2022版高中数学一轮复习 课时作业梯级练六 函数的奇偶性、对称性与周期性课时作业（理含解析）新人教A版.doc

1、课时作业梯级练六函数的奇偶性、对称性与周期性一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数为奇函数的是()A.y=B.y=|sin x|C.y=cos xD.y=ex-e-x【解析】选D.因为函数y=的定义域为0,+),不关于原点对称,所以函数y=为非奇非偶函数,排除A;因为y=|sin x|为偶函数,所以排除B;因为y=cos x为偶函数,所以排除C;因为y=f(x)=ex-e-x,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),所以函数y=ex-e-x为奇函数.2.(2021六盘水模拟)若函数f(x)=为奇函数,则实数a=()A.-1B.0C.1D.2【解析】选A.因为函数f(x

2、)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=+=0,化为(a+1)x=0,所以a+1=0,解得a=-1.3.已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称,则g(-1)+g(-2)=()A.-13B.-11C.-9D.-7【解析】选B.因为x0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称,所以x0时,f(x)=2x,所以x0时,g(x)=2x+x2,又g(x)是奇函数,所以g(-1)+g(-2)=-g(1)+g(2)=-(2+1+4+4)=-11.【加练备选拔高】x为实数,x表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-

3、x在R上为()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【解析】选D.函数f(x)=x-x在R上的图象如图:所以f(x)在R上是周期为1的函数.4.(2021德州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x2,则f(2 023)=()A.2 0192B.1C.0D.-1【解析】选D.根据题意,函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数是周期为4的周期函数,则f(2 023)=f(-1+2 024)=f(-1),又函数y=f(x)为奇函数,且x0,1时,f(x)=x2,则f(-1)=-f(1)=-1,

4、故f(2 023)=-1.5.(2021眉山模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x3,4时,f(x)=2x,则下列不等式中正确的是()A.ffC.f(sin 1)f(cos 1)D.ff【解析】选C.因为x3,4时,f(x)=2x,且f(x)=f(x+2),故偶函数f(x)在3,4上是增函数,T=2,所以偶函数f(x)在(-1,0)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上是减函数,对于A,sinf,对于B,sincos,所以fcos 1,所以f(sin 1)f(cos 1),对于D,cosf.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020江苏高考)已知y=f(x)是奇

5、函数,当x0时,f(x)=,则f(-8)的值是_.【解析】y=f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=,则f(-8)=-f(8)=-=-4.答案:-47.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1上f(x)=(a,bR),若f=f,则a+3b=_.【解析】由题知,f(x)的周期为2,所以f=f=1-a,f=,又因为f=f,所以1-a=,又f(-1)=f(1),所以2a+b=0,由解得a=2,b=-4,所以a+3b=-10.答案:-10【加练备选拔高】已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=ln (ex+1)-bx是偶函数,则logab=_.【解析】由题意得f(0)=0,所以a

6、=2.因为g(x)为偶函数,所以g(1)=g(-1),即ln (e+1)-b=ln +b,所以b=,所以log2=-1.答案:-18.若定义在R上的函数f满足f=-f,f是奇函数,现给出下列4个论断:f是周期为4的周期函数;f的图象关于点对称;f是偶函数;f的图象经过点;其中正确论断的个数是_.【解析】:由f=-f得:f=-f=f,所以函数f的周期为4,故正确;:由f是奇函数,知f的图象关于原点对称,所以函数f的图象关于点对称,故正确;:由f是奇函数,得f=-f,又f=-f,所以f=-f=-f=f=f,所以函数f是偶函数,故正确;:f=-f=-f,无法判断其值,故错误.综上,正确论断的序号是:

7、. 故正确的有3个.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)设x0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在-1,a-2上单调递增,结合f(x)的图象知所以1a3,故实数a的取值范围是(1,3.10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x都有f=-f成立.(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期.(2

8、)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|g(x)是偶函数,求实数a的值.【解析】(1)由f=-f,且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=f=-f=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数,且T=3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.(3)因为y=|f(x)|g(x)是偶函数,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2

9、+ax+3为偶函数,即g(-x)=g(x)恒成立,于是(-x)2+a(-x)+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=0.1.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则()A.f(-25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(-25)C.f(11)f(80)f(-25)D.f(-25)f(80)f(11)【解析】选D.因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是R上的

