2023年高考数学一轮复习 课时规范练24 平面向量的概念及线性运算（含解析）北师大版 文.docx

1、课时规范练24平面向量的概念及线性运算基础巩固组1.给出下列命题:零向量的长度为零,方向是任意的;若a,b都是单位向量,则a=b;向量AB与BA相等.则所有正确命题的序号是()A.B.C.D.答案:A解析:根据零向量的定义可知正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故错误;向量AB与BA互为相反向量,故错误.2.(2021福建福州模拟)如图,则a-b=()A.2e1-3e2B.-2e1+3e2C.3e1-2e2D.-3e1+2e2答案:A解析:由图知:a=3e1+e2,b=e1+4e2,则a-b=2e1-3e2.3.(2021四川泸州诊断测试

2、)在四边形ABCD中,AC=AB+AD,则()A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形答案:D解析:根据向量加法的平行四边形法则可得,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,如图,可得AC=AB+AD,所以四边形ABCD为平行四边形.4.(2021广东珠海模拟)已知正六边形ABCDEF中,AB+CD+EF=()A.AFB.BEC.CDD.0答案:D解析:如图,连接AD,BE,设AD与BE交于O点,则BO=CD,OA=EF,AB+CD+EF=AB+BO+OA=AO+OA=0.5.(2021贵州贵阳清华中学高三月考)如图,在ABC中,

3、BD=12DC,AE=3ED,若AB=a,AC=b,则BE等于()A.13a+13bB.-12a+14bC.12a+14bD.-13a+13b答案:B解析:因为AE=3ED,所以BE-BA=3(BD-BE),所以4BE=BA+3BD.又因为BD=12DC,所以BD=13BC,所以4BE=BA+BC,可得4BE=BA+(AC-AB),所以4BE=-2AB+AC,即BE=-12AB+14AC,即BE=-12a+14b.6.(2021山东潍坊三模)如图,在平行四边形ABCD中,AE=13AC,若ED=AD+AB(,R),则+=()A.-13B.1C.23D.13答案:D解析:ED=AD-AE=AD-

4、13AC=AD-13(AB+AD)=23AD-13AB,又ED=AD+AB,AD,AB不共线,根据平面向量基本定理可得=23,=-13,+=13.7.(2021陕西西安中学高三月考)在四边形ABCD中,ABCD,设AC=AB+AD(,R).若+=43,则|CD|AB|=()A.23B.12C.13D.14答案:C解析:ABCD,设|CD|AB|=k(kR),则DC=kAB,k0,AC=AD+DC=kAB+AD=AB+AD,=k,=1.+=43,1+k=43,即k=13,即|CD|AB|=13.8.给出以下5个条件:a=b;|a|=|b|;a与b的方向相反;|a|=0或|b|=0;a与b都是单位

5、向量.其中能使ab成立的是(填序号).答案:解析:相等向量一定是共线向量,能使ab;|a|=|b|,不能确定方向,所以不能使ab成立;方向相同或相反的向量一定是共线向量,能使ab;零向量与任一向量平行,能使ab成立;单位向量的模相等,但方向不确定,所以不能使ab成立.9.(2021浙江湖州模拟)已知|AB|=10,|AC|=7,则|CB|的取值范围为.答案:3,17解析:因为CB=AB-AC,所以|CB|=|AB-AC|,又|AB|-|AC|AB-AC|AB|+|AC|,即3|AB-AC|17,即3|CB|17.10.(2021北京通州一模)设向量e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1

6、-e2,AC=e1+3e2,BD=2e1-ke2,且B,C,D三点共线,则BC=(用e1,e2表示);实数k=.答案:-e1+4e28解析:由向量减法法则得BC=AC-AB=-e1+4e2,由于B,C,D三点共线,所以设BD=BC(R),即2e1-ke2=(-e1+4e2),所以-=2,-k=4,解得=-2,k=8.综合提升组11.(2021福建福州一模)在ABC中,E为AB边的中点,D为AC边上的点,BD,CE交于点F.若AF=37AB+17AC,则ACAD的值为()A.2B.3C.4D.5答案:C解析:设AC=AD(R),因为AF=37AB+17AC,所以AF=37AB+17AD,因为B,

7、F,D三点在同一条直线上,所以37+17=1,所以=4,所以ACAD=4.12.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAP=5-12,则()A.CT=3-52CA+3-52CEB.CT=5-12CA+5-12CEC.CT=5-12CA+3-54CED.CT=3-54CA+5-12CE答案:A解析:设AP=a,因为PTAP=5-12,所以PT=5-12a,CP=5+12a,CA=5+32a,所以CP=5+15+3CA,PT=5-12TE=5-12C

