2022版高中数学一轮复习 课时作业梯级练五十一 两条直线的位置关系课时作业（理含解析）新人教A版.doc

1、课时作业梯级练五十一两条直线的位置关系 一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知直线l的倾斜角为 ,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l与l1平行,则实数a的值为()A.0B.1C.6D.0或6【解析】选C.由直线l的倾斜角为 得l的斜率为-1,因为直线l与l1平行,所以l1的斜率为-1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),所以l1的斜率为 ,故 =-1,解得a=6.2.过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是()A.4x+3y-13=0B.4x-3y-19=0C.3x-4y-16=0D.3x+4y-8=0【解析】选A.因为两直线垂直,直线3x-

2、4y+6=0的斜率为 ,所以所求直线的斜率k=- ,则直线方程为y-(-1)=- (x-4),化简得4x+3y-13=0.3.已知点A ,B ,直线l的方程为kx-y-k+1=0,且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为()A. B. C. D. 【解析】选A.直线l:kx-y-k+1=0整理为k - =0即可知道直线l过定点P ,作出直线和点对应的图象如图:因为A(2,-3),B(-3,-2),P(1,1),所以kPA= =-4,kPB= = ,要使直线l与线段AB相交,则直线l的斜率k满足kPBk或kkPA,所以k-4或k 即直线l的斜率的取值范围是(-,-4 .4.将一张坐标纸折叠

3、一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n等于()A. B. C. D. 【解析】选A.由题意可知,纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是 解得 故m+n= .5.已知直线p:3x-2y+1=0,直线q:ax+(b-1)y=0,且pq,若a,b均为正数,则 + 的最小值是()A. B. C.8D.24【解析】选A.因为直线p:3x-2y+1=0,直线q:ax+(b-1)y=0,且pq,所以2a=3(1-b),即 +b=1,因为a,b均为正数,所以 + = = + + +3

4、= + +2 = +4= ,当且仅当 = ,即a=b= 时取等号,所以 + 的最小值为 .6.已知P1 与P2 是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组 的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解【解析】选B.由题意,点P1 与P2 是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+1的斜率存在,所以k= ,即a1a2,且b1=ka1+1,b2=ka2+1,所以a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1,由方程组

5、(1)b2-(2)b1可得:(a1b2-a2b1)x=b2-b1,即(a1-a2)x=b2-b1,所以方程组有唯一的解.7.在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2=()A. B. C.5D.10【解析】选D.由题意知P(0,1),Q(-3,0),因为过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,所以MPMQ,所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=9+1=10.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=5上,且线段AB的中点为P

6、 ,则 =.【解析】由于直线2x-y=0与直线x+ay=5垂直,则2-a=0,解得a=2,联立 解得 所以,直线2x-y=0与直线x+2y=5交于点C ,由直角三角形斜边上的中线的长度等于斜边的长度的一半,且ACBC,所以 =2 =2 =2 .答案:2 9.已知直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4.当m=时,这三条直线无法围成三角形.【解析】当三条直线中的任两条平行,或三条直线交于一点时,三条直线无法围成三角形,当l1l2时, = m=4,当l1l3时, = m=- ,当l2l3时, = ,无解,当三条直线交于一点时, 解得:x= ,y= ,将点 代入直线l3:2

7、x-3my=4,整理为3m2+m-2=0,解得m=-1或m= .综上可知:m=4,- ,-1, .答案:4,- ,-1, 10.已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为.【解析】设A(x0,y0),依题意可得 解得 即A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又- = ,所以直线l2的方程为y-1= (x+1),即3x-2y+5=0 .答案:3x-2y+5=0【一题多解】作出直线y=x+1,原点关于直线y=x+1的对称点为A(-1,

8、1),连接AB两点,过A作AB的垂线,就是直线l2,所以直线l2的方程为3x-2y+5=0.答案:3x-2y+5=0 1.(5分)若a,b为正实数,直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,则ab的最大值为()A. B. C. D. 【解析】选B.由直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,所以2b+2(2a-3)=0,即2a+b=3,又a,b为正实数,所以2a+b2 ,即2ab = ,当且仅当a= ,b= 时取“=”,所以ab的最大值为 .2.(5分)“a= ”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直

