新课改地区2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步8.7.1利用空间向量求线线角与线面角练习新人教B版.doc

1、8.7.1 利用空间向量求线线角与线面角核心考点精准研析考点一异面直线所成的角1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC,ABAC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,点P在A1B1上,则直线PQ与直线AM所成的角为_.3.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=,若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为,则的值为_.【解析】1.选C.建立如图所示空间直角坐标系.设BC=CA=CC1=2

2、,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1,2),=(-1,0,2).所以cos=.2.建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2,则A(0,0,0),M(0,2,1),P(t,0,2)(0t2),Q(1,1,0),故=(0,2,1),=(1-t,1,-2),而=0,故.所以PQ与AM所成的角为.答案:3.以D为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,正方体的棱长为2,则A1,D1,E,A ,所以=,=+=+=+=,所以cos=,解得=(=-舍去).答案:求异面直线所成的角的两个关注点(1)用向量方法求两条异面直线

3、所成的角,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的.(2)由于两异面直线所成角的范围是0,两方向向量的夹角的范围是(0,),所以要注意二者的区别与联系,应有cos =|cos |.考点二直线与平面所成的角【典例】(2018全国卷)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.【解题导思】序号联想解题(1)要证面面垂直,先想到判定定理(2)要求线面角,考虑用向量法,想到如何建立空间坐标系.【解析】(1)由已知可得,BFPF,BFEF,PFEF=F,

4、所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)方法一:作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,设正方形ABCD的边长为2,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PEPF.可得PH=,EH=.则H(0,0,0),P,D,=,=为平面ABFD的一个法向量.设DP与平面ABFD所成角为,则sin =.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.方法二:因为PFBF,BFED,所以PFED,又PFPD,EDDP=D,所以PF平面PED,所以PFPE

5、,设AB=4,则EF=4,PF=2,所以PE=2,过P作PHEF交EF于H点,由平面PEF平面ABFD,所以PH平面ABFD,连接DH,则PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角,由PEPF=EFPH,所以PH=,因为PD=4,所以sinPDH=,所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,BAD=120,AB=2,E,F分别为

6、CD,AA1的中点.(1)求证:DF平面B1AE.(2)若AA1底面ABCD,且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为,求AA1的长.【解析】(1)设G为AB1的中点,连接EG,GF,因为FG􀱀A1B1,又DE􀱀A1B1,所以FG􀱀DE,所以四边形DEGF是平行四边形,所以DFEG,又DF平面B1AE,EG平面B1AE,所以DF平面B1AE.(2)因为ABCD是菱形,且ABC=60,所以ABC是等边三角形.取BC中点M,则AMAD,因为AA1平面ABCD,所以AA1AM,AA1AD,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,令AA1=t(t0),则A(0,0,0),E,0,B1(,-1,t),D1(0,2,t),=,0, =(,-1,t),=(0,2,t),设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z),则n=(x+y)=0且n=x-y+tz=0,取n=(-t,t,4),设直线AD1与平面B1AE所成角为,则sin = =,解得t=2,故线段AA1的长为2.