2023年高考数学一轮复习 第八章 直线与圆 圆锥曲线 7 双曲线练习（含解析）.docx

1、双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用知识梳理1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)

2、A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e(1，)渐近线yxyxa，b，c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为F1PF2.(5)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)思考

3、辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线1(m0，n0)的渐近线方程是0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()教材改编题1若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.B5C.D2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于()A1B17C1或17D以上均不对答

4、案B解析根据双曲线的定义得|PF1|PF2|8|PF2|等于1或17.又|PF2|ca2，故|PF2|17.3(2022汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为的双曲线方程_答案y21(答案不唯一，符合要求就可以)解析取c，则e，可得a1，b，因此，符合条件的双曲线方程为y21(答案不唯一，符合要求就可以).题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆答案B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|1，且N为MF1的中点，又O

5、为F1F2的中点，所以|MF2|2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|，所以|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则F1PF2的面积为_答案2解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|sin602.延伸探究在本例(2)中，若将“F1PF260”改为“0

6、”，则F1PF2的面积为_答案2解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，0，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|2.教师备选1已知圆C1：(x3)2y21，C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()Ax21B.y21Cx21(x1)Dx21(x1)答案C解析设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|1r，|MC2|3r，|MC2|MC1|2b0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆

7、心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为()A.1B.1C.1D.1答案A解析因为渐近线yx与直线xa交于点A(a，b)，c4且4，解得a24，b212，因此双曲线的标准方程为1.2经过点P(3,2)，Q(6，7)的双曲线的标准方程为_答案1解析设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的标准方程为1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为(0)，再根据条件求的值跟踪训练2(1)已知双曲线过点(2,

8、3)，渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是()A.1B.1Cx21D.1答案C解析因为双曲线的渐近线方程为yx，所以可设双曲线的方程为x2(0)，将点(2,3)代入其中，得1，所以该双曲线的标准方程为x21.(2)(2022佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，PF1F230，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1Dx21答案D解析由题意可知|PF1|，|PF2|，2b2，由双曲线的定义可得2a，即ca.又b，c2a2b2，a1，双曲线的标准方程为x21.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)由伦敦著

9、名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线1(a0，b0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1答案B解析由题意知，b2，又因为e2，解得a2，所以双曲线的方程为1.(2)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A4B8C16D32答案B解析由题意知双曲线的渐近线方程为yx.因为D，E分别为直线xa与双曲线C的两条渐近线的交点，

10、所以不妨设D(a，b)，E(a，b)，所以SODEa|DE|a2bab8，所以c2a2b22ab16(当且仅当ab时等号成立)，所以c4，所以2c8，所以C的焦距的最小值为8.思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线1(a0，b0)的渐近线的方法是令0，即得两渐近线方程0.(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k，满足关系式e21k2.命题点2离心率例4(1)(2021全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为()A.B.C.D.答案A解析设|PF2|m

11、，则|PF1|3m，在F1PF2中，|F1F2|m，所以C的离心率e.高考改编已知双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且F1AF2120，|AF2|2|AF1|，则双曲线E的离心率为()A.B.C.D7答案C解析点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，设|AF1|m，由|AF2|2|AF1|知|AF2|2m，由双曲线定义得|AF2|AF1|2mmm2a，在AF1F2中，|AF1|2a，|AF2|4a，F1AF2120，由余弦定理知，|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos1204a216a28a228a2，|F1F

12、2|2a，又|F1F2|2c，2a2c，e.(2)(2022滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sinPF2F13sinPF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为()A(1,2) B(1,3)C(3，) D(2,3)答案A解析在PF1F2中，sinPF2F13sinPF1F2，由正弦定理得，|PF1|3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|PF2|2a，所以|PF1|3a，|PF2|a，在PF1F2中，由|PF1|PF2|F1F2|，得3aa2c，即2ac，所以e1，所以1e0)的渐近线方程为xy

13、0，则m等于()A.B.1C.D2答案A解析由渐近线方程yxx，所以，则，即，m.2设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A.B.C2D.答案A解析令双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0)，则c.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，则|OP|a，|OM|MP|，由|OM|2|MP|2|OP|2，得22a2，即离心率e.思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方

14、程或不等式，利用c2a2b2和e转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)跟踪训练3(1)(多选)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e2，C上的点到其焦点的最短距离为1，则()A双曲线C的焦点坐标为(0，2)B双曲线C的渐近线方程为yxC点(2,3)在双曲线C上D直线mxym0(mR)与双曲线C恒有两个交点答案BC解析双曲线C上的点到其焦点的最短距离为ca1，离心率e2，所以a1，c2，所以b23，所以双曲线C的方程为x21，所以C的焦点坐标为(2,0)，A错误；双曲线C的渐近线方程为yxx，B正确；因为221，所以点(2,3)在双曲线C上，C正确；直线

15、mxym0即ym(x1)，恒过点(1,0)，当m时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误(2)(2022威海模拟)若双曲线C1：1与双曲线C2：1(a0，b0)有公共点，则双曲线C2的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析因为双曲线C1：1的渐近线方程为yx，双曲线C2：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，为使双曲线C1：1与双曲线C2：1(a0，b0)有公共点，只需，则离心率为e.课时精练1双曲线9x216y21的焦点坐标为()A.B.C(5,0) D(0，5)答案A解析将双曲线的方程化为标准形式为1，所以c2，所以c，所以焦点坐标为.2已知双曲线1

