河南省商丘市2015届高三数学第二次模拟考试试题 理.doc

1、商丘市2015年高三第二次模拟考试数 学（理科）本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。满分为150分，考试时间为120分钟。考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。考试结束只交答题卡。第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合,，则（A） （B） （C） （D） （2）复数为纯虚数，若(为虚数单位)，则实数的值为 （A） （B） （C） （D）（3）已知向量a = (,1)，b = (0,

2、-1)，c = (k,)，若a - 2b与c共线，则的值为（A） （B） （C） （D）（4）下列命题，真命题是（A）的充要条件是 （B）R， （C）R， （D）若为假，则为假（5）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）（6）在递增的等比数列中，已知，且前项和为，则（A） （B） （C） （D）（7）执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（A） （B）（C） （D）（8）已知直线与曲线相切，则的值为（A） （B） （C） （D）（9）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（

3、A） （B） （C） （D） （10）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为的正方形，如图所示，则它的体积为俯视图正视图侧视图（A） （B）（C） （D）（11）已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦中点到准线的距离为（A） （B） （C） （D）（12）已知定义在R上的函数对任意都满足，且当时，则函数的零点个数为（A） （B） （C） （D）第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分），（13）设变量满足约束条件，则目标函数的最大

4、值为 .（14）设，则展开式的常数项为 .（15）已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，球心到平面的距离为，则球的表面积为 . （16）的内角的对边分别为，已知，则 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12分）已知正项等差数列的前项和为，且满足，（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的前项和.（18）（本小题满分12分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物次，最后落入袋或袋中已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是、.（）分别求出小球落入袋和

5、袋中的概率；（）在容器的入口处依次放入个小球，记为落入袋中的小球个数，求的分布列和数学期望（19）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（）求证：；（）求二面角的余弦值.（20）（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（）求椭圆的方程；（）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数 (R)（）当时，求函数的单调区间；（）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围请考生在第22、23、24三道题

6、中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分10分） 选修41：几何证明选讲如图，四边形内接于，过点作的切线交的延长线于，已知.证明：（）；（）（23）（本小题满分10分） 选修44：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（）写出直线的直角坐标方程；（）求曲线上的点到直线的距离的最大值.（24）（本小题满分10分） 选修45：不等式选讲 已知关于的不等式，其解集为. （）求的值；（）若，均为正实数，且满足，求的最小值.商丘市2015年高三第二

7、次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） DAAC DDBB CDAB二、填空题（每小题5分，共20分） （13）； （14）； （15）； （16）.三、解答题（共70分）（17）解：（）法一：设正项等差数列的首项为，公差为，则 2分得 4分. 6分法二：是等差数列且，又 2分， 3分, 4分. 6分（），且，.当时，8分当时，满足上式，. 9分. 10分 .12分（18）解：（）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为事件. 1分而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故, 3分从而.4分（）显然，随机变量的所有可能取值为.

8、5分且.6分故， ， ，. 则的分布列为010分故的数学期望为. 12分（19）解：（）证明：取的中点，连接 ，.1分 又四边形是菱形，且， 是等边三角形，.2分 又 ，又， 4分（）由，易求得， ，.5分 以为坐标原点，以，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系， 则， ，.6分 设平面的一个法向量为，则， . 8分 设平面的一个法向量为，则， . 10分 ， 二面角为钝角，二面角的余弦值为.12分（20）解：（）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为， 圆心到直线的距离（*）1分椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，,， 代入（*）式得， ， 故所求椭圆

9、方程为 4分（）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，将直线方程代入椭圆方程得：， ，. 设,，则， 6分由， 当,直线为轴，点在椭圆上适合题意； 7分当，得. 8分将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知， 10分所以， 11分综上可得. 12分（21）解：（）当时，则，1分令，得或；令，得，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 4分（）由题意，（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.6分（2）当时，令，有， 当时，函数在上单调递增，显然符合题意.7分 当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，要使对任意实数，当时，函

10、数的最大值为，只需，解得，又，所以此时实数的取值范围是. 9分 当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要存在实数，使得当时，函数的最大值为，需，代入化简得，令，因为恒成立，故恒有，所以时，式恒成立， 综上，实数的取值范围是. 12分（22）解：（）与相切于点， . 2分 又， ， . 5分 （）四边形内接于， ， 6分 又， . 8分 ，即，. 10分（23）解：（），, 3分，即. 5分（）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为，所以，曲线上的点到直线的距离.10分 解法二：曲线为以为圆心，为半径的圆.圆心到直线的距离为,所以，最大距离为.10分（24）解：（）不等式可化为， 1分 ，即, 2分 其解集为， ，. 5分（）由（）知， （方法一：利用基本不等式） ， ，当且仅当时，取最小值为.10分. （方法二：利用柯西不等式） ， ，当且仅当时，取最小值为.10分（方法三：消元法求二次函数的最值），当且仅当时，取最小值为.10分