9、”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由于直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0,当a=0时,分别化为:x+1=0,-x+y-3=0,此时两条直线不垂直,舍去;当a=-1时,分别化为:-3y+1=0,-2x-3=0,此时两条直线相互垂直,因此a=-1满足条件;当a-1,0时,两条直线的斜率分别为:- , ,由于两条直线垂直,可得- =-1,解得a= 或-1(舍去).综上可得:两条直线相互垂直的充要条件为:a= 或-1.所以“a= ”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-

10、3=0相互垂直”的充分而不必要条件.3.(5分)已知直线l1:y=xsin 和直线l2:y=2x+c,则直线l1与l2()A.通过平移可以重合B.不可能垂直C.可能与x轴围成等腰直角三角形D.通过绕l1上某点旋转可以重合【解析】选D.根据题意,由于直线l1:y=sin x和直线l2:y=2x+c,因为sin -1,1,所以不存在,使得sin =2,故A错误;当sin 2=-1,即sin =- 时,l1l2,故B错误;由于 =20,x轴所在直线方程为y=0,要使l1,l2与x轴围成等腰直角三角形,则必有l1l2,所以l1:y=- x,但此时围成的三角形不是等腰三角形,仅为直角三角形,故C错误.由

11、于l1,l2斜率不相等,所以l1,l2相交,当l2绕l1,l2的交点旋转时可以与l1重合,故D正确.【加练备选拔高】坐标原点O 在动直线m(x-2)+n(y-2)=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么 的取值范围为()A. B. C. D. 【解析】选A.因为动直线m +n(y-2)=0过定点M(2,2),点O 在动直线m(x-2)+n =0上的投影为点P,所以OPM=90,则P在以OM为直径的圆上,所以此圆的圆心A坐标为 ,即A(1,1),半径r= OM= ,又Q ,所以|AQ|=2 ,则点Q在圆外,所以 的取值范围为 .4.(10分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0

12、的交点.(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.【解析】(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+(x-2y)=0,即(2+)x+(1-2)y-5=0.所以 =3.即22-5+2=0,所以=2或 .所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由 解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d|PA|(当lPA时等号成立).(其余距离d与PA构成直角三角形,PA为它们的斜边),所以dmax=|PA|= .5.(10分)已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m,n的值,使(

13、1)l1与l2相交于点P(m,-1);(2)l1l2;(3)l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.【解析】(1) 由题意得 ,解得m=1,n=7.(2)当m=0时,显然l1不平行于l2;当m0时,由 = ,得 所以 或 即m=4,n-2或m=-4,n2时,l1l2.(3)当且仅当m2+8m=0,即m=0时,l1l2.又- =-1,所以n=8.即m=0,n=8时,l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.【加练备选拔高】1.已知直线l1:ax+2y+6=0,直线l2:x+ y+a2-1=0.(1)求a为何值时,l1l2;(2)求a为何值时,l1l2.【解析】(1)因为要使l1l2,所以 解得a=-1

14、或a=2(舍去),所以当a=-1时,l1l2.(2)因为要使l1l2,所以a1+2 =0,解得a= ,所以当a= 时,l1l2.2.已知平面内两点M(4,-2),N(2,4).(1)求MN的垂直平分线方程;(2)直线l经过点A(3,0),且与直线MN平行,求直线l的方程.【解析】(1)因为M(4,-2),N(2,4),所以M,N的中点坐标为(3,1),又kMN= =-3,所以MN的垂直平分线的斜率为 ,则MN的垂直平分线方程为y-1= (x-3),即x-3y=0;(2)因为直线l与直线MN平行,所以直线l的斜率为-3,又直线l经过点A(3,0),所以直线l的方程为y=-3(x-3),即3x+y

15、-9=0.3.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)、B(4,0),一条河所在直线方程为l:x+2y-10=0,若在河边l上建一座供水站P使之到A,B两镇的管道最省,问供水站P应建在什么地方?此时|PA|+|PB|为多少?【解析】如图所示,过A作直线l的对称点A,连接AB交l于P,因为若P(异于P)在直线l上,则|AP|+|BP|=|AP|+|BP|AB|.因此,供水站只能在点P处,才能取得最小值.设A(a,b),则AA的中点在l上,且AAl,即 解得 即A(3,6).所以直线AB的方程为6x+y-24=0.解方程组 得 所以P点的坐标为 .故供水站应建在点P 处,此时|PA|+|PB|=|AB|= = .