2022版新教材数学必修第二册人教A版学案：6-3-2 平面向量的正交分解及坐标表示 6-3-3平面向量加、减运算的坐标表示 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。63.2平面向量的正交分解及坐标表示63.3平面向量加、减运算的坐标表示在物理的学习中我们知道：飞机沿仰角为的方向起飞的速度v，可分解为水平方向的速度v cos 和竖直方向的速度v sin .【问题1】平面向量基本定理中，如何选择基底，更有利于用基底表示其他向量？【问题2】在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量，根据平面向量基本定理，有xiyj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？1平面

2、向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标表示建系选底在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取i,j作为基底线性表示对于平面内的任意一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj定义坐标有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.叫做向量a的坐标表示特例i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0)对平面向量坐标的认识(1)向量的坐标就是终点A的坐标(x，y)；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y).因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可

3、以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的(2)两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即abx1x2且y1y2，其中a(x1，y1)，b(x2，y2).(3)符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y).3平面向量加、减运算的坐标表示条件a=(x1,y1),b=(x2,y2)结论a+b=(x1+x2,y1+y2);a-b=(x1-x2,y1-y2);语言表述两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)4.向量坐标与点的坐标的联系(1)条件：O(0，

4、0)，A(x1，y1) ，B(x2，y2)，(2)结论：(x1，y1)，(x2，y2)，(x2x1，y2y1)(3)语言表述：以原点为起点的向量的坐标等于其终点坐标；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标向量坐标与点的坐标的区别是什么？提示：(1)表示形式不同向量a(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号(2)意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向1相等向量的坐标是相同的吗？2相等向量的起点和终点的坐标可以不同吗？3向量可以平移，平移前后它的坐标发生

5、变化吗？4若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)”对吗？提示：1.相同2.可以3.不变4.不对解答教材第30页练习2，你能得到什么一般的结论？提示：互为相反向量的两个向量，坐标互为相反数1若a(2，1)，b(1，0)，则ab的坐标是()A(1，1) B(3，1)C(3，1) D(2，0)【解析】选A.ab(2，1)(1，0)(1，1).2如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|2，45，则向量a的坐标为_【解析】由题意知a2cos 45i2sin 45jij(，).答案：(，)基础类型一

6、平面向量的坐标表示(数学抽象)1如图，e1，e2是一个基底，且e1(1，0)，e2(0，1)，则向量a的坐标为()A(1，3) B(3，1)C(1，3) D(3，1)【解析】选A.因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知ae13e2，根据平面向量坐标的定义可知a(1，3).2在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|2，|b|3，|c|4，向量a，b，c的坐标分别为_，_，_【解析】设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2).a1|a|cos 452，a2|a|sin 452，b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203，c1|c|

7、cos (30)42，c2|c|sin (30)42.所以a(，)，b，c(2，2).答案：(，)(2，2)3已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角求点B和点D的坐标和与的坐标【解析】由题知B，D分别是30角，120角的终边与单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义，得x1cos 30，y1sin 30，所以B.x2cos 120，y2sin 120，所以D.所以，.求向量坐标的方法(1)定义法：根据平面向量坐标的定义得axiyj，其中i，j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量(2)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标(3)求

8、差法：先求出这个向量的起点、终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标微提醒：向量a(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号基础类型二平面向量的坐标运算(数学运算)【典例】(1)已知向量a，b满足ab(1，3)，ab(3，3)，则a，b的坐标分别为()A(4，0)，(2，6) B(2，6)，(4，0)C(2，0)，(1，3) D(1，3)，(2，0)【解析】选C.2a(ab)(ab)(4，0)，于是a(2，0)，所以b(1，3).(2)若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0，6)，(8，10)，求，的坐标【解析】因为(2，10)，(8，4)，(10，14)，

9、所以(2，10)(8，4)(10，14)，(8，4)(10，14)(2，10).平面向量加、减坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标下列各式正确的是()A若a(2，4)，b(3，4)，则ab(1，0)B若a(5，2)，b(2，4)，则ba(3，2)C若a(1，0)，b(0，1)，则ab(0，1)D若a(1，1)，b(1，2)，则ab(2，1)【解析】选B.选项A错误，ab(5，0)；选项B正确；选项C错

