江苏专用2016高考数学二轮复习专题四立体几何考点整合理.doc

1、【创新设计】（江苏专用）2016高考数学二轮复习 专题四 立体几何考点整合 理立体几何高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求；(2)线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求；证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的

2、结论真 题 感 悟1(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解析设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.答案2. (2015江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C

3、1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.考 点 整 合1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧ch(

4、c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)；S球表4R2(R为球的半径)(2)柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；V台(SS)h(不要求记忆)；V球R3.3直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，b ab.4直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的

5、性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.热点一空间几何体的表面积与体积的计算问题【例1】 (1)(2014江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且，则的值是_(2)(2012江苏卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥A BB1D1D的体积为_cm3.解析(1)设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，则.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，则，所以.(2)关键是求出四棱锥A BB1D1

6、D的高，连接AC交BD于O，在长方体中，ABAD3，BD3且ACBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO为四棱锥A BB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D1DBDBB1326，VA BB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3)答案(1)(2)6探究提高涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用【训练1】 (1)(2015苏、锡、常、镇调研)如图，正方体ABCDA1B1C

7、1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_(2)(2013江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_解析(1)利用三棱锥的体积公式直接求解VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.另解(特殊点法)：让E点和A点重合，点F与点C重合，则VD1EDFSACDD1D111.(2)设三棱锥FADE的高为h，则.答案(1)(2)124热点二空间中点线面位置关系的判断问题【例2】 (2015安徽卷改编)已知m，n是两条不同直线，是两个不同

8、平面，给出以下命题：若，垂直于同一平面，则与平行；若m，n平行于同一平面，则m与n平行；若，不平行，则在内不存在与平行的直线；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面则上述命题错误的是_(填序号)解析对于，垂直于同一平面，关系不确定，错；对于，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故错；对于，不平行，但内能找出平行于的直线，如中平行于，交线的直线平行于，故错；对于，若假设m，n垂直于同一平面，则mn，其逆否命题即为选项，故正确答案探究提高长方体(或正方体)是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行

9、、垂直关系问题，常构造长方体(或正方体)，把点、线、面的位置关系转移到长方体(或正方体)中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解【训练2】 设l是直线，是两个不同的平面，若l，l，则；若l，l，则；若，l，则l；若，l，则l.则上述命题中正确的是_解析利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故错误；由于l，故在内存在直线ll，又因为l，所以l，故，所以正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且

10、l，因此错误答案热点三线线、线面、面面平行与垂直的证明问题【例3】 (2014江苏卷)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平

11、面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直【训练3】 (2013江苏卷)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过点A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB

12、的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF平面SAB，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA.1求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面

13、是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用(4)注意几何体的表面积与侧面积的区别，侧面积只是表面积的一部分，不包括底面积，而表面积包括底面积和侧面积2球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为a，a.3锥体体积公式为VSh，在求解锥体体积中，不能漏掉.4空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义5垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行

14、公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.6在应用直线和平面平行的性质定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错误.一、填空题1已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_解析利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2124，一个底面圆的面积是，所以该圆柱的表面积为

15、426.答案62.(2015苏、锡、常、镇调研)如图所示，ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA2，AB1，求三棱锥CPED的体积为_解析PA平面ABCD，PA是三棱锥PCED的高，PA2.ABCD是正方形，E是AC的中点，CED是等腰直角三角形AB1，故CEED，SCEDCEED.故VCPEDVPCEDSCEDPA2.答案3(2015山东卷改编)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_解析如图，由题意，得BC2，ADAB1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去

16、一个圆锥的组合体所求体积V122121.答案4(2015苏、锡、常、镇调研)设，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：若，l，则l；若l，l，则；若l上有两点到的距离相等，则l；若，则.其中正确命题的序号是_解析由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为.答案5如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_解析EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，EFAC，又E是AD的中点，F是CD的中点，即EF是ACD的中位线，EFAC2.答案6(2015全国卷改编)九章算

17、术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有_斛(取整数)解析由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积VR2h(立方尺)所以堆放的米大约为22(斛)答案227(2015南通模拟)已知m，n表示两条不同直线，表示平面给出以下说法：若m，n，则mn；若m，n，则mn；若m，mn，则n；若m，mn，则n；则上述说法错误的是_(填序号)

18、解析法一若m，n，则m，n可能平行、相交或异面，错；若m，n，则mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，正确；若m，mn，则n或n，错；若m，mn，则n与可能相交，可能平行，也可能n，错法二如图，在正方体ABCDABCD中，用平面ABCD表示.中，若m为AB，n为BC，满足m，n，但m与n是相交直线，故错中，m，n，满足mn，这是线面垂直的性质，故正确，中，若m为AA，n为AB，满足m，mn，但n，故错中，若m为AB，n为BC，满足m，mn，但n，故错答案8.(2015南师附中模拟)在正三棱锥PABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN平面PBC，则此棱锥中侧面积与底面积

19、的比为_解析如图，取BC的中点D，连接AD，PD，且PD与MN的交点为E，连接AE.因为AMAN，E为MN的中点，所以AEMN，又截面AMN平面PBC，所以AE平面PBC，则AEPD，又E点是PD的中点，所以PAAD.设正三棱锥PABC的底面边长为a，则侧棱长为a，斜高为a，则此棱锥中侧面积与底面积的比为.答案二、解答题9.(2012江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以

20、CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1，又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.10(2015苏北四市调研)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，C

21、D2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点求证： (1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因为PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD，且CD平

22、面PCD，又E，F分别是CD和CP的中点，所以EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE，所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.11(2014常州监测)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABBC，E，F分别是A1B，AC1的中点 (1)求证：EF平面ABC；(2)求证：平面AEF平面AA1B1B；(3)若A1A2AB2BC2a，求三棱锥FABC的体积(1)证明如图连接A1C.直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形点F在A1C上，且为A1C的中点在A1BC中，E，F分别是A1B，A1C的中点，EFBC.又BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.(2)证明直三棱柱A1B1C1ABC中，B1B平面ABC，B1BBC.又EFBC，ABBC，ABEF，B1BEF.B1BABB，EF平面ABB1A1.EF平面AEF，平面AEF平面ABB1A1.(3)解VFABCVA1ABCSABCAA1a22a.