内的动点,则下列结论正确的是()A.当BCDE时,平面CDE平面ABCDB.当BCDE时,直线EA与平面ABCD所成的角的正弦值为C.当直线BM和EN异面时,点N不可能为底面ABCD的中心D.当平面CDE平面ABCD,且点N为底面ABCD的中心时,BM=EN答案AC9.(2020山东仿真联考3)如图1,在四边形ABCD中,ADBC,BAD=90,AB=2,BC=4,AD=6,E是AD上的点,AE=AD,P为BE的中点.将ABE沿BE折起到A1BE的位置,使得A1C=4,如图2.(1)求证:平面A1CP平面A1BE;(2)点M在线段CD上,当直线A1M与平面A1

20、PD所成角的正弦值为时,求二面角M-A1P-D的余弦值.10.(2019北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD平面PAC;(2)若ABC=60,求证:平面PAB平面PAE;(3)棱PB上是否存在点F,使得CF平面PAE?说明理由.教师专用题组【综合集训】考法一证明直线与平面垂直的方法1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知侧棱CC1底面ABC,M为BC的中点,AC=AB=3,BC=2,CC1=.(1)证明:B1C平面AMC1;(2)求点A1到平面AMC1的距离.解析(1)证明:在ABC中,AC=AB,M为BC的中

21、点,故AMBC,又侧棱CC1底面ABC,AM平面ABC,所以CC1AM,又BCCC1=C,BC,CC1平面BCC1B1,所以AM平面BCC1B1,又B1C平面BCC1B1,所以AMB1C.在RtBCB1中,tanB1CB=,在RtMCC1中,tanMC1C=,所以B1CB=MC1C,又B1CB+C1CB1=90,所以MC1C+C1CB1=90,即MC1B1C,又AMB1C,AMMC1=M,AM,MC1平面AMC1,所以B1C平面AMC1.(2)由(1)知AMMC1,设点A1到平面AMC1的距离为h,由于=,所以h=SAMCCC1,于是h=,所以点A1到平面AMC1的距离为.2.(2017重庆巴

22、蜀中学三模)如图,平面ABCD平面ADEF,四边形ABCD为菱形,四边形ADEF为矩形,M,N分别是EF,BC的中点,AB=2AF,CBA=60.(1)求证:DM平面MNA;(2)若三棱锥A-DMN的体积为,求MN的长.解析(1)证明:连接AC,在菱形ABCD中,CBA=60,AB=BC,ABC为等边三角形,又N为BC的中点,ANBC,BCAD,ANAD,又平面ABCD平面ADEF,AN平面ABCD,平面ABCD平面ADEF=AD,AN平面ADEF,又DM平面ADEF,DMAN.在矩形ADEF中,AD=2AF,M为EF的中点,AMF为等腰直角三角形,AMF=45,同理,DME=45,DMA=9

23、0,DMAM,又AMAN=A,且AM,AN平面MNA,DM平面MNA.(2)设AF=x,则AB=2AF=2x,在RtABN中,AB=2x,ABN=60,AN=x,SADN=2xx=x2.平面ABCD平面ADEF,AD为平面ABCD与平面ADEF的交线,FAAD,FA平面ABCD,设h为点M到平面ADN的距离,则h=AF=x,VM-ADN=SADNh=x2x=x3,VM-ADN=VA-DMN=,x=1,AN平面ADEF,AM平面ADEF,ANAM.MN=.3.(2018四川成都二诊,19)如图,D是AC的中点,四边形BDEF是菱形,平面BDEF平面ABC,FBD=60,ABBC,AB=BC=.(

24、1)若点M是线段BF的中点,证明:BF平面AMC;(2)求六面体ABCEF的体积.解析(1)证明:连接MD,FD.四边形BDEF为菱形,且FBD=60,DBF为等边三角形.M是BF的中点,DMBF.ABBC,AB=BC=,又D是AC的中点,BDAC.平面BDEF平面ABC=BD,平面BDEF平面ABC,AC平面ABC,AC平面BDEF.又BF平面BDEF,ACBF.由DMBF,ACBF,DMAC=D,得BF平面AMC.(2)S菱形BDEF=2BDBFsin60=.由(1)知AC平面BDEF,则V四棱锥C-BDEF=S菱形BDEFCD=1=,V六面体ABCEF=2V四棱锥C-BDEF=.考法二证