10、奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间-2,2上是增函数,所以f(-1)f(0)f(1),即f(-25)f(80)0时,y=0,且y=在单调递减,当x0时,y=1+0,且y=1+在单调递减,而f(x)=,故f在单调递减,又由f为偶函数,故f在上单调递增,所以C正确;x0时,f(x)=0,f(x)为偶函数,所以当x0,故f0,D正确.3.(5分)(2021昭通模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x+4)=f(-x),又当x(0,2时,f(x)=2x,则

11、f(0)+f(1)+f(2 020)=()A.0B.2C.6D.8【解析】选D.因为f(x+4)=f(-x),且f(x)为奇函数,所以f(x+4)=-f(x),所以周期T=8,所以f(0)=0,f(1)=2,f(2)=4,f(3)=f(-1+4)=f(1)=2,f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(-1)=-f(1)=-2,f(6)=f(2+4)=f(-2)=-f(2)=-4,f(7)=f(3+4)=f(-3)=-f(3)=-2,所以f(0)+f(1)+f(7)=0+2+4+2+0-2-4-2=0, f(0)+f(1)+f(2 020)=252f(0)+f(1)+f(7)+f(0

12、)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2520+0+2+4+2+0=8.【加练备选拔高】已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+4)=-f(x),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(-2)=2,则f(2 018)=_.【解析】由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数.由f(x+4)=-f(x),得f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期T=8的偶函数,所以f(2 018)=f(2+2528)=f(2)=f(-2)=2.答案:24.(10分)设f是定义在R上的函数,且对任意实数x,恒

13、有f=f,f=-f,当x时,f=2x-x2.(1)当x时,求f的解析式;(2)计算f(0)+f(1)+f(2)+f.【解析】(1)将f=-f中的x用-x代换得f=-f,又f=f,得f=-f,将x用x-2替换得f=-f,所以周期为4,由f=-f得函数f的对称中心是,此函数是奇函数,在的解析式为f=-f=x2+2x,向右移4个单位得f=+2(x-4)=x2-6x+8.(2)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,由周期是4知f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f=f(1)+f(2)+f(3)=0.5.(10分)设函数f(x)对任意实数x满足f(2+x)=f(2-x)

14、,f(7+x)= f(7-x)且f(0)=0,判断函数f(x)图象在区间上与x轴至少有多少个交点.【解析】由题设知函数f(x)图象关于直线x=2和x=7对称,又由函数的性质得f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间上,f(0)=0,f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0且f(x)不能恒为零,故f(x)图象与x轴至少有2个交点.而区间有6个周期,故在闭区间上f(x)图象与x轴至少有13个交点.1.已知函数y=f(x)的定义域为R,f(x+1)为偶函数,且对x1x21,满足0.若f(3)=1,则不等式f1的解集为()A.B.(1,8)C.(8,+)D.(-,1)(8,+)【解析】选

15、A.因为对x1x21,满足1时,是单调递增函数,又因为f(3)=1,所以有f(-1)=1,当log2x1,即当0x2时,f1f-1x,所以1,即当x2时,f1ff(3)log2x3x8,所以2x8,综上所述:不等式f1的解集为.2.对于函数y=f(x),若存在x0,使f(x0)+f(-x0)=0,则称点(x0,f(x0)是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)=若曲线f(x)存在“优美点”,则实数k的取值范围为_.【解析】由“优美点”的定义,可知若点(x0,f(x0)是曲线y=f(x)的“优美点”,则点(-x0,-f(x0)也在曲线y=f(x)上.如图所示作出函数y=x2+2x(x0).设过定

16、点(0,2)的直线y=k1x+2与曲线y=f(x)=-x2+2x(x0)切于点A(x1,f(x1),则k1=-2x1+2=,解得x1=或x1=-(舍去),所以k1=-2+2.由图可知,若曲线y=f(x)存在“优美点”,则k2-2.答案:(-,2-2【加练备选拔高】设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x0,1时,f(x)=2x,则有2是函数f(x)的周期;函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;函数f(x)的最大值是1,最小值是0.其中所有正确命题的序号是_.【解析】在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,则有f(t+2)=f(t),因此2是函数f(x)的周期,故正确;当x0,1时,f(x)=2x是增函数,根据函数的奇偶性知,f(x)在-1,0上是减函数,根据函数的周期性知,函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故正确;由知,f(x)在0,2上的最大值f(x)max=f(1)=2,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=20=1且f(x)是周期为2的周期函数,所以f(x)的最大值是2,最小值是1,故错误.答案: