2023年新教材高考数学一轮复习 课时规范练24 正弦定理和余弦定理及其应用（含解析）新人教B版.docx

1、课时规范练24正弦定理和余弦定理及其应用基础巩固组1.(2021北京西城高三月考)在ABC中,若b=4,c=3,cos B=-35,则sin C的值等于()A.512B.34C.35D.452.(2021福建漳州高三期中)在ABC中,c2=bccos A+accos B+abcos C,则此三角形必是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形3.在ABC中,若B=2A,b=32a,则cos A的值等于()A.14B.13C.23D.344.(2021安徽安庆高三期中)在ABC中,若AB=2,AC=3,ABAC=3,则BC=()A.3B.7C.19D.235.(2021四川成都

2、高三月考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足6a=4b=3c,则sin2CsinA-sinB的值为()A.-2B.2C.-8D.86.(多选)(2021广东深圳高三月考)在ABC中,下列说法正确的是()A.若AB,则|cos B|cos A|B.若a2+b2c2,则ABC为锐角三角形C.等式a=bcos C+ccos B恒成立D.若ABC=114,则abc=1137.(2021天津耀华中学高三月考)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.8.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然

3、后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的119倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1 040 m,BC=500 m,则sinBAC等于.9.在ABC中,AB=2,若BCCA=12,则A的最大值是.综合提升组10.(2021福建厦门高三月考)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且ac=2+bcosAccos(A+C),则B的大小为()A.6B.3C.23D.5611.如图,在ABC中,cosBAC=-13,AC=2,D是边BC上的点,且BD=2DC,AD=DC,则AB等于.12.(2021广东广州高三二模)如图

4、,在四边形ABCD中,CD=33,BC=7,cosCBD=-714.(1)求BDC;(2)若A=3,求ABD周长的最大值.创新应用组13.(2021河北石家庄高三月考)设ABC的面积为S,若4cos 2A-1=cos 2B+2cos 2C,则SABAC的最大值为()A.32B.33C.156D.6614.(2021重庆一中高三月考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3a2=(c+b)(c-b),则tan Atan B的取值范围是.课时规范练24正弦定理和余弦定理及其应用1.C解析:由正弦定理得bsinB=csinC,由于cosB=-35,所以sinB=45,于是sinC=cs

5、inBb=3454=35,故选C.2.B解析:由c2=bccosA+accosB+abcosC,则c2=bcb2+c2-a22bc+aca2+c2-b22ac+aba2+b2-c22ab,即c2=a2+b2+c22,整理可得a2+b2=c2,所以ABC为直角三角形,故选B.3.D解析:由B=2A得sinB=sin2A,即sinB=2sinAcosA,所以cosA=sinB2sinA=b2a=32a2a=34,故选D.4.B解析:由AB=2,AC=3,ABAC=3,可得23cosA=3,所以cosA=12.由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=22+32-22312=7,故B

6、C=7,故选B.5.B解析:由于sin2CsinA-sinB=2sinCcosCsinA-sinB=2ca-bcosC=-8cosC,而cosC=a2+b2-c22ab=a2+(3a2)2-(2a)22a3a2=-14,故sin2CsinA-sinB=-8-14=2,故选B.6.ACD解析:对于A,在ABC中,若AB,则sinAsinB0,所以cos2Bcos2A,可得|cosB|cosA|,故选项A正确;对于B,由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab0只能判断角C为锐角,但得不出ABC为锐角三角形,故选项B不正确;对于C,由正弦定理可得sinA=sinBcosC+sinCcosB,右

7、边sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA等于左边,显然成立,故选项C正确;对于D,因为ABC=114,所以A=B=6,C=23,由正弦定理可得abc=sinAsinBsinC=121232=113,故选项D正确,故选ACD.7.1解析:sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2acosAc=24652+62-42256=1.8.513解析:依题意,设乙的速度为xm/s,则甲的速度为119xm/s,因为AB=1040m,BC=500m,所以ACx=1040+500119x,解得AC=1260.在ABC中,由余弦定理得,cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC

8、=10402+12602-5002210401260=1213,所以sinBAC=1-cos2BAC=1-(1213)2=513.9.4解析:因为BCCA=12,所以abcosC=-12,由余弦定理得aba2+b2-42ab=-12,得a2+b2=3.由余弦定理可得cosA=b2+4-a24b=b2+4-(3-b2)4b=2b2+14b=b2+14b2b214b=22,当且仅当b2=14b,即b=22时,等号成立,此时cosA取得最小值22.又因为y=cosx在(0,)上单调递减,所以A的最大值是4.10.B解析:因为ac=2+bcosAccos(A+C),所以sinAsinC=2+sinBc

9、osAsinCcos(-B),即sinAsinC=2-sinBcosAsinCcosB,所以sinAcosB=2sinCcosB-sinBcosA,所以sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB,即sin(A+B)=2sinCcosB,所以sinC=2sinCcosB.又C(0,),所以sinC0,所以cosB=12.又B(0,),所以B=3,故选B.11.3解析:设AD=m,则有CD=m,BD=2m,BC=3m.在ABC中,由余弦定理BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC,得9m2=AB2+4+43AB.在ADB中,由余弦定理AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB

10、,得AB2=5m2+4m2cosADC.在ADC中,由余弦定理AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC,得4=2m2-2m2cosADC,消去cosADC,得AB2+8=9m2,从而得AB2+8=AB2+4+43AB,解得AB=3.12.解(1)在BCD中,cosCBD=-714,sinCBD=1-(-714)2=32114,由正弦定理得CDsinCBD=BCsinBDC,sinBDC=BCsinCBDCD=73211433=12.又CBD为钝角,BDC为锐角,BDC=6.(2)在BCD中,由余弦定理得cosCBD=BC2+BD2-CD22BCBD=7+BD2-2727BD=-714,解

11、得BD=4或BD=-5(舍去).在ABD中,A=3,设AB=x,AD=y.由余弦定理得cosA=AB2+AD2-BD22ABAD=x2+y2-162xy=12,即x2+y2-16=xy,整理得(x+y)2-16=3xy.由均值不等式得(x+y)2-16=3xy3(x+y)24,即(x+y)2416,所以(x+y)264,当且仅当x=y=4时,等号成立,即(x+y)max=8,所以(AB+AD+BD)max=8+4=12,故ABD周长的最大值为12.13.C解析:因为4cos2A-1=cos2B+2cos2C,所以4(1-2sin2A)-1=1-2sin2B+2(1-2sin2C),整理得4si

12、n2A=sin2B+2sin2C,即4a2=b2+2c2,a2=14b2+12c2.于是cosA=b2+c2-a22bc=34b2+12c22bc234b212c22bc=64,当且仅当b=c时,等号成立.因为SABAC=12bcsinAbccosA=12sinAcosA=121cos2A-1,所以当cosA=64时,SABAC取得最大值121(64)2-1=156,故选C.14.0,12解析:由题意得3a2=(c+b)(c-b),根据余弦定理得bcosC+a=0,所以由正弦定理得sinBcosC+sinA=0,即sinBcosC+sin(C+B)=0,化简得tanC=-2tanB.又0B0.又tanAtanB=-tan(B+C)tanB=-tanB+tanC1-tanBtanCtanB=-tanB+(-2tanB)1-tanB(-2tanB)tanB=11tan2B+2,所以0tanAtanB12.