2022版高中数学一轮复习 课时作业梯级练十七 导数与函数的零点课时作业（理含解析）新人教A版.doc

1、课时作业梯级练十七导数与函数的零点 一、选择题(每小题5分,共35分)1.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.(-,-1)B.(1,+)C. D. 【解析】选C.因为f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).当x0,当-1x1时,f(x)1时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)有极大值,当x=1时,f(x)有极小值.要使f(x)有3个不同的零点,只需 解得-2a2.2.(2021郑州模拟)设函数f 是函数f 的导函数,当x0时,f + 0,则函数g =f - 的零点个数为()A.3B.2C.1D.0【解析】选D.设F =x3f -1,则F =x3

2、f +3x2f =x3 .当x0时,f + 0时,x30,故F 0,所以,函数y=F 在 上单调递减;当x0时,x30,所以,函数y=F 在 上单调递增.所以F =F(0)=-10得x ,由g(x)0得0x .所以g(x)在 上单调递减,在 上单调递增,且g(x)min=g( )=- ,由图可知- a0,其中f(x)为f(x)的导函数,则不等式f(sin x)-cos 2x0的解集为()A. ,kZB. ,kZC. ,kZD. ,kZ【解析】选D.设g(x)=f(x)+2x2-1,所以g(x)=f(x)+4x0在R上恒成立,所以g(x)在R上单调递增,不等式f(sin x)-cos 2x=f(

3、sin x)+2sin2x-1,且g =0,不等式f(sin x)-cos 2x0,所以g(sin x)g ,sin x ,所以 +2kxx +2k,kZ.5.(2020吉安模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足x0时,f(x)= x-ln x+ln ,则函数g(x)=f(x)-sin x(e为自然对数的底数)的零点个数是()A.1B.2C.3D.5【解析】选C.根据题意,函数g(x)=f(x)-sin x的零点即函数y=f(x)与y=sin x的交点,设h(x)=sin x,函数f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,又由h(0)=sin 0=0.则函数y=f(x)与y=sin x存在交点

4、(0,0),当x0时,f(x)= x-ln x+ln ,其导数f(x)= - ,分析可得在区间 上,f(x)0,f(x)为增函数,则f(x)在区间(0,+)上存在最小值,且其最小值为f = -ln +ln =1,又由h =sin =1,则函数y=f(x)与y=sin x存在交点 ,又由y=f(x)与y=sin x都是奇函数,则函数y=f(x)与y=sin x存在交点 .综合可得,函数y=f(x)与y=sin x有3个交点,则函数g(x)=f(x)-sin x有3个零点.6.(2021石嘴山模拟)若函数f(x)=x2ex-a恰有3个零点,则实数a的取值范围是()A. B. C.(0,4e2)D.

5、(0,+)【解析】选B.函数f(x)=x2ex-a的导数为f(x)=2xex+x2ex=xex(x+2),令f(x)=0,则x=0或-2,函数在(-2,0)上单调递减,在(-,-2),(0,+)上单调递增,所以0或-2是函数f(x)的极值点,函数的极值为:f(0)=0-a=-a,f(-2)=4e-2-a= -a,函数f(x)=x2ex-a恰有三个零点,则实数a的取值范围是 .7.设函数f(x)= 则函数F(x)=xf(x)-1的零点的个数为()A.4B.5C.6D.7【解析】选C.xf(x)=1,转化为f(x)= ,如图,画出函数y=f(x)和g(x)= 的图象,当x0时,f(1)=1,g(1

6、)=1,此时f(1)=g(1)=1,x=1是函数的一个零点,f(3)= f(1)= ,g(3)= ,满足f(3)g(3),所以在(2,4)有两个交点,同理f(5)g(5),所以在(4,6)有两个交点,f(7)7时,恒有f(x)0在(0,+)上恒成立,则f(x)在(0,+)上单调递增,又f(0)=1,所以此时f(x)在(0,+)内无零点,不满足题意.当a0时,由f(x)0得x ,由f(x)0得0x0,f(x)单调递增,当x(0,1)时,f(x)0,所以函数在(0,+)上为增函数且f =-1- 0,所以当m0时,与g(x)= 有一个公共点,当m0)有唯一实数解,求实数m的值.【解析】(1)由题意,

7、得函数f(x)的定义域为(0,+),则导数为f(x)= -ax-b,由f(1)=0,得b=1-a,所以f(x)= -ax+a-1= ,若a0,由f(x)=0,得x=1.当0x0,此时f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,此时f(x)单调递减.所以x=1是f(x)的极大值点.若a1,解得-1a-1.(2)因为当a=0,b=-1时,方程2mf(x)=x2有唯一实数解,所以x2-2mln x-2mx=0有唯一实数解,设g(x)=x2-2mln x-2mx,则g(x)= ,令g(x)=0,即x2-mx-m=0.因为m0,x0,所以x1= 0(舍去),x2= ,当x(0,x2)时,g(x)0,g(x)

