河南省十市2023届高三下学期开学考试数学（理）试卷 含答案.doc

1、高三理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3.考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效4. 本试卷主要命题范围：高考范围一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则MN（ ）A.B.C.D.2.已知复数是纯虚数，则m（ ）A.

2、3B.1C1D.33.古代名著九章算术中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km，上底面的边长为40km，若水库的最大蓄水量为，则水库深度（棱台的高）为（ ）A.10mB.20mC.30mD.40m4.已知抛物线C：，过焦点F的直线与C在第四象限交于M点，则|MF|（ ）A.3B.4C.5D.65.记为等差数列的前n项和，已知，则（ ）A.3B.C.2D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（ ）A.14B.15C.16D.177.某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x1234567在线外卖规模y（百万元）

3、1113182835其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23，若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点（7，35）的残差为0.6，则（ ）A.1.0B.2.0C.3.0D4.08.已知的展开式中的系数为40，则实数m（ ）A.4B2C.2D.49. 记函数的最小正周期为T，若，且函数f（x）的图象关于点（，3）对称，则当取最小值时，（ ）A.2B.1C1D.210. 已知曲线在点A处的切线，与x轴交于点B，曲线在点C处的切线与x轴交于点D，若，则的最小值为（ ）A.B.C.2D.311.已知F是双曲线E的右焦点，O为坐标原点，A是E的右支上一点，若，则E的离心率为（

4、 ）A.B.C.D.212.已知函数f（x），g（x）的定义域为R，且，若g（x）为偶函数，则（ ）A.24B.26C.28D.30二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量，若，则实数a_14.写出与圆和都相切的一条直线的方程_15.已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为_16.现取长度为2的线段MN的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆，所有半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所有半圆的面积之和为，以此类推，则_三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

5、，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，（1）证明：为定值；（2）若，求ABC的周长18.（12分）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间50，100中，并将数据分组，制成如下频率分布表：分数50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频率0.150.25m0.300.10（1）试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用

6、该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在70，100的人数，求X的分布列与数学期望19.（12分）在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，（1）证明：平面PCD平面PBC；（2）若，求二面角的余弦值20.（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴分别为x轴、y轴，且过A（1，0），B（，1）两点（1）求E的方程；（2）设F为椭圆E的一个焦点，M，N为椭圆E上的两动点，且满足，当M，O，N三点不共线时，求MON的面积的最大值21.（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）若是f（x）的两个极值点，证明（

7、二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.选修：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（1）求曲线C的普通方程；（2）若l与C有两个不同公共点，求m的取值范围23.选修45：不等式选讲（10分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）设函数，若对任意，都存在，使得成立，求实数a的取值范围高三理科数学参考答案、提示及评分细则1.D因为，所以2.B，由题意可知，解得3.A设水库深度为hkm，由题意，解得，即4.C由题意可知，F的坐标为（

8、1，0），则1，所以，则抛物线C的方程为，设，由，解得，所以5.D设等差数列的公差为d，由，得，解得，则，所以6.B由题知，时，开始出现，故输出的k的值为157.B，所以因为相应于点（7，35）的残差为0.6，则点（7，35.6）在回归直线，即，解得，则8.A 法一：的展开式中的项只有和，因此的系数为，由题意可知，解得法二：因为，若，则k3，r3或k4，r5，所以的系数为，解得9.D由题意可知，由，得，所以，因为，所以，又函数f（x）的图象关于点（，3）对称，所以，所以，当时，取得最小值4，则，故10.C法一：设，则所以直线AB的方程为，令，得x，则，所以，设，则，同理|CD|，由得，所以，则

9、，所以，令，则，则，令，解得，令，解得，所以h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，）上单调递增，则，所以的最小值为法二，当且仅当，即时两个“”同时成立，所以|AB|1CD|的最小值为11.A法一：若点A是E的右顶点，则，又，得，这是不可能的不妨设点在第一象限，由题意可知，则，所以，在OAF中，则，则，将点（，）代入E的方程得，整理得，即，所以，则，所以E的离心率为法二：设点在第一象限，由题意可知，|OF|c，则，所以，有中，则，由双曲线的第二定义可知，即，解得，所以，因此E的离心率为12.B因为g（x）为偶函数，所以，由，得，所以f（3x），则f（x）的图象关于直线对称由，得，将其代入g（x

