江苏省南通、连云港等七市2021届高三数学下学期3月模拟考试（一模）试题.doc

1、江苏省南通、连云港等七市2021届高三数学下学期3月模拟考试（一模）试题(满分：150分考试时间：120分钟)202103一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合M，N，P均为R的非空真子集，且MNR，MNP，则M(RP)()A. M B. N C. RMD. RN2. 已知xR，则“3x4”是“lg (x2x2)1”的()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 欧拉恒等式：ei10被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e、圆周率、虚

2、数单位i、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：eicos isin (R)中，令得到的根据欧拉公式，e2i在复平面内对应的点在()A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. “帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”右图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面若各斜坡面与底面所成二面角的正切值为，底面矩形的长与宽之比为53，则正脊与斜脊长度的比值为()A. B. C. D. 15. 已知a，b，c均为单位向量，且a2b2c，则ac()A. B. C. D. 6. 函数f(x)sin x cos xcos2x的图象的一条对

3、称轴为()Ax B. x C. x D. x7. 某班45名学生参加“312”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”2个等级，结果如下表：等级项目优秀合格合计除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为()A. 5 B. 10 C. 15 D. 208. 若aln abln bcln c1，则()A. ebcln aecaln beabln c B. ecaln bebcln aeabln cC. eabln cecaln bebcln a D. eabln cebcln aecaln

4、 b二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知数列an是等比数列，下列结论正确的是()A. 若a1a20，则a2a30 B. 若a1a30，则a1a20C. 若a2a10，则a1a32a2 D. 若a1a20，则(a2a1)(a2a3)010. 已知函数f(x)(aR)，则yf(x)的大致图象可能为()11. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一如图，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，则()A. 在第9

5、条斜线上，各数之和为55B. 在第n(n5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小C. 在第n条斜线上，共有个数D. 在第11条斜线上，最大的数是C12. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CDs.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有ACB，ACD，BCD，ADB，ADC，BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是()A. s，ACB，BCD，BDCB. s，ACB，BCD，ACDC. s，ACB，ACD，ADCD. s，ACB，BCD，ADC三、 填空题：本题共4小题，每小题5

6、分，共20分13. 已知随机变量XN(2，2)，P(X0)0.9，则P(2X4)_14. 能使“函数f(x)x|x1|在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为0，2”是真命题的一个区间I为_15. 已知椭圆C1：1(ab0)的右顶点为P，右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C2的顶点与C1的中心O重合若C1与C2相交于点A，B，且四边形OAPB为菱形，则C1的离心率为_16. 在三棱锥PABC中，ABBC，AC8，点P到底面ABC的距离为7.若点P，A，B，C均在一个半径为5的球面上，则PA2PB2PC2的最小值为_三、 解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算

7、步骤17. (本小题满分10分)在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，bc，c sin A1，点D是边AC的中点，BDAB，求c和ABC的值18.(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，Sn14an，nN*，且a14.(1) 求证：an12an是等比数列，并求an的通项公式；(2) 在bnan1an；bnlog2；bn这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答已知数列bn满足_，求bn的前n项和Tn.(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分)19. (本小题满分12分)如图，在三棱台ABCA1B1C1，ACA1B，点O是BC的中点，A1O平面ABC.(1)

8、 求证：ACBC；(2) 若A1O1，AC2，BCA1B12，求二面角B1BCA的大小20. (本小题满分12分)甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以30或31取胜的球队积3分，负队积0分；以32取胜的球队积2分，负队积1分已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为.(1) 甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；(2) 甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率21. (本小题满分12分)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3，1)在C上，且PF1

9、PF210.(1) 求C的方程；(2) 斜率为3的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D.若直线PA，PD的斜率存在且分别为k1，k2，求证：k1k2为定值22. (本小题满分12分)已知函数f(x)eax(ln x1)(aR)，f(x)为f(x)的导数(1) 设函数g(x)，求g(x)的单调区间；(2) 若f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，求实数a的取值范围；求证：当a2e时，.20202021学年高三年级模拟考试卷(南通、连云港等七市)数学参考答案及评分标准1. D2. B3. B4. B5. C6. A7. C8. C9. AC10. ABD11. BCD12. A

10、CD13. 0.414. 答案不唯一，只要形如a，2或(a，2，其中0a1的均正确15. 16. 19817. 解：在直角三角形ABD中，BD2AD2AB2()2c2，所以BD.所以sin A.(2分)因为csin A1，所以c.(4分)由bc得b5.因为sin A，A(0，)，所以cos A.(5分)在ABC中，由余弦定理，得a.(7分)由正弦定理，得，即，所以sin ABC.(9分)因为ABC(，)，所以ABC.(10分)18. (1) 证明：当n2时，因为Sn14an，所以Sn4an1，两式相减得an14an4an1.所以an12an2(an2an1).(2分)当n1时，因为Sn14an