8、E-5-12CT.因为CT=CP+PT,所以5+12CT=5+15+3CA+5-12CE,所以CT=25+15+15+3CA+5-15+1CE=25+3CA+5-15+1CE=3-52CA+3-52CE.13.(2021湖北武汉模拟)已知O是ABC所在平面内的一定点,动点P满足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,(0,+),则动点P的轨迹一定通过ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心答案:A解析:如图,设AB|AB|=AF,AC|AC|=AE,则AF,AE均为单位向量,以AE,AF为邻边作平行四边形AEDF,连接AD,并延长至与BC相交.则AD=AF+AE,易知四边形AEDF为菱形,

9、所以AD平分BAC,由OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,(0,+),得AP=AD,又AP与AD有公共点A,故A,D,P三点共线,所以点P在BAC的角平分线上,故动点P的轨迹经过ABC的内心.14.点M在ABC内部,满足2MA+3MB+4MC=0,则SMACSMAB=.答案:34解析:由题意,分别延长MA至D,MB至E,MC至F,连接ED,DF,EF.使MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如图,由2MA+3MB+4MC=0,得MD+ME+MF=0,所以点M是DEF的重心,所以SMDE=SMEF=SMFD,设SMDE=1,则SMAB=1213=16,SMAC=1214=18,所以SMA

10、CSMAB=1816=34.15.(2021江苏盐城中学高三月考)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,CD上,且满足BE=EC,CD=2CF,则|AE+AF|=.答案:3解析:因为BE=EC,所以AE=AB+BE=AB+12AD.又因为CD=2CF,所以AF=AD+DF=12AB+AD,所以|AE+AF|=32|AB+AD|=32|AC|.又因为BAD=120,所以ADC=60,所以ADC为等边三角形,所以AC=AD=2,所以|AE+AF|=32|AC|=322=3.创新应用组16.(2021山东淄博一模)已知等边三角形ABC的边长为6,点P满足PA+2PB-PC

11、=0,则|PA|=()A.32B.23C.33D.43答案:C解析:依题意PA+2PB-PC=0,PA-PC=-2PB,CA=-2PB,CA=2BP,如图,在ABC中,设D是AC中点,连接BD,由于三角形ABC是等边三角形,所以BDAD,ABD=CBD=30,由于CA=2BP,所以DA=BP,所以四边形BDAP是矩形,在图中作出四边形BDAP,所以ABP=90-30=60,RtAPB中,AP=ABsin60=632=33,即|PA|=33.17.(2021四川凉山三模)如图,P为ABC内任意一点,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知总有优美等式SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0成

12、立.现有以下命题:若P是ABC的重心,则有PA+PB+PC=0;若aPA+bPB+cPC=0成立,则P是ABC的内心;若AP=25AB+15AC,则SABPSABC=25;若P是ABC的外心,A=4,PA=mPB+nPC,则m+n-2,1).则正确的命题有.答案:解析:对于,如图所示,因为D,E,F分别为CA,AB,BC的中点,所以CP=2PE,SAEC=12SABC,SAPC=23SAEC=13SABC,同理可得SAPB=13SABC,SBPC=13SABC,所以SPBC=SPAC=SPAB.又因为SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0,所以PA+PB+PC=0.正确;对于,记点P到A

13、B,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,SPBC=12ah2,SPAC=12bh3,SPAB=12ch1,因为SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0,则12ah2PA+12bh3PB+12ch1PC=0,即ah2PA+bh3PB+ch1PC=0,又因为aPA+bPB+cPC=0,所以h1=h2=h3,所以点P是ABC的内心.正确;对于,因为AP=25AB+15AC,所以PA=-25AB-15AC,PB=PA+AB=35AB-15AC,PC=PA+AC=-25AB+45AC,所以SPBC-25AB-15AC+SPAC35AB-15AC+SPAB-25AB+45AC=0,化简得-25SP

14、BC+35SPAC-25SPABAB+-15SPBC-15SPAC+45SPABAC=0,又因为AB,AC不共线,所以-25SPBC+35SPAC-25SPAB=0,-15SPBC-15SPAC+45SPAB=0SPBC=2SPAB,SPAC=2SPAB,SABPSABC=SPABSPBC+SPAC+SPAB=15.错误;对于,因为P是ABC的外心,A=4,所以BPC=2,|PA|=|PB|=|PC|,PBPC=|PB|PC|cosBPC=0,因为PA=mPB+nPC,则|PA|2=m2|PB|2+2mnPBPC+n2|PC|2,化简得m2+n2=1,(m+n)22(m2+n2),当且仅当m=n时,等号成立,又m+n1,m+n-2,1).正确.