2023年高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 1 平面向量的概念及线性运算练习（含解析）.docx

1、平面向量的概念及线性运算考试要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义知识梳理1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：abba；结合

2、律：(ab)ca(bc)减法aba(b)数乘|a|a|，当0时，a的方向与a的方向相同；当|b|，则ab.()(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量()教材改编题1(多选)下列命题中，正确的是()A若a与b都是单位向量，则abB直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量C若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合D海拔、温度、角度都不是向量答案CD解析A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温

3、度、角度只有大小，没有方向，故不是向量2下列各式化简结果正确的是()A.B.C.0D.答案B3已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.答案解析由题意知存在kR，使得abk(b3a)，所以解得题型一向量的基本概念例1(1)(多选)给出下列命题，不正确的有()A若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形Cab的充要条件是|a|b|且abD已知，为实数，若ab，则a与b共线答案ACD解析A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为，所以|且，又A，B

4、，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则下列等式中成立的是()A.B.C.D.答案D教师备选(多选)下列命题为真命题的是()A若a与b为非零向量，且ab，则ab必与a或b平行B若e为单位向量，且ae，则a|a|eC两个非零向量a，b，若|ab|a|b|，则a与b共线且反向D“两个向

5、量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案ACD思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量(4)是与a同方向的单位向量跟踪训练1(1)(多选)下列命题正确的是()A零向量是唯一没有方向的向量B零向量的长度等于0C若a，b都为非零向量，则使0成立的条件是a与b反向共线D若ab，bc，则ac答案BCD解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b是反向共线时才

6、成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确(2)对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若ab0，则ab，则ab，即充分性成立；若ab，则ab不一定成立，即必要性不成立，即“ab0”是“ab”的充分不必要条件题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2(2022济南模拟)已知单位向量e1，e2，e2023，则|e1e2e2023|的最大值是_，最小值是_答案20230解析当单位向量e1，e2，e2023方向相同时，|e1e2e2023|取得最大值，|e1e2e2023|e1|e2|e2023|20

7、23；当单位向量e1，e2，e2023首尾相连时，e1e2e20230，所以|e1e2e2023|的最小值为0.命题点2向量的线性运算例3(多选)如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABAD，AB2AD2CD，E是BC边上一点，且3，F是AE的中点，则下列关系式正确的是()A.B.C.D.答案ABD解析因为，所以选项A正确；因为()，而，代入可得，所以选项B正确；因为，而，代入得，所以选项C不正确；因为，而，代入得，所以选项D正确命题点3根据向量线性运算求参数例4(2022青岛模拟)已知平面四边形ABCD满足，平面内点E满足3，CD与AE交于点M，若xy，则xy等于()A.BC.D答案C解析如

8、图所示，易知BC4AD，CE2AD，()(6)2，xy.教师备选1(2022太原模拟)在ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足2，则等于()A.B.C.D.答案A解析如图所示，D为BC的中点，()，2，.2(2022长春调研)在ABC中，延长BC至点M使得BC2CM，连接AM，点N为AM上一点且，若，则等于()A.B.CD答案A解析由题意，知()()，又，所以，则.思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值跟踪训练2(1)点G为ABC的重心，设a，b，

9、则等于()Ab2aB.abC.abD2ab答案A解析如图所示，由题意可知，故2b2a.(2)(2022大连模拟)在ABC中，2，2，P为线段DE上的动点，若，R，则等于()A1B.C.D2答案B解析如图所示，由题意知，设x，所以xx()x(1x)x(1x)，所以x，(1x)，所以x(1x).题型三共线定理及其应用例5设两向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线(1)证明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)解kab与akb共线，存在实

10、数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个向量，kk10，k210，k1.教师备选1已知P是ABC所在平面内一点，且满足2，若SABC6，则PAB的面积为()A2B3C4D8答案A解析22()，3，且两向量方向相同，3，又SABC6，SPAB2.2设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，(ab)的终点在同一条直线上，则实数t的值为_答案解析a，tb，(ab)的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，atb与a(ab)共线，即atb与ab共线，存在实数，使atb，又a，b为两个不共线的非零向量，解得思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)

