2022版新教材数学必修第二册人教A版学案：6-2-4 向量的数量积 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。62.4向量的数量积如图所示，两位同学拉车，沿着绳子方向上的合力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为.【问题1】合力F所做的功如何计算？【问题2】合力F所做的功是向量还是数量？【问题3】合力F与车的位移是s的夹角的取值范围对功W有什么影响？1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角(如图所示).(2)三种特殊情况：a与b的夹角a与b的关系0a与b同向a与b反向a与b垂直，记作ab等边ABC中，向量，的

2、夹角是60吗？提示：向量，的夹角是120.2平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为_0_对向量数量积的理解(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘

3、积ab是不同的，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作ab，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“”代替3投影与投影向量(1)变换：变换图示设a，b是两个非零向量，a，b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到(2)结论：称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量(3)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，则向量a在向量b上的投影向量为cos_e4向量数量积的性质(1)条件：设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量(2)性质：aeeacos_abab0当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时

4、，ab|a|b|特别地，aa|a|2或|a|.|ab|a|b|向量数量积性质的应用(1)abab0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算(2)aaa2|a|2与|a|也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)用cos 求两向量的夹角，且夹角的取值与ab的符号有关(4)|ab|a|b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题5向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc对于向量a，b，c，等式(ab)ca(bc)一定成立吗？提示：不一定成立，因为若(ab)c0，其方向与c相同或相反，而a(bc)0时其方向与a相同或

5、相反，而a与c方向不一定相同或相反，故该等式不一定成立1如果ab0，则必有a0或b0吗？2aa常记作a2，由a2b2能推出ab或ab吗？3若ab0，则a和b的夹角为锐角吗？4向量a在b上的投影向量是一个模等于|acos |(是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量吗？提示：1.不一定2.不一定3.不一定4.是阅读教材第20页，对向量数量积运算的运算律(3)的证明过程，你能借助投影向量说明下面这个推理是否正确吗？对于向量a，b，c，若c0，acbc，则ab.提示：该推理不正确即acbc且c0不能推出ab.如图，由投影向量的定义及数量积公式，易知acbc，但显然ab.1已知单位向量a，b，夹

6、角为60，则ab()A B C1 D【解析】选A.ab11cos 60.2设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|()A. B C D【解析】选B.因为|a2b|2|a|24ab4|b|21443，所以|a2b|.基础类型一向量数量积和投影向量(数学抽象)1已知等边ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为()A B C2 D22已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_3如图所示，四边形ABCD为平行四边形，|6，|4.若点M，N满足3，2.(1)用，表示，；(2)求.【解析】1.选A.在等边ABC中，因为A60，所以向量在向量方向

7、上的投影向量为，所以向量在向量方向上的投影向量为.2由题设知|e1|e2|1且e1e2，所以b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e3286.答案：63由题设知：，所以|2|236169.1向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算2求投影向量的方法(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量(2)首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角，然后依据公式cos e计算微提醒

8、：数量积的定义中要注意两向量的夹角一定要同起点两向量夹角的范围是0，.基础类型二求向量的模(数学运算)【典例】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求|ab|；(2)求向量a在向量ab方向上的投影向量的模【解析】(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.因为|a|4，|b|3，所以ab6，所以|ab|.(2)因为a(ab)|a|2ab42610，所以向量a在向量ab方向上的投影向量的模为.【备选例题】 已知a，b是非零向量，t为实数，设uatb.(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？【解析】(1

9、)|u|2|atb|2(atb)(atb)|b|2t22(ab)t|a|2|b|2|a|2.因为b是非零向量，所以|b|0，所以当t时，|u|atb|的值最小(2)垂直因为b(atb)abt|b|2ababab0，所以b(atb)，即bu.【知识拓展】关于向量模的最值问题解答此类问题通常分以下两步(1)依据数量积及其运算性质，建立所求量关于某个变量的函数；(2)利用有关函数的图象和性质求最值1求向量的模的依据和基本策略(1)依据：aaa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(2)基本策略：求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方2拓展