10、），得，则，所以，则，所以，则g（x）的一个周期为8，由，得，由，由，得，由，得，2，则，13.，由，得，解得14.或或（答案不唯一，3个中任填一个即可）易知圆和外切，显然与这两圆都相切设直线与圆和都相切，则且，所以，令，则，解得或t3，当时，解得，此时，直线方程为；当时，解得，当时，b；当时，所以直线方程为或15.四棱锥的底面内接于圆，当底面为正方形时，底面面积最大（论证如下：设底面四边形ABCD的外接圆半径为r，AC与BD的夹角为，则四边形ABCD的面积，当且仅当四边形ABCD是正方形时，四边形ABCD的面积取到最大值）要使四棱锥的体积最大，则从顶点作底面的垂线过球心O，该四棱锥为正四棱锥

11、，设底面的边长为a，四棱锥的高为h，底面外接圆的半径为，由题意可知，即，所以，则，四棱锥的体积为，令，则，由，得，由，得，由x（，4），得，所以在上单调递增，在上单调递减，则当时，f（x）取得极大值，也就是最大值，此时16.易知，在第n个图中，从第2个半圆起，每个半圆的面积为前一个半圆面积的，则，设，由得，所以，故17.（1）证明：由题知所以，则，由正弦定理得，3分由余弦定理得，整理得，故为定值，得证6分（2）解：由及余弦定理可知，又，所以，则9分又，所以，故ABC的周长为12分18.解：（1）由频率分布表可知2分这200份问卷得分的平均值估计为4分（2）从该校学生中随机抽取1人，此人得分在7

12、0，100的概率为，由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5分所以X的分布列为X01234P10分所以，（或E）12分19.（1）证明：连结BD，因为PD底面ABCD，BC平面ABCD，所以1分因为，所以，又，所以，则2分又，PD平面PCD，CD平面PCD，所以BC平面PCD，3分以BC平面PBC，故平面PCD平面PBC4分（2）解：延长AD与过C且平行于AB的直线交于点E，设，则，过C作CFAB，则，所以，联立解得（舍去），或6分以D为坐标原点，以DA，DP所在直线分别为x轴，z轴，以过D点且平行于AB的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，0，0），B，4，0），P

13、（0，0，4），C，所以8分 设平面PAB的一个法向量为，由，得，取，则9分设平面PBC的一个法向量为，由，得取，则10分于是，故二面角PABC的余弦值为12分20.解：（1）设E的方程为，由题意可知，解得2分故E的方程为3分（2）由椭圆的对称性，不妨设F为下焦点，则F（0，1），所，因为，所以直线MN的斜率为1，设直线MN的方程为，4分由，消去y并整理得，则，所以且6分，所以8分原点O到直线MN的距离为，9分则MON的面积为，当且仅当，即，MON的面积大11分显然满足且，所以MON的面积的最大值为12分21.解：（1）易知f（x）的定义域为1分当时，由，得，由，解得（舍去）时，时，所以f（x

14、）在上单调递增，在）上单调递减2分当时，所以f（x）在（0，）上单调递增3分当时，所以f（x）在上单调递增4分当时，由，得，时，时，所以f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增5分（2）由（1）可知是方程的两根，则6分将代入上式可得7分要证明，需证，即证，8分因为，所以，只需证明，设，则，只需证明，即证10分令，则，所以g（t）在（1，）上单词递减，可得，所以故12分22.解：（1）因为，且2分所以，则曲线C的普通方程为5分（2）由，化为直角坐标方程为6分由消去y并整理得8分则 解得，故m的取值范围为（2，）10分23.解：（1）2分当时，由，得；当时，恒成立；当时，由，得综上，的解集为5分（2）因为对任意，都存在，使得，所以6分又，等号都能取到8分所以，解得，所以实数a的取值范围是，10分