11、abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据(2)若a与b不共线且ab，则0.(3)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.跟踪训练3(1)若a，b是两个不共线的向量，已知a2b，2akb，3ab，若M，N，Q三点共线，则k等于()A1B1C.D2答案B解析由题意知，a(k1)b，因为M，N，Q三点共线，故存在实数，使得，即a2ba(k1)b，解得1，k1.(2)如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若(，R)，则的取值范围是()A(0,1) B(1，)C(1， D(1,0)答案B解析因为线段CO与线段AB交于点D，所以O，C，D三点共线，所

12、以与共线，设m，则m1，因为，所以m，可得，因为A，B，D三点共线，所以1，可得m1，所以的取值范围是(1，)课时精练1(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是()A.B.C.D.答案AD解析利用向量运算，易知A，D中的式子结果为零向量2若a，b为非零向量，则“”是“a，b共线”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案B解析，分别表示与a，b同方向的单位向量，则有a，b共线，而a，b共线，则，是相等向量或相反向量，所以“”是“a，b共线”的充分不必要条件3设a()()，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是()AabBabaCabbD|ab|a|b|答案B解

13、析由题意得，a()()0，且b是一个非零向量，所以ab成立，所以A正确；由abb，所以B不正确，C正确；由|ab|b|，|a|b|b|，所以|ab|a|b|，所以D正确4(2022汕头模拟)下列命题中正确的是()A若ab，则存在唯一的实数使得abB若ab，bc，则acC若ab0，则a0或b0D|a|b|ab|a|b|答案D解析若ab，且b0，则可有无数个实数使得ab，故A错误；若ab，bc(b0)，则ac，若b0，则a，c不一定平行，故B错误；若ab0，也可以为ab，故C错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a|b|ab|a|b|成立，故D正确5在平行四边形ABCD中，与交于

14、点O，E是线段OD的中点若a，b，则等于()A.abB.abC.abD.ab答案C解析如图所示，a，b，ab，abbab.6下列说法正确的是()A向量与向量的长度相等B两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反D向量的模是一个正实数答案A解析A项，与的长度相等，方向相反，正确；B项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C项，向量a与b平行时，若a或b为零向量，不满足条件，故错误；D项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若x，则x等于()A.B.C.

15、D.答案C解析连接AE(图略)，因为F为DE的中点，所以()，而，所以()，又x，所以x.8(多选)已知43，则下列结论正确的是()AA，B，C，D四点共线BC，B，D三点共线C|D|3|答案BD解析因为43，所以33，所以3，因为，有公共端点B，所以C，B，D三点共线，且|3|，所以B，D正确，A错误；由43，得333，所以|，所以C错误9(2022太原模拟)已知不共线向量a，b，tab(tR)，2a3b，若A，B，C三点共线，则实数t_.答案解析因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得k，所以tabk(2a3b)2ka3kb，即(t2k)a(3k1)b.因为a，b不共线，所以解得10已

16、知ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，则_.答案3解析如图，设F为BC的中点，则()，又，又G，D，E三点共线，1，即3.11若正六边形ABCDEF的边长为2，中心为O，则|_.答案2解析正六边形ABCDEF中，在AEF中，AFE120，AFEF2，|2，即|2.12在平行四边形ABCD中，点M为BC边的中点，则_.答案解析()()，又因为，所以解得所以.13(多选)点P是ABC所在平面内一点，且满足|2|0，则ABC不可能是()A钝角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形答案AD解析因为点P是ABC所在平面内一点，且|2|0，所以|()()|0，即|，所以|，等式

17、两边平方并化简得0，所以，BAC90，则ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形14在ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，若AB4，且(R)，则_，AD的长为_答案3解析B，D，C三点共线，1，解得.如图，过D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则，在ABC中，A60，A的平分线交BC于D，四边形AMDN是菱形，AB4，ANAM3，AD3.15(2022滁州模拟)已知P为ABC所在平面内一点，0，|2，则ABC的面积为()A.B2C3D4答案B解析设BC的中点为D，AC的中点为M，连接PD，MD，BM，如图所示，则有2.由0，得2，又D为BC的中点，M为AC的中点，所以2，则，则P，D，M三点共线且D为PM的中点，又D为BC的中点，所以四边形CPBM为平行四边形又|2，所以|2，则|4，且|2，所以AMB为等边三角形，BAC60，则SABC242.16若230，SAOC，SABC分别表示AOC，ABC的面积，则SAOCSABC_.答案16解析若230，设2，3，可得O为ABC的重心，如图，设SAOBx，SBOCy，SAOCz，则SAOB2x，SBOC3y，SAOC6z，由2x3y6z，可得SAOCSABCz(xyz)16.