10、公式(1)(ab)2|a|22ab|b|2.(2)(ab)(ab)|a|2|b|2.已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，求|b|.【解析】因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210.又因为向量a与b的夹角为45且|a|1，所以41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去).【加固训练】 已知向量a，b满足|b|5，|2ab|5，|ab|5，则|a|_【解析】由已知有将b2|b|225代入方程组，解得|a|.答案：综合类型向量的夹角与垂直问题(逻辑推理)向量的夹角问题已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与

11、ke1e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为钝角，则k的取值范围为_.【解析】因为e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，所以(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，所以k0.当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0且k1.答案：(0，1)(1，)因为e1ke2与ke1e2的夹角为钝角，所以(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，所以k0.当k1时，e1ke2与ke1e2方向相反，它们的夹角为，不符合题意，舍去综上，k的取值范围是k0

12、且k1.答案：(，1)(1，0)点拨：题两个向量的夹角为锐角时，这两个向量的数量积大于0且这两个向量不共线；题两个向量的夹角为钝角时，这两个向量的数量积小于0且这两个向量不共线求向量夹角的基本步骤【加固训练】 已知|a|1，ab，(ab)(ab).(1)求|b|的值；(2)求向量ab与ab夹角的余弦值【解析】(1)(ab)(ab)a2b2.因为|a|1，所以1|b|2，所以|b|.(2)因为|ab|2a22abb2122，|ab|2a22abb2121，所以|ab|，|ab|1.令ab与ab的夹角为，则cos ，即向量ab与ab夹角的余弦值是.向量的垂直问题【典例】已知向量a，b的夹角为，|a

13、|1，|b|2.(1)求ab的值；(2)若2ab和tab垂直，求实数t的值【解析】(1)abcos 121；(2)因为2ab和tab垂直，所以(2ab)(tab)0，即2ta2abb20，所以2t(2t)40，所以t2.向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是abab0，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题【加固训练】 已知向量a，b不共线，且|2ab|a2b|，求证：(ab)(ab).【证明】因为|2ab|a2b|，所以(2ab)2(a2b)2，即4a24abb2a24ab4b2，所以a2b2.所以(ab)(ab)a2b20.又a与b不共线，ab0，ab0，所以(

14、ab)(ab).创新思维利用向量运算判断平面内点、线的位置关系(逻辑推理)【典例】已知点P是ABC所在平面内一点，有下列四个等式：甲：0；乙：()()；丙：|；丁：.如果只有一个等式不成立，则该等式为()A甲 B乙 C丙 D丁【解析】选B.对于甲：0，设M是BC的中点，则2，所以2，故P点是AM的靠近M的三等分点，即该三角形的重心；对于乙：()()，移项整理得()0，即0，故ABAC，所以ABC是直角三角形；对于丙：|，则P为ABC的外心；对于丁：.则()0，所以PBCA，同理可得PABC，PCAB，所以P为ABC的垂心，如果只有一个等式不成立，则该等式为乙【思维难点】依据向量运算判断平面内点

15、、线的位置关系，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向【加固训练】O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若()(2)0，则ABC是()A以AB为底边的等腰三角形B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形D以BC为斜边的直角三角形【解析】选B.设BC的中点为M，则化简()(2)0，得到()(2)20，即0，所以，所以AM是ABC的边BC上的中线，也是高，故ABC是以BC为底边的等腰三角形1若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为60，则aaab等于()A

16、B C1 D2【解析】选B.aaab|a|2|a|b|cos 601.2若|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，记向量a在向量b方向上的投影向量为，则|()A4 B3 C2 D1【解析】选D.设向量a与向量b的夹角为，与b方向相同的单位向量为e，则a在b方向上的投影向量|a|cos e，则|a|cos |2cos 120|1.3已知非零向量a，b，若a2b与a2b互相垂直，则()A B4 C D2【解析】选D.因为(a2b)(a2b)a24b20，所以|a|2|b|，所以2.4已知|a|2，|b|3，当：(1)a与b的夹角为60；(2)ab；(3)ab时，分别求ab.【解析】(1)当a与b的夹角为60时，ab|a|b|cos 23cos 603.(2)当ab，即a与b的夹角为90时，ab|a|b|cos 23cos 900.(3)当ab，即a与b的夹角0或180，若0，则ab|a|b|cos 23cos 06；若180，则ab|a|b|cos 23cos 1806.关闭Word文档返回原板块