11、，所以S24a1.又a14，故a212，于是a22a14，所以an12an是以4为首项、2为公比的等比数列(3分)所以an12an2n1，两边除以2n1，得1.(4分)又2，所以是以2为首项、1为公差的等差数列所以n1，即an(n1)2n.(6分)(2) 解：若选：bnan1an，即bn(n2)2n1(n1)2n(n3)2n.(8分)因为Tn421522623(n3)2n，所以2Tn422523624(n3)2n1.两式相减，得Tn421(22232n)(n3)2n1(10分)8(n3)2n1(n2)2n14，所以Tn(n2)2n14.(12分)若选：bnlog2，即bnlog2log22nl

12、og2n，(8分)所以Tn(log2log2log2)(12n)log2()log2(n1).(12分)若选：bn，即bn4()，(8分)所以Tn4()4()4()4()(10分)41.(12分)19. (1) 证明：因为A1O平面ABC，AC平面ABC，所以A1OAC.(1分)因为ACA1B，A1BA1OA1，A1B平面A1BO，A1O平面A1BO，所以AC平面A1BO.(3分)因为BC平面A1BO，所以ACBC.(4分)(2) 解：以O为坐标原点，与CA平行的直线为x轴，OB所在直线为y轴，OA1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，A(2，1，0)，B

13、(0，1，0)，A1(0，0，1).所以(0，1，0)，(2，2，0)，OA1(0，0，1)，于是AB4.由ABCA1B1C1是三棱台，所以ABA1B1.因为A1B12，所以A1B1(，1，0).所以OB1OA1A1B1(，1，1).设平面BB1C1C的法向量n(x，y，z)，由得取x1，则y0，z，即n(1，0，).(9分)因为OA1平面ABC，所以平面ABC的法向量为OA1(0，0，1)，(10分)所以cos n，OA1.因为二面角B1BCA为钝二面角，所以二面角B1BCA的大小是.(12分)20. 解：(1) 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X0)()3C()2，P(X1

14、)C()2()2，P(X2)C()2()2，P(X3)C()2()3，(4分)所以X的概率分布列为X0123P所以E(X)0123.(6分)(2) 记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A.设第i场甲、乙两队积分分别为Xi，Yi，则Yi3Xi，i1，2.因为两队积分相等，所以X1X2Y1Y2，即X1X2(3X1)(3X2)，所以X1X23.(8分)所以P(A)P(X10)P(X23)P(X11)P(X22)P(X12)P(X21)P(X13)P(X20)(10分).答：甲、乙比赛两场后，两队积分相等的概率为.(12分)21. (1) 解：设F1(c，0)，F2(c，0)(c0)，其中c.因

15、为PF1PF210，所以10，解得c216或c0.又c0，故c4.(2分)所以2a4，即a2.(4分)所以b2c2a28.所以C的方程为1.(5分)(2) 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(x2，y2).设直线l的方程为y3xm，与双曲线C方程联立，消去y，得8x26mxm280.由(6m)232(m28)0，得|m|8.x1x2，x1x2.(7分)所以y1y2(3x1m)(3x2m)9x1x23m(x1x2)m29.(8分)所以k1k2(10分)1.所以k1k2为定值(12分)22. (1) 解：依题意，f(x)的定义域为(0，)，且g(x)aln xa，则g(x).当a0时

16、，g(x)0在x(0，)上恒成立，g(x)单调递减；(2分)当a0时，令g(x)0，得x，所以，当x(0，)时，g(x)0，g(x)递减；当x(，)时，g(x)0，g(x)递增综上，当a0时，g(x)的减区间为(0，)，无增区间；当a0时，g(x)的减区间为(0，)，增区间为(，).(4分)(2) 解：因为f(x)有两个极值点，所以g(x)有两个零点由(1)知，a0时不合；当a0时，g(x)最小值g()a(2ln a).() 当0ae2时，g(x)g()0，g(x)没有零点，不合；() 当ae2时，g()0，g(x)有一个零点，不合；() 当ae2时，g()0.(6分)g()a(a12ln a

17、)，设(a)a12ln a，ae2，则(a)10.所以(a)(e2)e230，即g()0.所以存在x1(，)，使得g(x1)0.因为g()e0，所以存在x2(，)，使得g(x2)0.f(x)的值变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当ae2时，f(x)有两个极值点综上，实数a的取值范围是(e2，).(8分)证明：因为a2e，g()a(ln )0，所以x1x2.(9分)因为x1，x2是g(x)aln xa的两个零点，所以ln x11，ln x21.所以，.记h(x)(x)，则h(x)0，所以h(x)在(，)上单调递增因为x1x2，所以h(x1)h(x2)，即.(12分)