《学案导学与随堂笔记》2015-2016学年人教A版选修2-1数学《课时作业与单元检测》第三章 空间向量与立体几何 2(一).docx

1、3.2立体几何中的向量方法(一)空间向量与平行关系课时目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系1直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线_或_的向量，一条直线的方向向量有_个2平面的法向量直线l，取直线l的_a，则向量a叫做平面的_3空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，且a2b2c20，则lm_.(2)线面平行设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则l_.(3)面面平行设平面，的法向量分别为u(a1

2、，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则_.一、选择题1若n(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的一个法向量的是()A(0，3,1) B(2,0,1)C(2，3,1) D(2,3，1)2若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1,2,3) B(1,3,2)C(2,1,3) D(3,2,1)3已知平面上的两个向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面的一个法向量为()A(1，1,1) B(2，1,1)C(2,1,1) D(1,1，1)4从点A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长AB34，则B点的坐标为()A(9，7,

3、7) B(18,17，17)C(9,7，7) D(14，19,31)5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定6已知线段AB的两端点的坐标为A(9，3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()AxOy BxOzCyOz DxOy或yOz 二、填空题7已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为_8已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，且l，则m_.9.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M、P、Q分

4、别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则A1MD1P；A1MB1Q；A1M面DCC1D1；A1M面D1PQB1.以上结论中正确的是_(填写正确的序号)三、解答题10已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2，0)，试求平面的一个法向量11.如图所示，在空间图形PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，CDAB，ABCBCD90，AB4，CD1，点M在PB上，且PB4PM，PBC30，求证：CM平面PAD.【能力提升】12在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C平面ODC1.13.如图，在底面是菱形的四棱锥PA

5、BCD中，ABC60，PA平面ABCD，PAACa，点E在PD上，且PEED21.在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论平行关系的常用证法（1）证明线线平行只需要证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明ABCD只需证.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外证面面平行可转化证两面的法向量平行(2)证明线面平行问题或面面平行问题时也可利用立体几何中的定理转化为线线平行问题，再利用向量进行证明3.2立体几何中的向量方法(一)空间向量与平行关系知识梳理1平行重合无数2方向向量法向量3(1)abab (a2b2c20)(2)auau0a1a2

6、b1b2c1c20(3)uvukv (a2b2c20)作业设计1D只要是与向量n共线且非零的向量都可以作为平面的法向量故选D.2A(2,4,6)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选A.3C显然a与b不平行，设平面的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得x2，y1，n(2,1,1)4B设B(x，y，z)，(x2，y1，z7)(8,9，12)，0.故x28，y19，z712，又(x2)2(y1)2(z7)2342，得(17)2342，0，2.x18，y17，z17，即B(18,17，17)5B可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和的关系判断6C(0,5，3)，AB与平面yOz平

7、行7.或88解析l，l的方向向量与的法向量垂直(2，m,1)2m20，m8.9解析，A1MD1P.D1P面D1PQB1，A1M面D1PQB1.又D1P面DCC1D1，A1M面DCC1D1.B1Q为平面DCC1D1的斜线，B1Q与D1P不平行，A1M与B1Q不平行10解A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)，设平面的法向量为n(x，y，z)依题意，应有n0，n0.即，解得.令y1，则x2.平面的一个法向量为n(2,1,0)11证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.方法一PBC30，PC2，BC2，PB4.于是D(1,0,0)，C(0,0,0)，A

8、(4,2，0)，P(0,0,2)PB4PM，PM1，M.，(1,0,2)，(3，2，0)设xy，其中x，yR.则x(1,0,2)y(3,2，0)，解得x，y.，共面CM平面PAD，CM平面PAD.方法二由方法一可得，(1,0,2)，(3,2，0)设平面PAD的法向量为n(x，y，z)，则有，即.令x1，解得z，y.故n.又n0.n，又CM平面PAD.CM平面PAD.12证明方法一，B1A1D，B1CA1D，又A1D平面ODC1，B1C平面ODC1.方法二.，共面又B1C平面ODC1，B1C平面ODC1.方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O，C1(0

9、,1,1)，(1,0，1)，.设平面ODC1的法向量为n(x0，y0，z0)，则得令x01，得y01，z01，n(1,1，1)又n1101(1)(1)0，n，且B1C平面ODC1，B1C平面ODC1.13解方法一当F是棱PC的中点时，BF平面AEC.()()().、共面又BF平面AEC，BF平面AEC.方法二如图，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系由题意，知相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B，C，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E.所以，(0,0，a)，.设点F是棱PC上的点，其中01，则，令12即解得，1，2，即时，即F是PC的中点时，、共面又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF平面AEC.