10、误，ab(1，1)；选项D错误，ab(2，1).综合类型平面向量坐标运算的应用(逻辑推理)向量相等坐标关系的应用已知ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为A(3，7)，B(4，6)，C(1，2)，求顶点D的坐标已知一个平行四边形的三个顶点坐标为A(3，7)，B(4，6)，C(1，2)，求此平行四边形顶点D的坐标【解析】设点D的坐标为(x，y)，因为，所以(4，6)(3，7)(1，2)(x，y)，所以所以所以顶点D的坐标为(0，1).设点D的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，所以(4，6)(3，7)(1，2)(x，y)，所以所以所以D(0，1).当平行四边形为ABDC时，同理可得D(

11、2，3).当平行四边形为ADBC时，同理可得D(6，15).综上可见点D可能为(0，1)或(2，3)或(6，15).点拨：题平行四边形的四个顶点的位置是固定的，题平行四边形的四个顶点的位置不确定，需要分类讨论两向量相等的充要条件及应用原则(1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2且y1y2.(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则【加固训练】 已知向量a，b，c，若abc，且A(1，1)，则向量的终点B

12、的坐标为()A(9，1) B(1，9) C(9，0) D(0，9)【解析】选A.abc，设终点为B，则，所以所以所以终点B的坐标为(9，1).平面向量坐标运算的综合应用【典例】如图所示，已知直角梯形ABCD，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于点E，用向量的方法证明：DEBC.【证明】如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|1，则|1，|2.因为CEAB，而ADDC，所以四边形AECD为正方形，所以可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(1，1).因为(1，1)(0，0)(1，1)，(0，1)(1，0)(1，1)，所以，所

13、以，即DEBC.通过建立平面直角坐标系，可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对都表示一个向量因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标后，可使向量运算代数化，将数和形结合起来，从而将几何问题转化为代数问题来解决【加固训练】 已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为(3，1)，(1，2)，(m，1)，(3，n).求m sin n cos 的最大值【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，则，即(33，n1)(m1，12)，即得m1，n2，得m sin n cos sin 2cos sin ()，其中tan 2，故m sin n cos

14、的最大值为.创新拓展向量坐标运算与三角函数的综合(数学运算)【典例】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2，1)时，求的坐标【解析】设A(2，0)，B(2，1)，由题意知劣弧长为2，ABP2.设P(x，y)，则x21cos 2sin 2，y11sin 1cos 2，所以的坐标为(2sin 2，1cos 2).求向量的坐标通常可以转化为求点的坐标，因此要注意利用几何图形和三角形函数等知识求有关线段的长度创新题型新定义问题(数学运算)【典例】对于向量m(x1，y1)，n(x2，y2)，定义m

15、n(x1x2，y1y2).已知a(2，4)，且abab，那么向量b等于()A BC D【解析】选A.设b(x，y)，由新定义及abab，可得(2x，y4)(2x，4y)，所以2x2x，y44y，解得x2，y，所以向量b.向量坐标运算新定义问题的注意点(1)准确理解新定义，明确计算方法；(2)熟练运用向量坐标运算的法则和结论【加固训练】 对于向量a(x，y)(其中x，yR)，定义：若x，y中正实数的个数为n(n0，1，2)个，则称向量a为n型向量若a(x2x，x)，b(1，x21)(其中xR)，试判断向量ab是何种类型的向量【解析】由已知得，ab(x2x，x)(1，x21)(x2x1，x2x1)

16、，x2x1(x)20，x2x1(x)20，所以向量ab是1型向量1给出下列几种说法：相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；一个坐标对应唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应其中正确说法的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误2已知向量(2，4)，(0，2)，则()A(2，2) B(2，2)C(1，1) D(1，1)【解析】选A.(2，2).3如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为()A2i3j B4i2jC2ij D2ij【解析】选C.(4i2j)(2i3j)2ij.4如图，向量a，b，c的坐标分别是_，_，_.【解析】将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a4i0j，所以a(4，0)；b0i6j，所以b(0，6)；c2i5j，所以c(2，5).答案：(4，0)(0，6)(2，5)关闭Word文档返回原板块