江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：递归数列① WORD版缺答案.doc

1、递归数列一、知识回顾（一）数列的差分定义1 对于数列，称为的一阶差数列，并称为的一阶差分（简称差分）；的一阶差分叫做的二阶差分；一般地，设是任一正整数，则称为的阶差分，这里，.定理1 对于数列，有1），这里为常数；2）或；3）.定义2 对于数列，若有正整数，使是非零常数列，则称为阶等差数列.当时，阶等差数列统称为高阶等差数列.常数列叫做零阶等差数列.定理2 是阶等差数列的充要条件为是的次多项式.定理3 若是阶等差数列，它的前项和为，则是阶等差数列，且.（二）线性递归数列定义1 对任何自然数，由递推关系确定的数列叫做递推数列.定义2 若数列自第项以后的任一项都是其前项的线性组合，即， （）其中是

2、任意自然数，是常数，且，则称为阶线性递归数列，（）叫做的递归方程.定理1 阶等差数列是由递归方程所确定的阶线性递归数列.（三）常见递归数列通项求法 类型：（一阶递归）解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列形如的递归式，其通项公式求法为：形如的递归式，其通项公式求法为：形如的递推式，两边同除以得，令则可转化为来处理.类型：（二阶递归）解题方法：利用特征方程，求其根、，构造，代入初始值求得若时，有可知是等比数列，先求得，再求出.若，则存在、满足整理得从而，可解出、，这样可先求出的通项表达式，再求出.注意：、实质是二次方程的两个根，将方程叫做递归式的特征方程在数列中，给出a1，a2，

3、且，它的特征方程的两根为与如果，则；如果=则，其中A与B是常数，可由初始值a1，a2 求出三、例题分析例1、已知an的首项为，一阶差数列为n2，求数列an的通项.例2、已知数列满足以下递归关系，求通项.例3、已知数列满足，求通项.例4、已知数列满足，求数列的通项例5、数列中，求.例6、给定正整数列an满足，如果前1492项的和是1985，而前1985项之和是1492，那么，前2001项和是多少？例7、对于任一数列an，定义数列bn：，数列cn满足，数列cn的所有项均为1，且a19=a92=0，求a1.例8、设数列an的前n项和Sn与an的关系为Sn=ban+1，其中b是与n无关的常数，且b1，（1）求an与an1的关系式； （2）写出用n与b表示an的表达式.例9、设数列和满足，且 ，求证：是完全平方数.