8、在(x2,+)上单调递增,当x=x2时,g(x)=0,g(x)取最小值g(x2),则 即 所以2mln x2+mx2-m=0,因为m0,所以2ln x2+x2-1=0,(*)设函数h(x)=2ln x+x-1,因为当x0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解,因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,即 =1,解得m= . 1.(5分)已知f(x)=1- ,过点(k,0)与f(x)相切的直线有且仅有3条,则k的取值范围是()A.(-,2-e2) B.(-,2-e2C.(-,4-e2) D.(-,4-e2【解析】选C.设切点为 ,f(x)= ,则切线为y-1+ = (x-x0),

9、代入点(k,0)得k=x0+ - ,令g(x)=x+ - ,则g(x)= ,当x0,g(x)单调递增,注意到x1,故g(x)的递增区间为(-,1),(1,2),当x2时,g(x)单调递减,要使g(x)=k有三个根,由图象可得,k0时,令f(x)=0,可得x3-x2-a=0,设g(x)=x3-x2,则g(x)=x(3x-2),当0x 时,g(x) 时,g(x)0,g(x)min=g = - .当x0时,令f(x)=0,可得x2+2x-a=0,设h(x)=x2+2x,h(x)min=-1,所以函数f(x)= 恰有2个零点,则a的取值范围为 .3.(5分)已知函数f(x)= + 与g(x)=6x+a

10、的图象有3个不同的交点,则a的取值范围是.【解析】原问题等价于函数h(x)= + -6x与函数y=a的图象有3个不同的交点,由h(x)=x2+x-6=(x-2)(x+3)=0,得x=2或x=-3,当x(-,-3)时,h(x)0,h(x)单调递增;当x(-3,2)时,h(x)0,h(x)单调递增.且h(-3)= ,h(2)=- ,数形结合可得a的取值范围是 .答案: 4.(10分)(2019全国卷)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f(x)为f(x)的导数.证明:(1)f(x)在区间 存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.【证明】(1)设g(x)=f(x),则g(x)=c

11、os x- ,g(x)=-sin x+ .当x 时,g(x)单调递减,而g(0)0,g( )0;当x 时,g(x)0.所以g(x)在(-1,)单调递增,在 单调递减,故g(x)在 存在唯一极大值点,即f(x)在 存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(-1,+).当x(-1,0时,由(1)知,f(x)在(-1,0)单调递增,而f(0)=0,所以当x(-1,0)时,f(x)0,故f(x)在(-1,0)单调递减,又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0的唯一零点.当x 时,由(1)知,f(x)在(0,)单调递增,在 单调递减,而f(0)=0,f 0;当x 时,f(x)0,所以当x 时,

12、f(x)0.从而,f(x)在 没有零点.当x 时,f(x)0,f()1,所以f(x)0,从而f(x)在(,+)没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.5.(10分)设函数f(x)=ln x+ax2-a+1,g(x)= .(1)若g(x1)=g(x2)=t(其中x1x2).求实数t的取值范围;(一题多解)证明:2x1x20时,g(x)0,所以0t1.方法一:由不妨令0x11x2,所以 1.要证2x1x2x1+x2成立,只需证x1 .因为g(x)在(-,1)上单调递增,故只需证g(x2)=g(x1)0.令u=2x2-11,只需证 -u0(u1),即证ln u- 1).令(u)=ln u- (u1

13、),因为(u)= 0,所以(u)(1)=0,故2x1x2x1+x2.方法二:由不妨令0x111),因为(u)= 0,所以(u)1,得ln - ,即 =1,所以0x1x22 2,所以2x1x2-(x1+x2)0,故2x1x20),因为h(1)=0,且h(x)0在(0,+)上恒成立,则x=1是极小值点,所以h(1)=0,可得a=- ,事实上,当a=- 时,h(x)= -ln x+ x2- ,所以h(x)= ,易知exex, 1x+1(x0),所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,h(x)min=h(1)=0.所以h(x)0在(0,+)上恒成立,即f(x)g(x)在(0,+)上

14、恒成立,且f(x)=g(x)在(0,+)内有唯一解.方法二:事实上,h(x)0在(0,+)上恒成立,也可以由下式说明:h(x)= -ln x+ x2- =e1-x+ln x-ln x+ x2- (1-x+ln x)+1-ln x+ x2- = (x-1)20.【加练备选拔高】设函数f(x)=ln x+x.(1)令F(x)=f(x)+ -x(00,所以=m2+4m0,又x0,所以x1= 0(舍去),x2= .当x(0,x2)时,g(x)0,g(x)在(x2,+)上单调递增;当x=x2时,g(x2)=0,则g(x)取得最小值g(x2).因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0,则 即 所以2mln x2+mx2-m=0.因为m0,所以2ln x2+x2-1=0.(*)设函数h(x)=2ln x+x-1,因为当x0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,即 =1,解得m= .