25、明平面与平面垂直的方法1.(2018四川泸州模拟,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是梯形,ABDC,ABC=90,AD=SD,BC=CD=AB,侧面SAD底面ABCD.(1)求证:平面SBD平面SAD;(2)若SDA=120,且三棱锥S-BCD的体积为,求侧面SAB的面积.解析(1)证明:设BC=a,则CD=a,AB=2a,由题意知BCD是等腰直角三角形,且BCD=90,则BD=a,CBD=45,所以ABD=ABC-CBD=45,在ABD中,AD=a,因为AD2+BD2=4a2=AB2,所以BDAD,由于平面SAD底面ABCD,平面SAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,所

26、以BD平面SAD,又BD平面SBD,所以平面SBD平面SAD.(2)由(1)可知AD=SD=a,在SAD中,SDA=120,SA=2SDsin60=a,作SHAD,交AD的延长线于点H,则SH=SDsin60=a,由(1)知BD平面SAD,因为SH平面SAD,所以BDSH,又ADBD=D,所以SH平面ABCD,所以SH为三棱锥S-BCD的高,所以VS-BCD=aa2=,解得a=1,由BD平面SAD,SD平面SAD,可得BDSD,则SB=2,又AB=2,SA=,在等腰三角形SBA中,边SA上的高为=,则SAB的面积为=.2.(2020四川内江、广安、遂宁、乐山等九市二诊,19)如图,在四棱锥P-

27、ABCD中,底面ABCD是菱形,BAD=60,PAD是边长为2的正三角形,PC=,E为线段AD的中点.(1)求证:平面PBC平面PBE;(2)是否存在满足=(0)的点F,使得VB-PAE=VD-PFB?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:连接CE,底面ABCD是菱形,BAD=60,ABD为等边三角形,又E为AD的中点,BEAD,而BCAD,则BCBE.由PAD是边长为2的正三角形,得BE=,BC=2,则EC2=22+()2=7.又PE=,PC=,PE2+EC2=PC2,即PEEC.PEAD,ADEC=E,PE平面ABCD,则PEBC,又BCBE,且BEPE=E,BC平面PB

28、E,而BC平面PBC,平面PBC平面PBE.(2)假设存在满足=(0)的点F,使得VB-PAE=VD-PFB,VB-PAE=VP-ABE=SABEPE=1=.VD-PFB=VB-PDF=VB-PDC=VP-BDC=22sin60=.由=,解得=2.存在满足=(0)的点F,使得VB-PAE=VD-PFB.思路分析(1)根据边的关系得到PEEC,由面面垂直的判定可得平面PBC平面PBE;(2)先假设存在满足=(0)的点F,使得VB-PAE=VD-PFB,分别求出三棱锥B-PAE的体积与三棱锥D-PFB的体积,由已知等量关系求得=2,符合条件说明存在.3.(2018陕西西安八校第一次联考)在四棱锥P

29、-ABCD中,PA平面ABCD,ABC是正三角形,AC与BD的交点为M,又PA=AB=4,AD=CD,CDA=120,点N是CD的中点.(1)求证:平面PMN平面PAB;(2)求点M到平面PBC的距离.解析(1)证明:在正ABC中,有AB=BC,在ACD中,有AD=CD,又BD=BD,ADBCDB,所以M为AC的中点,因为点N是CD的中点,所以MNAD,因为PA平面ABCD,所以PAAD,因为CDA=120,所以DAC=30,因为BAC=60,所以BAD=90,即BAAD,因为PAAB=A,所以AD平面PAB,所以MN平面PAB,又MN平面PMN,所以平面PMN平面PAB.(2)设M到PBC的距离为h,在RtPAB中,PA=AB=4,所以PB=4,在RtPAC中,PA=AC=4,所以PC=4,在RtPBC中,PB=4,PC=4,BC=4,所以SPBC=4,由VM-PBC=VP-BMC得4h=24,解得h=.