2022版新高考数学一轮总复习学案：第10章 第8节 概率、统计的综合题 WORD版含解析.doc

1、概率、统计的综合题考试要求能从研究对象中获取数据，会用数学方法对数据进行整理、分析和推断，构建模型等 考点一概率与统计的综合应用 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题典例1从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)公司规定：

2、当Z95时，产品为正品；当Z95时，产品为次品公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望；(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)利用该正态分布，求P(87.8Z112.2)；某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 7，P(2Z2)0.954 5.解(1)由频

3、率估计概率，产品为正品的概率为(0.0330.0240.0080.002)100.67，所以随机变量的分布列为9030P0.670.33所以E()900.67(30)0.3350.4.(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为700.02800.09900.221000.331100.241200.081300.02100，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.22020.331020.242020.083020.02150.因为ZN(100,150)，从而P(87.8Z112.2)P(10012.2Z10012.2)0.682 7.由知

4、，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的概率为0.6827，依题意知XB(500，0.682 7)，所以E(X)5000.682 7341.35.点评：本题以统计图表为载体，将正态分布、二项分布、频率分布直方图巧妙的融合在一起，体现了知识的整合性与交汇融合性，搞清这些统计图表的含义，掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算是解决问题的关键经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元根据以往资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该

5、农产品以X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求T的均值解(1)当X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000.当X130,150时，T50013065 000.所以T(2)由(1)知利润T不

6、少于57 000元当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400. 考点二概率与统计案例的综合应用 概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识典例2(2020西安五校

7、联考)为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某高校入驻该园区为了解教职工意愿，该高校在其所属的8个学院的教职工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数x/人1020304050607080愿意整体搬迁人数y/人817253139475566(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程x(保留小数点后两位有效数字)；若该校共有教职工2 500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这8位院长中随机选

8、取4位院长组成考察团赴研发园区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求X的分布列及数学期望参考公式及数据：，xiyi16 310，x20 400.解(1)由已知得45，36，0.80，360.80450，故变量y关于变量x的线性回归方程为0.80x.所以当x2 500时，y2 5000.802 000，所以该校愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数约为2 000.(2)由题意可知X的可能取值为1,2,3,4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列为X1234P故E(X)1234.点评：在两个变量的回归分析中要注意以下两点(1)求回归直线方程要充

9、分利用已知数据，合理利用公式减少运算(2)借助散点图，观察两个变量之间的关系若不是线性关系，则需要根据相关知识转化为线性关系某健身馆在2020年7,8两个月推出优惠项目吸引了一批客户为预估2021年7,8两个月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2020年7,8两个月100名客户的消费金额(单位：元)，分组如下：0,200)，200,400)，400,600)，1 000，1 200，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据预估2021年7,8两个月健身客户人均消费的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)若把2020年7,8两个月健身消费金额不低于800元的客户

10、称为“健身达人”经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？性别健身达人非健身达人总计男10女30总计(3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案方案一：每满800元可立减100元；方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折， 中奖2次打8折，中奖3次打7折若某人打算购买1 000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种促销方案附：P(K2k)0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722

11、.7063.8416.6357.879K2.解(1)因为2020年7,8两个月这100名客户消费金额的平均值为(1000.000 503000.000 755000.001 007000.001 259000.001 001 1000.000 50)200620(元)，所以预估2021年7,8两个月健身客户人均消费金额为620元(2)列联表如下：性别健身达人非健身达人总计男104050女203050总计3070100因为K24.7623.841，所以有95%的把握认为“健身达人”与性别有关(3)若选择方案一，则需付款900元；若选择方案二，设需付款X元，则X的可能取值为700,800,900,

12、1 000，P(X700)C3，P(X800)C3，P(X900)C3，P(X1 000)C3，所以E(X)7008009001 000850(元)因为850900，所以选择方案二更划算 考点三概率、统计与函数、数列的交汇问题 由于随机变量对应的概率P0,1，故常先借助概率统计的知识建立有关P的函数解析式或递推关系式，在此基础上借助函数或导数、数列等知识求解相应问题典例3某商场以分期付款方式销售某商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为234P0.4ab其中0a1,0b1.(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；(2)商场销售一件该商品，若顾客选

13、择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位：元)求X的分布列；若P(X500)0.8，求X的数学期望E(X)的最大值解(1)设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，依题意得B(3,0.4)，则P(2)C(0.4)2(10.4)0.288，购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.(2)依题意X的取值分别为400,450,500,550,600，P(X400)0.40.40.16，P(X450)20.4a0.8a，P(X50

