2022版高中数学一轮复习 课时作业梯级练七十五 参数方程课时作业（理含解析）新人教A版.doc

1、课时作业梯级练七十五参 数 方 程1.在圆锥曲线论中,阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线,并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperbola)和抛物线(parabola),在这本晦涩难懂的书中,有一个著名的几何问题:“在平面上给定两点A,B,设P点在同一平面上且满足 =(0且1),P点的轨迹是圆.”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”.已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为 = ,建立适当坐标系,求出M点的轨迹方程并化为参数方程.【解析】由题意,以OA所在的直线为x轴,过O点作OA的垂线为y轴,建立直角坐标系,设M(x,y),则O(0,0),A(3,0)

2、.因为 = ,即 = ,化简得(x+1)2+y2=4,所以点M的轨迹是以(-1,0)为圆心,2为半径的圆.由圆的普通方程可得其参数方程为 (为参数).2.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:x+y=1,曲线C2: (为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线C1,C2的极坐标方程;(2)在极坐标系中,已知l:=(0)与C1,C2的公共点分别为A,B, ,当 =4时,求的值.【解析】(1)因为x=cos ,y=sin ,所以曲线C1的极坐标方程为cos +sin -1=0.曲线C2化为普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2-4x+y2=0,因为x=cos

3、,x2+y2=2,所以曲线C2的极坐标方程为=4cos .(2)设点A,B的极坐标分别为(1,)和(2,),10,20.因为点A在曲线C1上,所以1cos +1sin -1=0,则1= ,同理,点B在曲线C2上,所以2=4cos .由极坐标的几何意义知, = = =4,所以cos (cos +sin )=1,即cos2+cos sin =1,则cos sin =sin2.又 ,所以sin 0,则cos =sin ,所以= .3.已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 (为参数).(1)以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程.(2)已知A(-2,0),B(0,2),

4、圆C上任意一点M(x,y),求ABM面积的最大值.【解析】(1)因为圆C的参数方程为 (为参数),所以,普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4,所以,圆C的极坐标方程为2-6cos +8sin +21=0.(2)点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离为d= ,ABM的面积S= |AB|d=|2cos -2sin +9|= ,所以,ABM面积的最大值为9+2 .4.(2021石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l的极坐标方程为= .(1)求曲线C的极坐标方程;(2)当0r0,结合0r2,得3r20

5、,所以 + = + = = .因为3r24,所以04-r20,结合0r2,得3r20,t20,所以 + = + = = .因为3r24,所以04-r20.故可设t1,t2是方程(*)的两个实根,所以 又直线l过点P(3, ),故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 .6.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数,aR).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=4cos ,射线= (0)与曲线C交于O,P两点,直线l与曲线C交于A,B两点.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)当|AB|=|OP|时

6、,求a的值.【解析】(1)将直线l的参数方程化为普通方程,得 x+y-a=0.由=4cos ,得2=4cos ,从而x2+y2=4x,即曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0.(2)由 得P .所以|OP|=2,将直线l的参数方程代入曲线C的方程x2-4x+y2=0中,得t2+(2+ a)t+a2=0,由0,得2 -4a2 +4.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则|AB|=|t1-t2|= = =2,解得a=0或a=4 .所以,所求a的值为0或4 .7.(2021郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos2+32s

7、in2=12,直线l的参数方程为 (t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.(1)若点P的极坐标为(2,),求|PM|PN|的值;(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值.【解析】(1)由2cos2+32sin =12得x2+3y2=12,故曲线C的直角坐标方程为 + =1,点P的直角坐标为(-2,0),将直线l的参数方程 代入曲线C的直角坐标方程 + =1中,得t2- t-4=0,设点M,N对应的参数分别为t1,t2,则|PM|PN|=|t1t2|=4.(2)由曲线C的直角坐标方程为 + =1,可设曲线C上的动点A(2 cos ,2sin ),0 ,则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2 cos +2sin )=16sin ,00,得a0,设A,B对应的参数为t1,t2,由题意得|t1|=2|t2|,即t1=2t2或t1=-2t2,当t1=2t2时, 解得a= ;当t1=-2t2时, 解得a= .综上,a= 或 .