16、(m0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为()A.1B.1Cx21D.1答案D解析由题意，得2，解得m2，所以双曲线的标准方程为1.3若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11B9C5D3答案B解析方法一依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|236，所以|PF2|639.方法二根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|236，所以|PF2|3|6，所以|PF2|9或|PF2|3(舍去)4(2022大连模拟)若双曲线C：1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3，则C的离心率为()A2B.C.D.答案A

17、解析双曲线C：1的右焦点坐标为(，0)，渐近线方程为yx，即bx3y0，双曲线C：1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3，3，解得b3，c6，离心率e2.5(多选)已知双曲线C的方程为1，则下列说法正确的是()A双曲线C的实轴长为8B双曲线C的渐近线方程为yxC双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D双曲线C上的点到焦点距离的最小值为答案ABC解析因为a216，所以a4,2a8，故A正确；因为a4，b3，所以双曲线C的渐近线方程为yxx，故B正确；因为c5，所以焦点坐标为(5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x4y0的距离为3，故C正确；双曲线C上的点到焦点距离的最小值为ca1，故D错误6(

18、多选)(2022潍坊模拟)已知双曲线C：1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为yx，P为C上一点，则以下说法正确的是()AC的实轴长为8BC的离心率为C|PF1|PF2|8DC的焦距为10答案AD解析由双曲线方程知，渐近线方程为yx，而一条渐近线方程为yx，a4，故C：1，双曲线实轴长为2a8，离心率e，由于P可能在C不同分支上，则有|PF1|PF2|8，焦距为2c210.A，D正确，B，C错误7(2021新高考全国)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e2，则该双曲线C的渐近线方程为_答案yx解析因为双曲线1(a0，b0)的离心率为2，所以e2，所以3，所以该双曲线的渐近

19、线方程为yxx.8设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_答案解析因为a29，b216，所以c5.所以A(3,0)，F(5,0)，不妨设直线BF的方程为y(x5)，代入双曲线方程解得B.所以SAFB|AF|yB|2.9已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程解(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，0，MF1MF2.设|MF1|m，|MF2|n，由双曲线的定义知mn2a8.在RtF1M

20、F2中，由勾股定理得m2n2(2c)280，由得mn8.mn42ch，h.即M点到x轴的距离为.(2)设双曲线C的方程为1(40，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是yx，点A(0，b)，且AF1F2的面积为6.(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线l：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|AQ|，求实数m的取值范围解(1)由题意得，2cb6，a2b2c2，由可得a25，b24，双曲线C的标准方程是1.(2)由题意知直线l不过点A.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略)将ykxm与1联立，消去y，整理得(4

21、5k2)x210kmx5m2200，由45k20且0，得x1x2，x1x2，x0，y0kx0m.由|AP|AQ|知，ADPQ，又A(0,2)，kAD，化简得10k289m，由，得m0.由10k289m0，得m.综上，实数m的取值范围是m或0m0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.B.C.D(1，)答案B解析由题意可知双曲线的其中一条渐近线为yx，即bx2y0，又该圆的圆心为(c，0)，故圆心到渐近线的距离为，则由题意可得3，即b2c29(b24)，又b2c2a2c24，则(c24)c29c2，解得c213，即c，则e1，故离心率的取值范围是

22、.13已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为x2y0，双曲线的左焦点在直线xy0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2的取值范围为()A(1，) B(，) C(2，) D2，)答案A解析由双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为x2y0，可得a2b，由双曲线的左焦点在直线xy0上，可得c，则由a2b2c2，得a2，b1，双曲线的方程为y21，由题意可得A(2,0)，B(2,0)，设P(m，n)(m2，n0)，则n21，即，k1k2，易知k1，k20，则k1k221，由A，B分别为双曲线的左、右顶点，可得k

23、1k2，则k1k21.14已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P|OP|，则C的渐近线方程为_答案yx解析根据双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点为F1，F2，O为原点，以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，则|F1O|OP|c，|F1P|OP|c，所以在POF1中，由余弦定理可得cosPOF1.所以POF1，则POF2，所以tanPOF2tan，则渐近线方程为yx.15(多选)双曲线C：1(a0，b0)的焦点在圆O：x2y213上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M

24、，N，点E(0，a)满足0(其中O为坐标原点)，则()A双曲线C的一条渐近线方程为3x2y0B双曲线C的离心率为C|1DOMN的面积为6答案ABD解析如图，设双曲线C的焦距为2c2，MN与y轴交于点P，由题意可知|OM|c，则P(0，b)，由0得点E为OMN的重心，可得|OE|OP|，即ab，所以a2，b3，e.双曲线C的渐近线方程为3x2y0，|2，M的坐标为(2,3)，SOMN6.16双曲线C：1(a0，b0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上当BFAF时，|AF|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：BFA2BAF.(1)解设双曲线的半焦距为c，则F(c，0)，B，因为|AF|BF|，所以ac，所以ac，所以caa，即c2a，所以e2.(2)证明设B(x0，y0)，其中x0a，y00.因为e2，故c2a，ba，故双曲线的渐近线方程为yx，所以BAF，BFA.当BFA时，由题意易得BAF，此时BFA2BAF.当BFA时，因为tanBFA，tanBAF，所以tan 2BAFtanBFA，因为2BAF，故BFA2BAF.综上，BFA2BAF.