14、0)20.4ba20.8ba2，P(X550)2ab，P(X600)b2.X的分布列为X400450500550600P0.160.8a0.8ba22abb2P(X500)P(X400)P(X450)P(X500)0.160.8(ab)a2，根据0.4ab1，得ab0.6，b0.6a，P(X500)0.8，0.160.48a20.8，解得a0.4或a0.4，a0，a0.4，b0，0.6a0，解得a0.6，a0.4,0.6)，E(X)4000.164500.8a500(0.8ba2)1 100ab600b2520100a，当a0.4时，E(X)的最大值为480，X的数学期望E(X)的最大值为48

15、0.点评：本例融概率、分布列、函数于一体，体现了高考命题的最新动向，求解时可先借助分布列的性质及题设条件“P(X500)0.8”探求得到参数a的范围，然后借助数学期望公式建立关于参数a的函数关系式，并通过二次函数求得数学期望E(X)的最大值某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为31.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同(1)求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；(2)在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽

16、车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽到的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束抽样的次数不超过n(nN*)次在抽样结束时，若已抽到的黄色汽车数以表示，求的分布列和数学期望解(1)随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为，用X表示“抽取的5辆汽车中蓝色汽车的辆数”，则X服从二项分布，即XB，所以抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率PC32.(2)的可能取值为0,1,2，n.P(0)，P(1)，P(2)2，P(n1)n1，P(n)n.所以的分布列为012n1nP2n1n的数学期望E()12233(n1)n1nn，E()1223(

17、n2)n1(n1)nnn1.得E()23n123n1n，所以E()23n1n333n.核心素养6用数学语言表达世界数据分析与建模求解数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积极依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验.某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45kg到75kg之

18、间，现将结果按如下方式分为6组：第一组45,50)，第二组50,55)，第六组70,75)，得到如图所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55kg的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图所示，以样本的频率作为总体的概率 图图(1)求频率分布直方图中a，b，c的值；(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在55,65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布N(，2)，其中60，225.若P(22)0.954 5，则认为该校学生的体重是正常的试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由解(1)由题图知，100名样本中体重低

19、于50kg的有2人，用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50kg的概率为0.02，则a0.004，在50,55)上有13人，该组的频率为0.13，则b0.026，所以2c0.14，即c0.07.(2)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在55,65)的概率为0.07100.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布B(3,0.7)，则P(X0)C0.700.330.027，P(X1)C0.710.320.189，P(X2)C0.720.310.441，P(X3)C0.730.300.343，所以，X的概率分布列为：X0123P0.0270.1

20、890.4410.343E(X)30.72.1.(3)由N(60,25)得5，由图知P(22)P(5070)0.960.954 5.所以可以认为该校学生的体重是正常的评析本题以学生体重情况为背景，设计概率与统计、正态分布的综合应用体现了数学建模(用频率估计概率、正态分布)、数学运算(求平均数、方差、求概率)、数据分析、逻辑推理(以直方图中求平均数方差，由正态分布求概率及期望)的学科素养，培养了统计意识，经历“收集数据整理数据分析数据作出推断”的全过程某基地蔬菜大棚采用无土栽培的方式种植各类蔬菜根据过去50周的资料显示，该地周光照量X(时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小

21、时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周根据统计，该基地的西红柿增加量y(千克)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的关系为如图所示的折线图(1)依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01)(若|r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X (单位：时)30X5050X70X70光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3 000元；若某台光照控

22、制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式r，参考数据：0.55，0.95.解(1)由已知数据可得5，4.因为 (xi)(yi)(3)(1)000316，2，.所以相关系数r0.95.因为r0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系(2)记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元安装2台光照控制仪的情形：当X70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y3 0001 0002 000(元)，P(Y2 000)0.2，当30X70

23、时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y23 0006 000(元)，P(X6 000)0.8，故Y的分布列为Y2 0006 000P0.20.8所以E(Y)2 0000.26 0000.85 200(元)安装3台光照控制仪的情形：当X70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y13 00021 0001 000(元)，P(Y1 000)0.2，当50X70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y23 00011 0005 000(元)，P(Y5 000)0.7，当30X50时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y33 0009 000(元)，P(Y9 000)0.1，故Y的分布列为Y1 0005 0009 000P0.20.70.1所以E(Y)1 0000.25 0000.79 0000.14 600(元)综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