2022春八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形19.3 正方形阶段强化专训（新版）华东师大版.doc

1、专训1正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可 利用正方形的性质解决线段和差问题1已知：在正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，易证：BMDNMN.当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图，请问图中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由(2)当MAN绕点A旋转到如图的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明(第1题) 利用正方形

2、的性质证明线段位置关系2如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DECF，连结DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AMDF.(第2题) 正方形性质与判定的综合运用3如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半？并说明理由(第3题)专训2特殊平行四边形性质与判定的灵活运

3、用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加一些条件进行判定 矩形的综合性问题a矩形性质的应用1如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，使点B落到点B的位置，AB与CD交于点E.(1)试找出一个与AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB8，DE3，P为线段AC上的任意一点(不与A，C重合)，PGAE于点G，PHEC于点H，试求PGPH的值(第1题)b矩形判定的应用2如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连结OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OEBC.(第2题)c矩形性质和判定的应用3如图

4、，在ABC中，ABAC，点P是BC上任意一点(不与B，C重合)，PEAB，PFAC，BDAC.垂足分别为E，F，D.(1)求证：BDPEPF.(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变如图，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由(第3题) 菱形的综合性问题a菱形性质的应用4已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.(1)求证：AEEC.(2)当ABC60，CEF60时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由(第4题)b菱形判定的应用5如图，CE是ABC外角ACD的平分线AFCD交CE于点F，FGAC交CD

5、于点G.求证：四边形ACGF是菱形(第5题)c.菱形性质和判定的应用6(中考江西)(1)如图，平行四边形纸片ABCD中，AD5，SABCD15.过点A作AEBC，垂足为E，沿AE剪下ABE，将它平移至DCE的位置，拼成四边形AEED，则四边形AEED的形状为()A平行四边形 B菱形C矩形 D正方形(2)如图，在(1)中的四边形纸片AEED中，在EE上取一点F，使EF4，剪下AEF，将它平移至DEF的位置，拼成四边形AFFD.求证：四边形AFFD是菱形；求四边形AFFD的两条对角线的长(第6题) 正方形的综合性问题a正方形性质的应用7(中考凉山州)如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连

6、结AG，DEAG于E，BFDE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由(第7题)b正方形判定的应用8两个长为2 cm，宽为1 cm的矩形摆放在直线l上(如图)，CE2 cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转度，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度(1)当旋转到顶点D，H重合时(如图)，连结AE，CG，求证：AEDGCD；(2)当45时(如图)，求证：四边形MHND是正方形(第8题)答案1解：(1)BMDNMN成立证明如下： 如图，过点A作AEAN，交CB的延长线于点E, 易证ABEADN，BEDN，AEAN. 又NAM45，EAMNAM45，又AMAM，EAM

7、NAM.MEMN.MEBEBMDNBM ，BMDNMN .(2)DNBMMN.证明如下： 如图，在DN上截取DEBM，连结AE.四边形ABCD是正方形，ABMD90，ABAD.又BMDE，ABMADE.AMAE，BAMDAE.BAMEABDAEEABDAB90，MAE90.MAN45，EAN45.MANEAN.又AMAE，ANAN，AMNAEN.MNEN.DNDEENBMMN.DNBMMN. (第1题)2证明：AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，ACBD，OAODOCOB.DECF，OEOF.在AOE与DOF中，AOEDOF.OAEODF.DOF90，DFOODF90.DFOOAE90.A

8、MF90，即AMDF.3(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABBCCDDA.又不管滚动多长时间，APBQCRDS，SAPBQCRD.ASPBPQCQRDRS.PSQPRQSR，ASPBPQ.不管滚动多长时间，连结四个小球所得的四边形PQRS总是菱形又APSASP90，APSBPQ90.QPS180(APSBPQ)1809090.不管滚动多长时间，连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形(2)解：当P，Q，R，S在出发时或到达终点时面积最大，此时的面积就等于正方形ABCD的面积(3)解：当P，Q，R，S四点运动到正方形ABCD四边中点时，四边形PQRS的面积是正方形ABCD面积

9、的一半理由：设正方形ABCD的边长为a.当PS2a2时，在RtAPS中，ASaSDaAP.由勾股定理，得AS2AP2PS2，即(aAP)2AP2a2，解得APa.同理可得BQCRSDa.当P，Q，R，S四点运动到正方形ABCD各边中点时，四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半1解：(1)AEDCEB.证明：四边形ABCD是矩形，BCDA，BD.由折叠可知BCBC，BB，BCDA，BD.在AED和CEB中，AEDCEB.(第1题)(2)如图，延长HP交AB于点M，则PMAB.12，PGAB，PMAB，PMPG.CDAB，23，13，AECE835.在RtADE中，DE3，AE5，AD4.

10、PMPHAD，PGPHAD4.2证明：(1)DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形四边形ABCD是菱形，ACBD.DOC90.四边形OCED是矩形(2)四边形ABCD是菱形，BCCD.四边形OCED是矩形，OECD，OEBC.(第3题)3(1)证明：如图，过点B作BHFP交FP的延长线于点H.BDAC，PFAC，BHPF，四边形BDFH是矩形BDHF.ABAC，ABCC.PEAB，PFAC，PEBPFC90.EPBFPC.又HPBFPC，EPBHPB.PEAB，PHBH，PEBPHB90.又PBPB，PEBPHB.PEPH，BDHFPFPHPFPE.即BDPEPF.(2)解：不成立理由

11、：过点B作BHPF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PEPH，BDHF.PEFHPFBDPF.(第4题)4(1)证明：连结AC，如图BD是菱形ABCD的对角线，BD是线段AC的垂直平分线，AEEC.(2)解：点F是线段BC的中点理由：四边形ABCD是菱形，ABCB.又ABC60，ABC是等边三角形，BAC60.AEEC，EACACE.CEF60，EAC30，EACEAB.AF是ABC的角平分线BFCF.点F是线段BC的中点(第5题)5证明：如图，AFCD，FGAC，四边形ACGF是平行四边形CE平分ACD，12.AFCD，23.13.AFAC.四边形ACGF是菱形6(1)C(2)证明：由平

12、移可知AF DF，四边形AFFD是平行四边形SABCDADAE15，AD5，AE3.AE3，EF4，E90，AF5.AD5，ADAF，四边形AFFD是菱形解：如图，连结AF，DF，在RtAEF中，AE3，EFEFFF459，AF.在RtDFE中，FEEEEF541，DEAE3，DF，四边形AFFD的两条对角线的长分别是和.(第6题)7解：线段AF，BF，EF三者之间的数量关系是AFBFEF，理由如下：四边形ABCD是正方形，ABAD，DABABC90.DAEBAF90.DEAG于E，BFDE交AG于F，AFBDEFDEA90，ADEDAE90，ADEBAF.在ABF和DAE中，ABFDAE.BFAE.AFAEEF，AFBFEF.8证明：(1)CDCEDE2 cm，CDE60.又四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，ADCGDE90，ADEGDC150.在AED和GCD中，AEDGCD.(2)45，NCENEC45，CNE90，CNNE，HND90.HDHND90，四边形MHND是矩形又CDHE，CNNE，NDHN.四边形MHND是正方形